当前位置:首页 >> 数学 >>

河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题


河南省焦作市 2015 届高三(上)期中数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共 12 题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={x|0≤x≤2},B={y|1<y<3},则 A∩ B=( ) A. [1,2) B.[0,3) C.(1,2] 分析:根据题意画出数轴,再由交集的运算求出 A∩ B. 解答: 解:由题意得,集合 A={

x|0≤x≤2},B={y|1<y<3}, 如图所示:

D.[0,3]

则 A∩ B=(1,2],故选:C. 点评:本题考查了交集及其运算,以及数形结合思想,属于基础题. 2 2.“a=1”是“复数 a ﹣1+(a+1)i(a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析:利用纯虚数的定义,先判断充分性再判断必要性. 2 解答: 解:当 a=1 时,复数 a ﹣1+(a+1)i=2i 为纯虚数,满足充分性; 2 2 当 a ﹣1+(a+1)i 是纯虚数时,有 a ﹣1=0,且 a+1≠0,解得 a=1,满足必要性. 2 综上,“a=1”是“复数 a ﹣1+(a+1)i(a∈R) ,i 为虚数单位)是纯虚数”的充要条件, 故选:C. 点评:该题考查复数的基本概念、充要条件.属基础题.
2

3.已知双曲线 A.

﹣y =1(a>0)的实轴长 2,则该双曲线的离心率为( B. C.
2 2

) D.

分析:首先根据实轴长为 2,解得双曲线的方程为:x ﹣y =1,进一步求出离心率. 解答: 解:已知双曲线 ﹣y =1(a>0)的实轴长 2,即 2m=2
2

解得:m=1 即 a=1 2 2 所以双曲线方程为:x ﹣y =1 离心率为 故选:B

点评:本题考查的知识要点:双曲线的方程,及离心率的求法

4.已知 log7[log3(log2 )]=0,那么 x

x

等于(



A.

B.

C.

D.

分析:从外向里一层一层的求出对数的真数,求出 x 的值,求出值. 解答: 解:由条件知,log3(log2x)=1, ∴ log2x=3, ∴ x=8, ∴ x =

故选:D. 点评:利用对数式与指数式的相互转化从外向里求出真数,属于基础题. 5.如图所示是计算某年级 500 名学生期末考试(满分为 100 分)及格率 q 的程序框图,则图中空白 框内应填入( )

A. q=

B.q=

C.q=

D.q=

考点:程序框图. 专题:计算题. 分析:通过题意与框图的作用,即可判断空白框内应填入的表达式. 解答: 解:由题意以及框图可知,计算某年级 500 名学生期末考试(满分为 100 分)及格率 q 的 程序框图, 所以输出的结果是及格率,所以图中空白框内应填入 q= 故选:D. 点评:本题考查循环框图的应用,考查计算能力. .

6.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本, 则不同的赠送方法共有( ) A. 4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种 考点:计数原理的应用. 专题:计算题. 分析:本题是一个分类计数问题,一是 3 本集邮册一本画册,让一个人拿本画册就行了 4 种,另一 种情况是 2 本画册 2 本集邮册,只要选两个人拿画册 C4 种,根据分类计数原理得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个分类计数问题 一是 3 本集邮册一本画册,让一个人拿本画册就行了 4 种 2 另一种情况是 2 本画册 2 本集邮册,只要选两个人拿画册 C4 =6 种 根据分类计数原理知共 10 种, 故选 B. 点评:本题考查分类计数问题,是一个基础题,这种题目可以出现在选择或填空中,也可以出现在 解答题目的一部分中. 7.设 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( ) A.若 l⊥ α,α⊥ β,则 l?βB. 若 l∥ α,α∥ β,则 l?β C.若 l⊥ α,α∥ β,则 l⊥ β D.若 l∥ α,α⊥ β,则 l⊥ β 考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 分析:本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系,逐一分析四个答案中的结论,发现 A,B, D 中由条件均可能得到 l∥ β,即 A,B,D 三个答案均错误,只有 C 满足平面平行的性质,分析后不 难得出答案. 解答: 解:若 l⊥ α,α⊥ β,则 l?β 或 l∥ β,故 A 错误; 若 l∥ α,α∥ β,则 l?β 或 l∥ β,故 B 错误; 若 l⊥ α,α∥ β,由平面平行的性质,我们可得 l⊥ β,故 C 正确; 若 l∥ α,α⊥ β,则 l⊥ β 或 l∥ β,故 D 错误; 故选 C 点评:判断或证明线面平行的常用方法有:① 利用线面平行的定义(无公共点) ;② 利用线面平行的判 定定理(a?α,b?α,a∥ b?a∥ α) ;③ 利用面面平行的性质定理(α∥ β,a?α?a∥ β) ;④ 利用面面平行的 性质(α∥ β,a?α,a?,a∥ α? a∥ β) .线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直 线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.垂直问题的证明,其一般规律是“由已 知想性质,由求证想判定”,也就是说,根据已知条件去思考有关的性质定理;根据要求证的结论去 思考有关的判定定理,往往需要将分析与综合的思路结合起来.
2

8.要得到函数 f(x)=sin(2x+ A. 向左平移 B. 向左平移 C. 向左平移

)的导函数 f′ (x)的图象,只需将 f(x)的图象(



个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的 (横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的 (横坐标不变)

D. 向左平移

个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)

考点:简单复合函数的导数;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:导数的综合应用;三角函数的图像与性质. 分析:求出函数 f(x)=sin(2x+ = 的平移得答案. 解答: 解:∵ f(x)=sin(2x+ ∴ 则要得到函数 f(x)=sin(2x+ = ) , , )的导函数 f′ (x)的图象,只需将 f(x)的图象向左平移 个单 )的导函数,然后变形为 ,然后由函数图象

位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)而得到. 故选:D. 点评:本题考查了简单的复合函数的导数,考查了三角函数的图象平移,是基础题.

9.设 z=x+y,其中实数 x,y 满足

若 z 的最大值为 12,则 z 的最小值为(



A.﹣3 B.3 C.﹣6 D.6 考点:简单线性规划. 专题:计算题;作图题;不等式的解法及应用. 分析:由题意作出其平面区域,直线 y=k,y=﹣x+12,y=x 三线相交于一点,联立 y=﹣x+12,y=x 解出交点坐标,代入求 k. 解答: 解:由题意作出其平面区域:

则直线 y=k,y=﹣x+12,y=x 三线相交于一点, 由 y=﹣x+12,y=x 联立可解得, x=6,y=6,

则 k=6. 故选 D. 点评:本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题. 10.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合, 则 m+n=( ) A. B. C. D.

考点:与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题:直线与圆. 分析:由两点关于一条直线对称的性质, 求得对称轴所在的直线方程为 2x﹣y﹣3=0,再根据垂直及 中点在轴上这两个条件求得 m,n 的值,可得 m+n 的值 解答: 解:由题意可得,对称轴所在的直线即为点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中垂线. 由于点(0,2)与点(4,0)连成的线段的中点为(2,1) ,斜率为﹣ , 故对称轴所在的直线方程为 y﹣1=2(x﹣2) ,即 2x﹣y﹣3=0.

再根据点(7,3)与点(m,n)重合,可得

,求得

,m+n=



故选:C. 点评:本题主要考查两点关于一条直线对称的性质,求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法, 利用了垂直及中点在轴上这两个条件,还考查了中点公式,用两点式求直线的方程,属于基础题. 11.一只蚂蚁从正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 A 处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到 达顶点 C1 位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( )

② A.①

③ B.①

④ C.②

④ D.③

考点:平行投影及平行投影作图法. 专题:空间位置关系与距离. 分析:本题可把正方体沿着某条棱展开到一个平面成为一个矩形,连接此时的对角线 AC1 即为所求 最短路线. 解答: 解:由点 A 经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点 C1 位置,共有 6 种展开方式,若 把平面 ABA1 和平面 BCC1 展到同一个平面内,

在矩形中连接 AC1 会经过 BB1 的中点,故此时的正视图为② .

若把平面 ABCD 和平面 CDD1C1 展到同一个平面内,在矩形中连接 AC1 会经过 CD 的中点,此时正 视图会是④ . 其它几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在② ④ 中了, 故选 C 点评:本题考查空间几何体的展开图与三视图,是一道基础题.

12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数 f(x)= 为狄利克雷函数,其中 R 为实数集,Q 为有理数集,则关于函数有如下四个命题: ① f(f(x) )=0; ② 函数 f(x)是偶函数; ③ 任取一个不为零的有理数 T,f(x+T)=f(x)对任意的 x∈R 恒成立; ④ 存在三个点 A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) ) ,C(x3,f(x3) ) ,使得△ ABC 为等边三角形. 其中的真命题是( ) ② ④ ③ ④ ③ ④ A.① B.② C.③ D.②

被称

考点:命题的真假判断与应用. 专题:函数的性质及应用. 分析: ① ,根据函数的对应法则,可得不管 x 是有理数还是无理数,均有 f(f(x) )=1,从而可判 断① ; ② ,根据函数奇偶性的定义,可得 f(x)是偶函数,可判断② ; ③ ,根据函数的表达式,结合有理数和无理数的性质,得 f(x+T)=f(x) ,可判断③ ; 对于④ ,取 x1=﹣ ,x2=0,x3= ,可得 A(﹣ ,0) 、B(0,1) 、C( ,0)三点恰好构成等

边三角形,可判断④ . 解答: 解:对于① ,∵ 当 x 为有理数时,f(x)=1;当 x 为无理数时,f(x)=0, ∴ 当 x 为有理数时,f(f(x) )=f(1)=1;当 x 为无理数时,f(f(x) )=f(0)=1, 即不管 x 是有理数还是无理数,均有 f(f(x) )=1,故① 错误; 对于② ,因为有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数, 所以对任意 x∈R,都有 f(﹣x)=f(x) ,故② 正确; 对于③ ,若 x 是有理数,则 x+T 也是有理数; 若 x 是无理数,则 x+T 也是无理数, ∴ 根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数 T,f(x+T)=f(x)对 x∈R 恒成立,故③ 正确; 对于④ ,取 x1=﹣ ,x2=0,x3= ,可得 A(﹣ ,0) 、B(0,1) 、C( ,0)三点恰好构成等

边三角形,故④ 正确. 综上所述,真命题是② ③ ④ , 故选:D. 点评:本题考查命题的真假判断与应用,着重考查狄利克雷函数表达式的理解与应用,考查函数的 奇偶性、周期性,考查分析、探究能力,属于难题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 的展开式中,常数项为 672 . (用数字作答)

考点:二项式系数的性质. 专题:计算题. ﹣ 分析:利用二项式定理的通项公式 Tr+1=Cnran rbr 求出通项, 进行指数幂运算后令 x 的指数幂为 0 解 出 r=6,由组合数运算即可求出答案. 解答: 解:由通项公式得 Tr+1=C9 (2x)
r 9 ﹣r

=(﹣1) 2

r 9﹣r

C9 x

r 9﹣r

=(﹣1)

r 9﹣r

2

C9

r

,令 9﹣
6 3 6 3

=0 得 r=6,所以常数项为 =672

(﹣1) 2 C9 =8C9 =8×

故答案为 672 点评:本题主要考查二项式定理的通项公式的应用,并兼顾了对根式与指数幂运算性质的考查,属 基础题型.

14.已知向量 , 夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= 考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:利用数量积的性质即可得出. 解答: 解:∵ 向量 , 夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= ∴ 化为 化为 ∵ 解得| |= , . = , =10, ,

,则| |=





故答案为: . 点评:本题考查了数量积的性质,属于基础题.
3 2

15.函数 f(x)=x + x ﹣6x+m 的图象不过第Ⅱ 象限,则 m 的取值范围是 (﹣∞,﹣10] 考点:利用导数研究函数的极值. 专题:数形结合.

2 分析:先求出 f′ (x)=3x +3x﹣6,令其为 0 求出 x=﹣2 或 x=1,然后在(﹣∞,﹣2) , (﹣2,1) , (1,+∞)上得到导函数的正负继而得到函数的增减性,求出函数的极值,讨论 x=﹣2 时的 极大值小于等于 0 即可求出 m 的取值范围. 2 解答:解:求得 f′ (x)=3x +3x﹣6=3(x+2) (x﹣1) ,令其为 0 得到 x=﹣2,x=1 在 x∈(﹣∞,﹣2)时,f′ (x)>0,f(x)为增函数; 在 x∈(﹣2,1)时,f′ (x)<0,f(x)为减函数; 在 x∈(1,+∞)时,f′ (x)>0,f(x)为增函数. 所以 f(x)在 x=﹣2 时有极大值,极大值为 f(﹣2)=m+10, 因为函数的图象不过第Ⅱ 象限,所以 m+10≤0,解得 m≤﹣10; 故答案为(﹣∞,﹣10] 点评:考查学生利用导数研究函数极值的能力,理解函数图象不过第二象限的条件.

16. (2012?烟台一模)已知 cos 果,猜想出的一般结论是 cos

= ,cos cos

cos …cos

= ,cos =

cos .

cos

= ,…,根据这些结

考点:归纳推理. 专题:探究型. 分析:根据题意,分析所给的等式可得:对于第 n 个等式,等式左边为 n 个余弦连乘的形式,且角 部分为分式,分子从 π 到 nπ,分母为(2n+1) ,右式为 解答:解:根据题意,分析所给的等式可得: cos cos cos = ,可化为 cos cos cos = ,可化为 cos cos = ,可化为 cos cos …cos …cos = . = cos cos = ; = cos = ; ;将规律表示出来可得答案.

则一般的结论为 cos 故答案为 cos cos

点评:本题考查归纳推理的运用,解题的关键在于发现 3 个等式的变化的规律. 三、解答题 17. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=8,S4=40.数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 * Tn﹣2bn+3=0,n∈N . (Ⅰ )求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ )设 cn= ,求数列{cn}的前 2n+1 项和 P2n+1.

考点:数列的求和.

专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ )运用等差数列的通项公式与求和公式,根据条件列方程,求出首项和公差,得到通项 an,运用 n=1 时,b1=T1,n>1 时,bn=Tn﹣Tn﹣1,求出 bn; (Ⅱ )写出 cn,然后运用分组求和,一组为等差数列,一组为等比数列,分别应用求和公式化简即可. 解答: 解: (Ⅰ )设等差数列{an}的公差为 d, 由题意,得 ,解得 ,

∴ an=4n; ∵ Tn﹣2bn+3=0,∴ 当 n≥2 时,Tn﹣1﹣2bn﹣1+3=0, 两式相减,得 bn=2bn﹣1, (n≥2) 又当 n=1 时,b1=3, 则数列{bn}为等比数列, ∴ ;

(Ⅱ ) ∴ P2n+1=(a1+a3+…+a2n+1)+(b2+b4+…+b2n) = =2 +4n +8n+2. 点评:本题主要考查等差数列和等比数列的通项与前 n 项和公式,考查方程在数列中的运用,考查 数列的求和方法:分组求和,必须掌握. 18. (12 分)某家电专卖店在国庆期间设计一项有奖促销活动,每购买一台电视,即可通过电脑产 生一组 3 个数的随机数组,根据下表兑奖: 奖次 一等奖 二等奖 三等奖 随机数组的特征 3个1或3个0 只有 2 个 1 或 2 个 0 只有 1 个 1 或 1 个 0 5m 2m m 奖金(单位:元) 商家为了了解计划的可行性,估计奖金数,进行了随机模拟试验,并产生了 20 个随机数组,试验结 果如下: 247,235,145,324,754,500,296,065,379,118,520,161,218,953,254,406,227,111, 358,791. (1)在以上模拟的 20 组数中,随机抽取 3 组数,求至少有 1 组获奖的概率; (2)根据以上模拟试验的结果,将频率视为概率: (i)若活动期间某单位购买四台电视,求恰好有两台获奖的概率; (ii)若本次活动平均每台电视的奖金不超过 85 元,求 m 的最大值. 考点:离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式. 分析: (1)利用对立事件的概率,即可求出随机抽取 3 组数,至少有 1 组获奖的概率; (2) (i)求出每购买一台电视获奖的概率,利用相互独立事件概率公式,可求恰好有两台获奖的概 率;
2n+1 2

(ii)设 ξ 为获得奖金的数额,则 ξ 的可能取值为 0,m,2m,5m,求出 ξ 的分布列,可得期望,利 用本次活动平均每台电视的奖金不超过 85 元,即可求 m 的最大值. 解答: 解: (1)设“在以上模拟的 20 组数中,随机抽取 3 组数,至少有 1 组获奖”为事件 A,则 由数组知,没中奖的组数为 12,∴ P(A)=1﹣ = ,

(2) (i)由题意得,每购买一台电视获奖的概率为 P=

= , ( ) ×(1﹣ ) =
2 2

设“购买四台电视,恰有两台获奖”为事件 B,则 P(B)=c

(ii)设“购买一台电视获一等奖”为事件 A1,“购买一台电视获二等奖”为事件 A2, “购买一台电视获三等奖”为事件 A3, 则 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,

设 ξ 为获得奖金的数额,则 ξ 的可能取值为 0,m,2m,5m,故 ξ 的分布列为 ξ 0 m 2m 5m P ∴ Eξ=0+ + + =

由题意 Eξ= ∴ m 的最大值为

≤85,得 m≤

点评:本题考查概率的计算,考查离散型随机变量的期望与方差,确定变量的取值,求出相应的概 率是关键 19. (12 分)如图 1,直角梯形 ABCD 中,AB∥ CD,∠ BAD=90°,AB=AD=2,CD=4,点 E 为线段 AB 上异于 A,B 的点,且 EF∥ AD,沿 EF 将面 EBCF 折起,使平面 EBCF⊥ 平面 AEFD,如图 2. (Ⅰ )求证:AB∥ 平面 DFC; (Ⅱ )当三棱锥 F﹣ABE 体积最大时,求平面 ABC 与平面 AEFD 所成锐二面角的余弦值.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题:综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ )证明 BE∥ 平面 DFC、AE∥ 平面 DFC,可得平面 ABE∥ 平面 DFC,即可证明 AB∥ 平面 DFC;

(Ⅱ )建立坐标系,利用三棱锥 F﹣ABE 体积最大时,确定点的坐标,可得向量的坐标,求出平面 CBA 的法向量,利用向量的夹角公式,即可求平面 ABC 与平面 AEFD 所成锐二面角的余弦值. 解答: (Ⅰ )证明:∵ BE∥ CF,BE?平面 DFC,CF?平面 DFC, ∴ BE∥ 平面 DFC, 同理 AE∥ 平面 DFC, ∵ BE∩ AE=E, ∴ 平面 ABE∥ 平面 DFC, ∵ AB?平面 ABE, ∴ AB∥ 平面 DFC; (Ⅱ )解:∵ 平面 EBCF⊥ 平面 AEFD,CF⊥ EF,平面 EBCF∩ 平面 AEFD=EF, ∴ CF⊥ 平面 AEFD, 建立如图所示的坐标系,设 AE=x,则 EB=2﹣x, ∴ VF﹣ABE= ? x(2﹣x)?2=﹣ (x﹣1) + . ∴ x=1 时,三棱锥 F﹣ABE 体积最大, ∴ A(2,1,0) ,B(2,0,1) ,C(0,0,3) , ∴ =(2,0,﹣2) , =(2,1,﹣3) , ,
2

设平面 CBA 的法向量为 =(x,y,z) ,则

∴ =(1,1,1) , ∵ 平面 AEFDA 的一个法向量为 ∴ cos< , >= = , . =(0,0,2) ,

∴ 平面 ABC 与平面 AEFD 所成锐二面角的余弦值是

点评:本题考查平面与平面的平行、线面平行,考查平面与平面所成锐二面角的余弦值,正确运用 平面与平面的平行、线面平行的判定,利用好空间向量是关键.

20. (12 分)已知圆 C 经(x﹣1) +(y﹣2) =5 经过椭圆 E: 上顶点 B. (1)求椭圆 E 的方程;

2

2

+

=1(a>b>0)的右焦点 F 和

(2)过原点 O 的射线 l 在第一象限与椭圆 E 的交点为 Q,与圆 C 的交点为 P,M 为 OP 的中点,求 ? 的最大值.

考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题:计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析: (1)在圆(x﹣1) +(y﹣2) =5 中,令 y=0,得 F(2,0) ,令 x=0,得 B(0,4) ,由此 能求出椭圆方程; (2)设点 Q(x0,y0) ,x0>0,y0>0,由于 M 为 OP 的中点,则 CM⊥ OQ,则 =( + )

=

=(1,2)?(x0,y0)=x0+2y0,设 t=x0+2y0,与

+

=1 联立,消去 x0,再由判

别式为 0,即可得到最大值. 2 2 解答: 解: (1)在圆 C: (x﹣1) +(y﹣2) =5 中, 令 y=0,得 F(2,0) ,即 c=2, 令 x=0,得 B(0,4) ,即 b=4, ∴ a =b +c =20, ∴ 椭圆 E 的方程为: + =1.
2 2 2

(2)设点 Q(x0,y0) ,x0>0,y0>0, 由于 M 为 OP 的中点,则 CM⊥ OQ, 则 =( + ) =

=(1,2)?(x0,y0) =x0+2y0, 又 + =1,

设 t=x0+2y0,与
2

+
2

=1 联立,得:21y0 ﹣16ty0+4t ﹣80=0,

2

2

令△ =0,得 256t ﹣84(4t ﹣80)=0, 解得 t=±2 . 又点 Q(x0,y0)在第一象限,

∴ 当 y0=

时,

取最大值 2



点评:本题考查直线、圆、椭圆、平面向量等基础知识,考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查运 算求解能力、推理论证能力,考查数形结合、化归转化及函数与方程等数学思想. 21. (12 分)已知函数 f(x)=ln(x+a)﹣ x ,x∈[0,2],a>0. (1)若存在 x0∈[0,2],使得函数 y=f(x)在点(x0,f(x0) )处的切线斜率 k≤1,求实数 a 的取值 范围; (2)求函数 f(x)的最小值. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求导数,利用函数 y=f(x)在点(x0,f(x0) )处的切线斜率 k≤1,分离参数,可得 a≥ ﹣x0,求出右边的最小值,即可求实数 a 的取值范围;
2

(2)确定函数在[0,2]上单调递减,即可求函数 f(x)的最小值. 解答: 解: (1)∵ f(x)=ln(x+a)﹣ x , ∴ f′ (x)= ∴ ∴ a≥ ﹣x, ≤1, ﹣x0,
2

由 y=

﹣x,可得 y′ =

﹣1,

∴ 函数在[0,2]上单调递减, ∴ 函数的最小值为﹣ , ∴ a≥﹣ ;

(2)f′ (x)=

﹣x=



∵ x∈[0,2],a>0, ∴ f′ (x)<0, ∴ 函数在[0,2]上单调递减, ∴ x=2 时,函数取得最小值 f(2)=ln(2+a)﹣2. 点评:本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程,考查利用导数求闭区间上函数的最值,考查学 生分析解决问题的能力,属于中档题. 请考生从 22、23、24 中任选一题作答。

22. (10 分)已知 AB 为半圆 O 的直径,AB=4,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD,过点 A 作 AD⊥ CD 于 D,交半圆于点 E,DE=1. (Ⅰ )求证:AC 平分∠ BAD; (Ⅱ )求 BC 的长.

考点:圆的切线的性质定理的证明;圆內接多边形的性质与判定. 专题:综合题. 分析: (Ⅰ ) 连接 OC, 因为 OA=OC, 所以∠ OAC=∠ OCA, 再证明 OC∥ AD, 即可证得 AC 平分∠ BAD. (Ⅱ )由(Ⅰ )知 ,从而 BC=CE,利用 ABCE 四点共圆,可得∠ B=∠ CED,从而有 ,故

可求 BC 的长. 解答: (Ⅰ )证明:连接 OC,因为 OA=OC,所以∠ OAC=∠ OCA, (2 分) 因为 CD 为半圆的切线,所以 OC⊥ CD, 又因为 AD⊥ CD,所以 OC∥ AD, 所以∠ OCA=∠ CAD,∠ OAC=∠ CAD,所以 AC 平分∠ BAD. (4 分) (Ⅱ )解:由(Ⅰ )知 ,∴ BC=CE, (6 分)

连接 CE,因为 ABCE 四点共圆,∠ B=∠ CED,所以 cosB=cos∠ CED, (8 分) 所以 ,所以 BC=2. (10 分)

点评:本题考查圆的切线,考查圆内接四边形,解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边 形的性质.

23.已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2

sin(θ+

) ,

直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 P. (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;

(2)求

+

的值.

考点: 直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)消去参数 t,把直线 l 的参数方程化为普通方程,利用极坐标公式,把曲线 C 的极坐 标方程化为普通方程; (2)把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程中,得到 t ﹣t﹣1=0,由根与系数的关系,求出 + = 的值.
2

解答: 解: (1)消去参数 t,把直线 l 的参数方程

(t 为参数)化为普通方程是

x﹣y+1=0, 利用极坐标公式,把曲线 C 的极坐标方程 ρ=2
2

sin(θ+

)化为

ρ =2ρsinθ+2ρcosθ, 2 2 ∴ 普通方程是 x +y =2y+2x, 2 2 即(x﹣1) +(y﹣1) =2; (2)∵ 直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 P,
2 2

把直线 l 的参数方程
2

代入曲线 C 的普通方程(x﹣1) +(y﹣1) =2 中,

得 t ﹣t﹣1=0, ∴ ;



+

=

+

=

=

=

=



点评: 本题考查了参数方程与极坐标的应用问题,解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方 程的互化问题,是中档题.

24.若 a>0,b>0, + =2
3 3



(1)求 a +b 的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=4?并说明理由. 考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用.

分析: (1) 由于 a>0, b>0, + =2 用基本不等式的性质可得 a +b ≥
3 3

. 利用基本不等式的性质可得 即可得出. ≥

, 即 ab≥1. 利

(2)由于 a,b>0,利用(1)及基本不等式的性质可得 2a+3b≥2 解答: 解: (1)∵ a>0,b>0, + =2 ∴ ∴ a +b ≥
3 3 3 3

,即可得出.



,化为 ab≥1,当且仅当 a=b=1 时取等号. ≥2,

∴ a +b 的最小值为 2; 2)∵ a,b>0, ∴ 2a+3b≥2 ≥ >4, 故不存在 a,b>0,使得 2a+3b=4. 点评:本题综合考查了基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.


相关文章:
河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案(已解析)
河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案(已解析)_数学_高中教育_教育专区。河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含...
河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题
河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。河南...河南省焦作市 2015 届高三(上)期中考试 数学试卷(理科)一、选择题(共 12 ...
河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题(WORD版)
河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题(WORD版)_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)...
河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)...
河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含...
河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题(WORD版)
河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题(WORD版)_数学_高中教育_教育专区。河南省焦作市 2015 届高三(上)期中考试 数学试卷(理科)一、选择题(共 12...
南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题
省焦作市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。河南...河南省焦作市 2015 届高三(上)期中数 学试卷(理科)参考答案与试题解析一、...
河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学文试题含解析
河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学试题含解析_数学_高中教育_教育专区...α且 n?γ,由 n?α及 n∥ β,α∩β=m, 得 n∥ m,同理 n∥ l,...
河南省洛阳市2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案
河南省洛阳市2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。河南省洛阳市2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案201...
更多相关标签:
高三上学期期中家长会 | 高三上学期期中考试 | 高三上学期期中总结 | 河南省焦作市武陟县 | 河南省焦作市 | 河南省焦作市孟州市 | 河南省焦作市解放区 | 河南省焦作市温县 |