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湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考理数试题+答案


湖北省部分重点中学 2015 届高三第一次联考

高三数学试卷(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,前 4 题每题 12 分,21 题 13 分,22 题 14 分,共 75 分.

18.解: (Ⅰ)? 3, f ( x1 ), f ( x2 ),?, f ( xm ), 3m ? 6 成等差数列

? 3 ? (m ? 1)d ? 3m ? 6

?d ? 3

? f ( x1 ) ? 3 ? 3 ? 6
? f ( xn ) ? 6 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 3
(Ⅱ)? f ( xn ) ? log2 xn ? 3n ? 3 ????????????6 分

? x n ? 2 3n ?3

? S n ? 26 ? 29 ? 212 ? ? ? 23n?3
? 26 (1 ? 23 ? 26 ? ? ? 23( n?1) )
=2 ?
6

1 ? (2 3 ) n 2 3n ?6 ? 64 ? 7 1 ? 23

????????????12 分

20.证明: (Ⅰ) 又

PA ? 面ABCD , BD ? 面 ABCD

? PA ? BD

?ABC 是正三角形,M 为 AC 的中点 ? AC ? BD 而 AP AC ? A

? BD ? 面PAC , PC ? 面 PAC
? BD ? PC (Ⅱ)法一: AC ? BD ,M 为 AC 中点 ? AD=DC
又 ?ADC=120
o

????????????6 分

??CAD=30o

? ?BAD ? 90?

以点 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 A? 0,0,0? , P ? 0,0,2? , B(2, 0, 0) , C 1, 3, 0 , D(0,

?

?

2 3 , 0) 3

则 BD ? (?2,

2 3 3 3 ,0), PC ? (1, 3,?2), PD ? (0, ,?2) 3 3

由(Ⅰ) ? BD ? 面PAC ,取面 PAC 的法向量为 n1 ? ( 3,?1,0) 设面 PBC 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , 由? 取一个法向量为 n2 ? (?1,

? ? PC ? n2 ? 0 ? ? PD ? n2 ? 0

得?

? ? x2 ? 3 y 2 ? 2 z 2 ? 0 ? ? 3 y2 ? 2z 2 ? 0

3, 1)
? ?2 3 2? 5 ?? 15 ,? 二面角 A ? PC ? D 的余弦 5
????????????12 分

? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 | n1 |? | n2 |



15 . 5

(Ⅱ)法二:由(Ⅰ)知 DM ? 面 PAC ,过 M 作 MH ? PC 于 H ,连 PH .

? ?MHD 为二面角 A ? PC ? D 的平面角(三垂线定理)
?MHD 中, MH ?

2 3 30 , DH ? , , MD ? 2 3 6

? cos?MHD ?

MH 15 15 .? 二面角 A ? PC ? D 的余弦值 .?12 分 ? DH 5 5

(Ⅲ)直线 AB 的方程为 y ? ?2 x ? 3 点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

3 (?2) ? 1
2 2

?

3 5

k AB ?

3 3 2 x1 ? x2 ? 6( x12 ? x2 ) 2 ? x12 ? x2 ? x1 x2 ? 6( x1 ? x2 ) ? 16 ? x1 x2 ? 6 ? 4 ? ?2 x1 ? x2

? x1 x2 ? ?6
?| AB |? 12 ? (?2) 2 | x1 ? x 2 |? 5 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 5 ? 4 2 ? 4 ? (?6) ? 10 2

? S ?AOB ?
22.解:

1 1 3 | AB | ?d ? ? 10 2 ? ? 3 10 . 2 2 5
1 2 x , x ? [0,1] 2

???13 分

(1) 记 h( x) ? cos x ? 1 ?

则 h' ( x) ? ? sin x ? x ,记 G( x) ? ? sin x ? x , G' ( x) ? ? cos x ? 1 ? 0 ∴ G ( x) 在 [0,1] 上是增函数,则 G( x) ? G(0) ? 0 ,∴ h( x) 在 [0,1] 上是增函数

1 h( x) ? h(0) ? 0 ,∴ x ? [0,1] 时, 1 ? x 2 ? cos x . 2 1 2 记 ? ( x) ? 1 ? x ? cos x , x ? [0,1] 4 x x 1 ' ' 则 ? ( x) ? ? ? sin x ,记 H ( x) ? ? ? sin x , H ( x) ? ? ? cos x ? 0 2 2 2
∴ H ( x ) 在 [0,1] 上是增函数,则 H ( x) ? H (0) ? 0 , ? ( x) 在 [0,1] 上是增函数

1 4 1 2 1 2 综上所述, x ? [0,1] 时, 1 ? x ? cos x ? 1 ? x . 2 4

? ( x) ? ? (0) ? 0 ,∴ x ?[0,1] 时, cos x ? 1 ? x 2

???????6 分

(2) 要使 f ( x ) , g ( x) 间一定存在“分界函数” ,则 x ? [0,1] 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立. 由已知, (1 ? x) ? e
?2 x

? 1 ? x, cos x ? 1 ?

1 2 x 4

g ( x) ? f ( x) ? (1 ? x)e ?2 x ? 2 x cos x ? (

x3 ? ax ? 1) 2

? 1 ? x ? 2 x(1 ?

1 2 x3 x ) ? ( ? ax ? 1) ? ?(a ? 3) x 4 2

∴ a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 [0,1] 上恒成立. 下证 a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 [0,1] 上不恒成立. 由已知 (1 ? x) ? e
?2 x

?

1 1 , cos x ? 1 ? x 2 1? x 2

g ( x) ? f ( x) ? (1 ? x)e ?2 x ? 2 x cos x ? ( 1 1 x3 ? 2 x(1 ? x 2 ) ? ( ? ax ? 1) 1? x 2 2

x3 ? ax ? 1) 2

?

x3 g ( x) ? f ( x) ? (1 ? x)e ? 2 x cos x ? ( ? cos x ? 1) 2 3 1 1 x ? ? 2 x(1 ? x 2 ) ? ( ? cos x ? 1) 1? x 2 2 2 3 x x ? ? ? (a ? 3) x 1? x 2 x 2x ? [ x2 ? ? 2(a ? 3)] 2 1? x x ? [ x 2 ? 2 x ? 2(a ? 3)] 2
?2 x

记 ? ( x) ? x2 ? 2x ? 2(a ? 3) 必存在 x0 ? (0,1) 使 ? ( x0 ) ? 0 ∴必存在 x0 ? (0,1) 使 g ( x0 ) ? f ( x0 ) ,则 a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 [0,1] 上不恒成立. 综上,a ? ?3 . ???????14 分


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