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直线与双曲线的位置关系及中点弦问题——教案


直线与双曲线的位置关系及中点弦问题
1.直线与双曲线的位置关系的判断
设直线 l : y ? kx ? m(m ? 0) ,双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 联立解得 a2 b2 (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 mkx? a 2 m2 ? a 2b 2 ? 0 b 2 2 2 若 b ?

a k ? 0 即 k ? ? ,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点; a b 2 2 2 若b ? a k ? 0即k ? ? , a 2 2 2 ? ? (?2a mk) ? 4(b ? a 2 k 2 )(?a 2 m2 ? a 2b 2 ) ? ? 0 ?直线与双曲线相交,有两个交点; ? ? 0 ?直线与双曲线相切,有一个交点; ? ? 0 ?直线与双曲线相离,无交点;
直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。

2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
设直线 l:y=kx+n,圆锥曲线:F(x,y)=0,它们的交点为 P1 (x1,y1),P2 (x2,y2), 且由 ?

? F ( x, y ) ? 0 ,消去 y→ax2+bx+c=0(a≠0) ,Δ=b2 -4ac。 y ? kx ? n ?
( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则弦长公式为:则 | AB |? 1 ? k

若联立消去 x 得 y 的一元二次方程: ay2 ? by ? c ? 0(a ? 0) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 | AB |? 1 ? 焦点弦长:

1 ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 k2

| PF | ? e (点 P 是圆锥曲线上的任意一点, F 是焦点, d 是 P 到相应于焦点 F 的准线的 d

距离, e 是离心率) 。

x2 y 2 ? ? 1 有且只有一个公共点的直线有几条,分别求出它们的方 【例 1】过点 P( 7,5) 与双曲线 7 25
程。 解析:若直线的斜率不存在时,则 x ?

7 ,此时仅有一个交点 ( 7, 0) ,满足条件;

若直线的斜率存在时,设直线的方程为 y ? 5 ? k ( x ? 7) 则 y ? kx ? 5 ? k 7 ,

x 2 (kx ? 5 ? k 7)2 ? ? 1 , ∴25x2 ? 7(kx ? 5 ? k 7)2 ? 7 ? 25 , 7 25 (25 ? 7k 2 ) x2 ? 7 ? 2kx(5 ? k 7) ? (5 ? k 7)2 ? 7 ? 25 ? 0 ,
5 7 时,方程无解,不满足条件; 7 5 7 当k ? ? 时, 2 ? 5 7 x ?10 ? 75 方程有一解,满足条件; 7 25 2 当k ? 时,令 ? ? [14k (5 ? k 7)]2 ? 4(25 ? 7k 2 )[(5 ? k 7)2 ?165] ? 0 ,化简得: k 无解,所以 7
当k ? 不满足条件; 所以满足条件的直线有两条 x ?

7和y??

5 7 x ? 10 。 7

2013 年直线和双曲线的位置关系——第 1 页

【例 2】直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A、B 两点,当 a 为何值时,A、B 在双曲线的 同一支上?当 a 为何值时,A、B 分别在双曲线的两支上? 解析:把 y ? kx ? 1 代入 3x 2 ? y 2 ? 1 整理得: (3 ? a 2 ) x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 当 a ? ? 3 时, ? ? 24 ? 4a 。
2

由 ? >0 得 ? 6 ?a? 6 且 a ? ? 3 时,方程组有两解,直线与双曲线有两个交点。

2 >0 ,所以 a ? ? 3 或 a ? 3 。 a ?3 故当 ? 6 ? a ? ? 3 或 3 ? a ? 6 时,A、B 两点在同一支上;当 ? 3 ? a ? 3 时,A、B 两点
若 A、B 在双曲线的同一支,须 x1 x2 ?
2

在双曲线的两支上。 点评: 与双曲线只有一个公共点的直线有两种。 一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。 另一种是与双曲线相切的直线也有两条。 【例 3】求直线 y ? x ? 1 被双曲线 x ?
2

y2 ? 1截得的弦长; 4

? 2 y2 ?1 ?x ? 4 ? 2 2 ? y ? x ?1 2 解析:由 ? 得 4 x ? ( x ? 1) ? 4 ? 0 得 3x ? 2 x ? 5 ? 0 (*) 2 5 x ? x ? ,x x ? ? x1 , x2 ,则有 1 2 3 1 2 3 设方程(*)的解为 得,

d ? 2 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2
3.中点弦问题:
【例】求过定点 (0,1) 的直线被双曲线 x ?
2

4 20 8 ? ? 2 9 3 3

y2 ? 1截得的弦中点轨迹方程。 4 解:设弦的两个端点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,弦中点为 P( x, y) ,则

?4 x12 ? y12 ? 4 ? ? 2 2 ?4 x2 ? y2 ? 4 得: 4( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) , ?

y1 ? y2 4( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 y1 ? y2 , ∴

y 4x ? 即 x y ?1 ,

即 4 x ? y ? y ? 0 (图象的一部分)
2 2

4、最值问题
2 2 【例 1】在双曲线 9x ? 25y ? 225上求一点,使到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离最短。

解:设与直线 x ? y ? 3 ? 0 平行且与椭圆相切的直线方程为: x ? y ? m ? 0
2 2 2 2 联立化简得 16x ? 50mx ? 25m ? 225 ? 0 (*) ? ? (50m) ? 4 ?16(25m ? 225) ? 0

? m 2 ? 4, m ? ?2 ,故切线方程为: x ? y ? 4 ? 0 代入双曲线方程解得(
2

25 9 , ) 4 4

y2 【例 2】设 A(3,2) , F 为双曲线 x ? =1 的右焦点,在双曲线上求一点 P,使得 | PA | ? 1 | PF | 取 3 2
得最小值时,求 P 点的坐标. 易解:P 点的坐标为 ?

? 21 ? ? ? 3 ,2 ? ? ?

2013 年直线和双曲线的位置关系——第 2 页

典例分析 例 1. 判断下列直线与双曲线的位置关系 (1) 2 x ? y ? 10 ? 0与

x2 y 2 ? ?1 20 5

(2) x ? y ? 1 ? 0与x ? y ? 3
2 2

例 2. (1)过定点 P(0,-1)的直线与双曲线 x2 ? y 2 ? 4 仅有一个公共点的直线有(

)条。

(2)过定点 P(1,1)的直线与双曲线 x2 ? y 2 ? 4 仅有一个公共点的直线有(

)条。

(3)过点 P 1, 2 的直线与双曲线 x ?
2

?

?

y2 ? 1 有且只有一个公共点,这样的直线共有 3
D.4 条

A.1 条

B.2 条

C.3 条

y2 ? 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 30°的直线交该双曲线于 A,B 两点,求 ?F1 AB 的周 3 长。 F1 为双曲线的左焦点) (

例 3.经过双曲线 x2 ?

例 4.(1)以 P(1,8)为中点作双曲线为 y 2 ? 4 x2 =4 的一条弦 AB,求直线 AB 的方程。

(2)过定点 A(1,1)作直线 l 与双曲线 x ?
2

y2 ? 1交与 P,Q 两点,若点 A 是线段 PQ 的中点,这样的直 2

线 l 存在吗?

例 5.如果直线 y ? kx ? 1 双曲线 x ? y ? 4 仅有一个公共点,求 k 的值。
2 2

如果直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 4 右支有两个公共点 求 k 的取值范围。
2 2

2013 年直线和双曲线的位置关系——第 3 页

例 6.若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 点),求 k 的取值范围。

??? ??? ? ? x2 ? y 2 =1 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA ? OB>2 (其中 O 为原 3

例 7.已知双曲线 C: x 2 ? y 2 ? 1 及直线 l : y ? kx ? 1 (1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围: (2)若 l 与 C 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,且Δ AOB 的面积为 2 ,求实数 k 值。

2013 年直线和双曲线的位置关系——第 4 页


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