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广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中数学试卷(理科)


广东省广州市执信中学 2015 届高三上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1. (5 分)若集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,则集合 B 可能是() A.{1,2} B.{x|x≤1} C.{﹣1,0,1} D.R 2. (5 分)下列说法正确的是()

2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” 2 2 B. 命题“?x≥0,x +x﹣1<0”的否定是“?x0<0,x0 +x0﹣1≥0” C. 命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为假命题 D.若“p∨q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题 3. (5 分)设{an}为等差数列,公差 d=﹣2,sn 为其前 n 项和,若 S10=S11,则 a1=() A.18 B.20 C.22 D.24 4. (5 分)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的 左视图为()

A.

B.

C.

D. ,则△ ABC 的面积是() D.

5. (5 分)在△ ABC 中,已知 AB=4 A. B. 6. (5 分)设曲线 A.2

C.



在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=() B. C. D.﹣2

7. (5 分)在△ ABC 中,点 P 在 BC 上,且 ,则 A.(﹣2,7) =() B.(﹣6,21)

,点 Q 是 AC 的中点,若



C.(2,﹣7)

D.(6,﹣21)

8. (5 分)已知函数 f(x)=

,把函数 g(x)=f(x)﹣x 的零点

按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为() A. B.an=n﹣1 C.an=n(n﹣1) D.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 30 分) (一)必做题(9~13 题) 9. (5 分)已知复数 a+bi=i(1﹣i) (其中 a,b∈R,i 是虚数单位) ,则 a+b 的值为. 10. (5 分)若 ,则常数 T 的值为.

11. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值是.

12. (5 分)已知(

+ ) 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数比为 56:3,则 n=.

n

13. (5 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 为椭圆 E:

+

=1 (a>b>0)的左顶

点,B,C 在椭圆 E 上,若四边形 OABC 为平行四边形,且∠OAB=30°,则椭圆 E 的离心率 等于.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (5 分)在极坐标系中,曲线 ρ=cosθ+1 与 ρcosθ=1 的公共点到极点的距离为. 15. (5 分) (几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长 线上一点,且 DF=CF= ,AF:FB:BE=4:2:1,若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (13 分)已知函数 f(x)=( sinx+cosx)cosx﹣ .

(Ⅰ)用五点作图法列表,作出函数 f(x)在 x∈[0,π]上的图象简图; (Ⅱ)若 f( + )= ,﹣ <a<0,求 sin(2a﹣ )的值.

17. (14 分)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知 AB=AC=AA1= ,BC=4,A1 在底面 ABC 的 射影是线段 BC 的中点 O. (Ⅰ)证明:在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE⊥平面 BB1C1C,并求出 AE 的长; (Ⅱ)求二面角 A1﹣B1C﹣C1 的余弦值.

18. (14 分)袋中装着标有数字 1、2、3、4、5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个小球,每个小 球被取出的可能性都相等,用 ξ 表示取出的 3 个小球上的最大数字,求: (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量 ξ 的概率分布列和数学期望. 19. (12 分)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x +2x 的图象上,其中 n=1,2,3,… (1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1)?(1+a2)…(1+an) ,求 Tn 及数列{an}的通项; (3)记 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
2

20. (13 分)已知椭圆 C1 的离心率为 e=
2 2 2

,过 C1 的左焦点 F1 的直线 l:x﹣y+2=0 被圆 C2: .

(x﹣3) +(y﹣3) =r (r>0)截得的弦长为 2 (1)求椭圆 C1 的方程;

(2)设 C1 的右焦点为 F2,在圆 C2 上是否存在点 P,满足|PF1|= 个这样的点(不必求出点的坐标) ;若不存在,说明理由.

|PF2|,若存在,指出有几

21. (14 分)设函数 (1)当 k=1 时,判断函数 f(x)的单调性,并加以证明; (2)当 k=0 时,求证:f(x)>0 对一切 x>0 恒成立; (3)若 k<0,且 k 为常数,求证:f(x)的极小值是一个与 a 无关的常数.



广东省广州市执信中学 2015 届高三上学期期中数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1. (5 分)若集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,则集合 B 可能是() A.{1,2} B.{x|x≤1} C.{﹣1,0,1} D.R 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题;集合. 分析: 由集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,得 B?A,由此能求出结果. 解答: 解:∵集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B, ∴B?A, 观察备选答案中的 4 个选项, 只有{1,2}?A. 故选:A. 点评: 本题考查交集性质的应用,是基础题,解题时要认真审题. 2. (5 分)下列说法正确的是() A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” 2 2 B. 命题“?x≥0,x +x﹣1<0”的否定是“?x0<0,x0 +x0﹣1≥0” C. 命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为假命题 D.若“p∨q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题 考点: 专题: 分析: 解答: 复合命题的真假;四种命题间的逆否关系;命题的否定. 简易逻辑. 通过复合命题的定义,四种命题的关系,命题的否定,逐项进行判断. 2 解:对于 A:否命题为“若 x ≠1,则 x≠1”,故 A 错误;
2 2

对于 B:否定是“?x0≥0,x0 +x0﹣1≥0”,故 B 错误; 对于 C:逆否命题为:若“sin x≠sin y,则 x≠y”,是真命题,故 C 错误; A,B,C,都错误,故 D 正确, 故选:D. 点评: 本题考查了复合命题的定义,四种命题的关系,命题的否定,是一道基础题. 3. (5 分)设{an}为等差数列,公差 d=﹣2,sn 为其前 n 项和,若 S10=S11,则 a1=() A.18 B.20 C.22 D.24 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的前 10 项的和等于前 11 项的和可知,第 11 项的值为 0,然后根据等差 数列的通项公式,利用首项和公差 d 表示出第 11 项,让其等于 0 列出关于首项的方程,求出 方程的解即可得到首项的值. 解答: 解:由 s10=s11, 得到 a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11 即 a11=0, 所以 a1﹣2(11﹣1)=0, 解得 a1=20. 故选 B 点评: 此题考查学生掌握等差数列的性质,灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一 道基础题. 4. (5 分)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的 左视图为()

2

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题. 分析: 直接利用三视图的画法,画出几何体的左视图即可. 解答: 解:由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段,上面的射影也是线段, 后面与底面的射影都是线段,轮廓是正方形,AD1 在右侧的射影是正方形的对角线, B1C 在右侧的射影也是对角线是虚线. 如图 B. 故选 B.

点评: 本题考查几何体的三视图的画法,考查作图能力. 5. (5 分)在△ ABC 中,已知 AB=4 A. B. 考点: 正弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: 在△ ABC 中,由余弦定理可得 BC 的值,再由△ ABC 的面积为 ×AB×BC×sinB 运算 求得结果. 解答: 解:在△ ABC 中,由余弦定理可得 4 = 解得 BC=4,或 BC=8. 当 BC=4 时,△ ABC 的面积为 ×AB×BC×sinB= ×4 当 BC=8 时,△ ABC 的面积为 ×AB×BC×sinB= ×4 ×4× =4 ×8× =8 , ,
2

C.



,则△ ABC 的面积是() D.

+BC ﹣2×4

2

×BC×cos30°,

故选 C. 点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题. 6. (5 分)设曲线 A.2 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=() B. C. D.﹣2

考点: 导数的几何意义. 分析: (1)求出已知函数 y 在点(3,2)处的斜率; (2)利用两条直线互相垂直,斜率之间的关系 k1?k2=﹣1,求出未知数 a. 解答: 解:∵y= ∴y′=﹣

∵x=3∴y′=﹣ 即切线斜率为﹣ ∵切线与直线 ax+y+1=0 垂直 ∴直线 ax+y+1=0 的斜率为﹣a. ∴﹣ ?(﹣a)=﹣1 得 a=﹣2 故选 D. 点评: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处 的切线的斜率,过点 P 的切线方程为:y﹣y0=f′(x0) (x﹣x0)

7. (5 分)在△ ABC 中,点 P 在 BC 上,且 ,则 A.(﹣2,7) =() B.(﹣6,21)

,点 Q 是 AC 的中点,若



C.(2,﹣7)

D.(6,﹣21)

考点: 数量积的坐标表达式. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的坐标形式的运算法则求出 量共线的充要条件求出 解答: 解: ∵点 Q 是 AC 的中点 ∴ =(﹣3,2) ,利用向量共线的充要条件求出 ,利用向

∵ =(﹣6,21) 故选 B 点评: 本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件: ?

8. (5 分)已知函数 f(x)=

,把函数 g(x)=f(x)﹣x 的零点

按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为() A. B.an=n﹣1 C.an=n(n﹣1) D.

考点: 根的存在性及根的个数判断;等差数列的通项公式. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的零点的定义,构造两函数图象的交点,交点的横坐标即为函数的零点, 再通过数列及通项公式的概念得所求的解. x x x 解答: 解:当 x∈(﹣∞,0]时,由 g(x)=f(x)﹣x=2 ﹣1﹣x=0,得 2 =x+1.令 y=2 , y=x+1.在同一个坐标系内作出两函数在区间(﹣∞,0]上的图象,由图象易知交点为(0,1) , 故得到函数的零点为 x=0. 当 x∈(0,1]时,x﹣1∈(﹣1,0],f(x)=f(x﹣1)+1=2 ﹣1+1=2 ,由 g(x)=f(x) x﹣1 x﹣1 x﹣1 ﹣x=2 ﹣x=0,得 2 =x.令 y=2 ,y=x.在同一个坐标系内作出两函数在区间(0,1]上 的图象,由图象易知交点为(1,1) ,故得到函数的零点为 x=1.
x﹣1 x﹣1

当 x∈(1,2]时,x﹣1∈(0,1],f(x)=f(x﹣1)+1=2 +1=2 +1,由 g(x)=f(x) x﹣2 x﹣2 x﹣2 ﹣x=2 +1﹣x=0,得 2 =x﹣1.令 y=2 ,y=x﹣1.在同一个坐标系内作出两函数在区间 (1,2]上的图象,由图象易知交点为(2,1) ,故得到函数的零点为 x=2. 依此类推,当 x∈(2,3],x∈(3,4],…,x∈(n,n+1]时,构造的两函数图象的交点依次为 (3,1) , (4,1) ,…, (n+1,1) ,得对应的零点分别为 x=3,x=4,…,x=n+1. 故所有的零点从小到大依次排列为 0,1,2,…,n+1.其对应的数列的通项公式为 an=n﹣1. 故选 B.

x﹣1﹣1

x﹣2

点评: 本题主要考查了函数零点的概念及零点的求法、数列的概念及简单表示;培养学生 观察、分析、归纳、推理的能力;解题中使用了数形结合及分类讨论的数学方法和数学思想. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 30 分) (一)必做题(9~13 题) 9. (5 分)已知复数 a+bi=i(1﹣i) (其中 a,b∈R,i 是虚数单位) ,则 a+b 的值为 2. 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数代数形式的乘法运算展开等式右边,由复数相等的条件求出 a,b 的值,则 答案可求. 解答: 解:由 a+bi=i(1﹣i)=1+i,得 a=1,b=1, ∴a+b=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件,是基础题. 10. (5 分)若 ,则常数 T 的值为 3.

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 利用微积分基本定理即可求得. 解答: 解: 故答案为:3. = =9,解得 T=3,

点评: 本题考查定积分、微积分基本定理,属基础题.

11. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值是 5.

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y 表示直线在 y 轴上的 截距,只需求出可行域内直线在 y 轴上的截距最大值即可. 解答: 解;作出不等式组表示的平面区域,如图所示 做直线 L:2x+y=0,然后把直线 L 向可行域平移,结合图象可知当直线 z=2x+y 过点 A 时,z 最大 由 可得 A(2,1)

即当 x=2,y=1 时,zmax=5. 故答案为:5

点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.
n

12. (5 分)已知(

+ ) 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数比为 56:3,则 n=10.

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 运用二项式的通项公式,求出通项并化简整理,再令 r=4,r=2,求出系数,列出方 程,解出即可得到 n. 解答: 解: ( + ) 的展开式的通项为 Tr+1=
n





n﹣r

( )=

r

2

r



则由题意可得 则有 14×

2:

4

2 =56:3, ,

2

=3×

解得,n=10. 故答案为:10. 点评: 本题考查二项式定理及运用,考查二项式的通项公式及运用,考查运算能力,属于 基础题.

13. (5 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 为椭圆 E:

+

=1 (a>b>0)的左顶

点,B,C 在椭圆 E 上,若四边形 OABC 为平行四边形,且∠OAB=30°,则椭圆 E 的离心率 等于 .

考点: 椭圆的简单性质. 分析: 首先利用椭圆的对称性和 OABC 为平行四边形,可以得出 B、C 两点是关于 Y 轴对 称,进而得到 BC=OA=a; 设 B(﹣ ,y)C( ,y) ,从而求出|y|,然后由∠OAB=∠COD=30°, 利用 tan30°= b/ = ,求得 a=3b,最后根据 a =c +b 得出离心率.
2 2 2

解答: 解:∵AO 是与 X 轴重合的,且四边形 OABC 为平行四边形 ∴BC∥OA, B、C 两点的纵坐标相等, B、C 的横坐标互为相反数 ∴B、C 两点是关于 Y 轴对称的. 由题知:OA=a 四边形 OABC 为平行四边形,所以 BC=OA=a 可设 B(﹣ ,y)C( ,y) 代入椭圆方程解得:|y|= b,

设 D 为椭圆的右顶点,因为∠OAB=30°,四边形 OABC 为平行四边形 所以∠COD=30°

对 C 点:tan30°= 解得:a=3b

=

根据:a =c +b 得:a =c + e= e= 故答案为:
2 2 2

2

2

2



点评: 本题考查了椭圆的对称性以及简单性质,由椭圆的对称性求出 B、C 两点的纵坐标进 而得到 a=3b 是解题的关键,属于中档题. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (5 分)在极坐标系中,曲线 ρ=cosθ+1 与 ρcosθ=1 的公共点到极点的距离为 .

考点: 专题: 分析: 解答: 解得 ρ=

点的极坐标和直角坐标的互化;两点间的距离公式. 计算题. 联立 ρ=cosθ+1 与 ρcosθ=1 消掉 θ 即可求得 ρ,即为答案. 解:由 ρ=cosθ+1 得,cosθ=ρ﹣1,代入 ρcosθ=1 得 ρ(ρ﹣1)=1, 或 ρ= (舍) , ,

所以曲线 ρ=cosθ+1 与 ρcosθ=1 的公共点到极点的距离为 故答案为: .

点评: 本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化,属基础题. 15. (5 分) (几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长 线上一点,且 DF=CF= ,AF:FB:BE=4:2:1,若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: 设出 AF=4k, BF=2k, BE=k, 由 DF?FC=AF?BF 求出 k 的值, 利用切割定理求出 CE. 解答: 解:设 AF=4k,BF=2k,BE=k,由 DF?FC=AF?BF,得 2=8k ,即 k= .
2

∴AF=2,BF=1,BE= ,AE= ; 由切割定理得 CE =BE?EA= × = . ∴CE= . .
2

故答案为:

点评: 本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,考查计算能力,基本知识掌握的情况, 是常考题型. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (13 分)已知函数 f(x)=( sinx+cosx)cosx﹣ .

(Ⅰ)用五点作图法列表,作出函数 f(x)在 x∈[0,π]上的图象简图; (Ⅱ)若 f( + )= ,﹣ <a<0,求 sin(2a﹣ )的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)分别取出对应的 x 值和 y 值列表,然后描点,再用平滑曲线连接得函数图象. (Ⅱ)由 f( + ﹣ )= ,即可推得 cosa= ,从而可求 sina 的值,进而求出 sin2a=2sinacosa=
2

,cos2a=2cos a﹣1=﹣

,故可求得 sin(2a﹣ sinx+cosx)cosx﹣

)的值.

解答: 解: (1)f(x)=( = sinxcosx+cos x
2

=

=



列表:

描点画出简图如下:

(2)f( + ∵﹣

)=sin[2( +

)+

]=sin(a+

)=cosa= ,

<a<0,∴sina=﹣ , ,cos2a=2cos a﹣1=﹣ .
2

∴sin2a=2sinacosa=﹣ sin(2a﹣ )=



(sin2a﹣cos2a)=﹣

点评: 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,考察了三角函数的图象与性质,属于 基础题. 17. (14 分)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知 AB=AC=AA1= ,BC=4,A1 在底面 ABC 的 射影是线段 BC 的中点 O. (Ⅰ)证明:在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE⊥平面 BB1C1C,并求出 AE 的长; (Ⅱ)求二面角 A1﹣B1C﹣C1 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ) 连接 AO, 在△ AOA1 中, 作 OE⊥AA1 于点 E, 因为 AA1∥BB1, 所以, OE⊥BB1, 证明 BC⊥OE,可得结论,AE= ;

(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出平面 B1CC1 的一个法向量、平面 A1B1C 的法向量,利用向 量的夹角公式求二面角 A1﹣B1C﹣C1 的余弦值. 解答: 解: (Ⅰ)证明:连接 AO,在△ AOA1 中,作 OE⊥AA1 于点 E,因为 AA1∥BB1, 所以,OE⊥BB1 因为 A1O⊥平面 ABC,所以 BC⊥平面 AA1O,所以 BC⊥OE,所以 OE⊥平面 BB1CC1 又 AO= =1,AA1= 得 AE= = .

(Ⅱ)解:如图,分别以 OA,OB,OA1 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则 A (1,0,0) ,B(0,2,0) ,C(0,﹣2,0) ,A1(0,0,2) 由 = ,得点 E 的坐标是( ,0, ) , = ( ,0 , )

由(Ⅰ)知平面 B1CC1 的一个法向量为

设平面 A1B1C 的法向量是 =(x,y,z) , 由 得 可取 =(2,1,﹣1) ,

所以 cos<

, >=

=



点评: 本题考查线面垂直,考查二面角 A1﹣B1C﹣C1 的余弦值,考查向量法的运用,属于 中档题. 18. (14 分)袋中装着标有数字 1、2、3、4、5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个小球,每个小 球被取出的可能性都相等,用 ξ 表示取出的 3 个小球上的最大数字,求: (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量 ξ 的概率分布列和数学期望. 考点: 互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与 方差. 专题: 计算题. 分析: (1)根据题意,一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 A,一次取出的 3 个小球上有两个数字相同的事件记为 B,易得事件 A 和事件 B 是互斥事件,易得事件 B 的 概率,由互斥事件的意义,可得答案, (2)由题意 ξ 有可能的取值为:2,3,4,5,分别计算其取不同数值时的概率,列出分步列, 进而计算可得答案. 解答: 解: (1)一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 A,一次取出的 3 个小球 上有两个数字相同的事件记为 B,则事件 A 和事件 B 是互斥事件,因为

所以

. (4 分)

(2)由题意 ξ 有可能的取值为:2,3,4,5. (5 分) ; (8 分)

; (9 分



; (10 分)

; (11 分) 所以随机变量 ε 的概率分布为

(12 分) 因此 ξ 的数学期望为: (14 分)

点评: 本题考查概率的计算以及随机变量的分布列的运用,注意其公式的正确运用即可. 19. (12 分)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x +2x 的图象上,其中 n=1,2,3,… (1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1)?(1+a2)…(1+an) ,求 Tn 及数列{an}的通项; (3)记 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
2

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 2 2 分析: (Ⅰ)由题意得 an+1=an +2an,变形得 an+1+1=(an+1) ,再两边取对数化简后,由 等比数列的定义可证明; (Ⅱ)由(Ⅰ)和等比数列的通项公式求出 1+an 的表达式,代入 Tn 根据指数的运算和等比数 列的前 n 项公式化简; (Ⅲ)将 an+1=an +2an 化简后取倒数得
2

,再代入 bn=

化简,利用

前后项相消后求出数列{bn}的前 n 项和 Sn. 2 2 解答: 证明: (Ⅰ)由题意得 an+1=an +2an,即 an+1+1=(an+1) , 两边取对数得,lg(an+1+1)=2lg(an+1) ,即 由 a1=2 得,lg(a1+1)=lg3, 即数列{lg(1+an)}是公比为 2、以 lg3 为首项的等比数列; 解: (Ⅱ)由(Ⅰ)知,lg(1+an)=2 所以 1+an= ,
n﹣1



lg3=



所以 Tn=(1+a1)?(1+a2)…(1+an)

= 由 1+an=

… ,得 an=

=

= ﹣1;
2



(Ⅲ)由(Ⅰ)得,an+1=an +2an=2an(an+2) , 所以 又 bn= ,所以 bn= )+( ,即 , )+…+( )] ,

所以 Sn=b1+b2+…+bn=2[( =2( 由 an= Sn=1﹣ ) , ﹣1 得,a1=2,an+1= .

﹣1,代入上式得,

点评: 本题考查等比数列的定义,前 n 项公式,裂项相消法求数列的和,以及指数、对数 的运算等,属于中档题.

20. (13 分)已知椭圆 C1 的离心率为 e=
2 2 2

,过 C1 的左焦点 F1 的直线 l:x﹣y+2=0 被圆 C2: .

(x﹣3) +(y﹣3) =r (r>0)截得的弦长为 2 (1)求椭圆 C1 的方程;

(2)设 C1 的右焦点为 F2,在圆 C2 上是否存在点 P,满足|PF1|= 个这样的点(不必求出点的坐标) ;若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;探究型;存在型. 分析: 对第(1)问,由 a =b +c ,
2 2 2 2 2

|PF2|,若存在,指出有几

及 F1 的坐标满足直线 l 的方程,联立此三个方程,

即得 a ,b ,从而得椭圆方程; 对第(2)问,根据弦长,利用垂径定理与勾股定理得方程,可求得圆的半径 r,从而确定圆 的方程,再由条件|PF1|= |PF2|,将点 P 满足的关系式列出,通过此关系式与已知圆 C2 的方

程联系,再探求点 P 的存在性. 解答: 解:在直线 l 的方程 x﹣y+2=0 中,令 y=0,得 x=﹣2,即得 F1(﹣2,0) , ∴c=2,又∵离心率 ,

∴a =6,b =a ﹣c =2, ∴椭圆 C1 的方程为 . ,

2

2

2

2

(2)∵圆心 C2(3,3)到直线 l:x﹣y+2=0 的距离为 d= 又直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 ∴由垂径定理得 故圆 C2 的方程为 , , .

设圆 C2 上存在点 P(x,y) ,满足 ∵F1(﹣2,0) ,F2(2,0) , 则 此方程表示圆心在点 ∴|CC2|= 故有 ,整理得 ,半径是 的圆, ,

,即|PF1|=3|PF2|.



,即两圆相交,有两个公共点.

∴圆 C2 上存在两个不同点 P,满足|PF1|=
2 2


2 2 2

点评: 1.求椭圆的方程,关键是确定 a ,b ,常用到关系式

及 a =b +c ,再找一个关

系式,一般可解出 a,b. 2.本题采用交集思想巧妙地处理了点 P 的存在性.本解法是用圆特有的方式判断两圆的公共 点个数,若联立两曲线的方程,消去 x 或 y,用判别式来判断也可以,其适用范围更广,但计 算量相对大一些.

21. (14 分)设函数 (1)当 k=1 时,判断函数 f(x)的单调性,并加以证明; (2)当 k=0 时,求证:f(x)>0 对一切 x>0 恒成立; (3)若 k<0,且 k 为常数,求证:f(x)的极小值是一个与 a 无关的常数.



考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题. 分析: (1)求出函数的导函数,判断出导函数小于等于 0,判断出函数单调性. (2)求出导函数,令导函数为 0,求出根,判断出根左右两边的符号,求出极小值,判断出 极小值的符号得证.

(3)求出导函数,令导函数为 0,求出根,判断根左右两边的符号,求出极小值,判断出极 小值是与 a 无关的常数. 解答: 解: (1)函数的定义域为 x>0 当 k=1 时,f(x)=



=

∴函数 f(x)在(0,+∞)上是单调减函数 (2)当 k=0 时,

令 当

∴ ∵e>2 ∴ ∴f(x)>0 恒成立 (3)∵ ∴ 令 解得 ∴ ( 舍去)

,f′(x)<0,f(x)是单调减函数

时,f′(x)>0,f(x)是单调增函数

因此,当 x=

f(x)有极小值







是与 a 无关的常数



均与 a 无关.

∴f(x0)是与 a 无关的常数. 则 f(x)的极小值是一个与 a 无关的常数. 点评: 求函数的极小值时,令导函数为 0 求出根,但一定注意判断根左右两边的符号是否 异号.


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