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高中数学 选修1-1 11.椭圆的简单几何性质


11.椭圆的简单几何性质
教学目标 ________ 1.了解椭圆的几何性质. 2.掌握椭圆中 a , b , c 的关系. 3.能根据椭圆的性质挖掘隐含条件. 教学过程 一、椭圆的几何性质. 1.椭圆的简单几何性质. 焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 班级 ____ 姓名

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
? a ? x ? a ,?b ? y ? b

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
?b ? x ? b,?a ? y ? a

范围

A1 (?a,0) , A2 (a,0)
顶点

A1 (0,?a) , A2 (0, a) B1 (?b,0) , B2 (b,0)

B1 (0,?b) , B2 (0, b)
轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 2. a , b , c , e 的几何意义. (1) a 表示长半轴的长度; (2) b 表示短半轴的长度; (3) c 表示焦距的一半;

短轴长 2b ,长轴长 2 a

F1 (?c,0) , F2 (c,0) | F1F2 |? 2c
对称轴: x 轴、 y 轴

F1 (0,?c) , F2 (0, c)

对称中心:原点

e?

c ? (0,1) a

(4) e 表示离心率. e 越接近 1,椭圆越扁; e 越接近 0,椭圆越圆. 二、椭圆中 a , b , c 的关系.(掌握 a , b , c 是掌握椭圆的关键) 1.椭圆中 a , b , c 的理解. (1) a :长半轴的长度(长轴的长度为 2 a ) ; 椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 2 a . (2) b :短半轴的长度(半轴的长度为 2b ). (3) c :椭圆焦距的一半(椭圆焦距为 2c ). (4)椭圆中 a , b , c 的关系: a ? b ? c 。
2 2 2

(5)在椭圆中, a , b , c 均为正数,其中 a 最大, b 和 c 的大小无法确定. 2.从已知条件中挖掘 a , b , c 的信息. (1)椭圆的标准方程:较大的分母是 a ,较小的分母是 b , a ? b ? c ;较大分母对应
2 2

2

2

2

的坐标轴即为焦点所在. (2) 椭圆的焦点坐标: 非 0 坐标的绝对值即为 c ; 焦点坐标反映焦点位置, 结合方程可得 a 和 b 的值. (3)焦点坐标:可看出 c 的值. (4)顶点坐标:可看出 a , b 的值. 注意:① 非标准方程一定要化成标准方程(分式形式) ,才能看出 a 和 b (记得开根号). ② 求椭圆及设椭圆时,一定要考虑焦点的位置. 三、例题分析. 1.椭圆的简单几何性质. 例 1:求椭圆 16x ? 25y ? 400的长轴和短轴的长,离心率,焦点和顶点坐标.
2 2
2 2

练 1:已知椭圆方程为 4 x ? 9 y ? 1 ,求椭圆长轴和短轴的长,离心率,焦点和顶点坐标.
2 2

2.由椭圆的几何性质求方程. 例 2:椭圆过点(3,0) ,离心率 e ?

6 ,求椭圆的标准方程. 3

作业:已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴上,离心率 e ?

1 ,焦距为 8,求椭圆标准方程. 2


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