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江苏省淮安市淮海中学2015届高三Ⅲ级部第一学期数学限时训练(6)


淮海中学 2015 届高三Ⅲ级部第一学期数学限时训练(6)
命题人:肖海峰 岳军 审核:王开林 张文波 2014.9.27 1 参考公式:锥体体积公式 V= Sh,其中 S 为底面积,h 为高 3 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案直接填写在答题卡相 .... 应位置 上. ... 1.命题“ ?x ? R , x ? 1 ? 0 ”的否定为 ▲ .

2.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 M ? {x ? Z | x 2 ? 6 x ? 5 ≤ 0} ,则集合

CU M =





3.为了调查城市 PM2.5 的值,按地域把 36 个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数 分别为 6,12,18.若用分层抽样的方法抽取 18 个城市,则乙组中应抽取的城市数 为 ▲ .
b ? R , i 是虚数单位) 4.若 (1 ? ai)2 ? ?1+bi ( a, ,则 a ? bi ?





5.程序如下:

t ?1 i?2 While i ? 4 t ? t ?i i ? i ?1 E n d While Pr i n t t
以上程序输出的结果是 ▲ . 6.有 4 个兴趣小组,甲、乙两位同学各参加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是 等可能的,则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ▲ .

? x ? y ? ?1 ? ? 7.若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是 ? ? ?3x ? y ? 3
8.设正项等比数列 {an } 的公比为 q ,且





S3 ? 7 ,则公比 q ? a3





9 .如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm ,则三棱锥
1

A ? B1 D1 D 的体积为



cm3 .
▲ .

10.已知直线 y ? kx 是 y ? ln x 的切线,则实数 k 的值为
D1 A1 D B B1 C C1

A

第9题

第 12 题

11.在 ?ABC中, a, b, c 分别是 ? A、 ? B、 ? C 的对边, a, b, c 满足 b2 ? a 2 ? c2 ? ac 若 b ? 2 3 ,则 ΔABC 面积的最大值为 ▲ .

12. 如上图,在△ ABC 中,∠BAC=120° ,AB=2,AC=1,D 是边 BC 上一点,DC=2BD,


???? ??? ? 则 AD?BC ?





x2 y 2 13.如图,已知椭圆 C 的方程为: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , B 是它的下顶点, F 是其右 a b 焦点, BF 的延长 线 与椭圆及其右准线分别交于 P 、 Q 两点,若 点 P 恰好是 BQ 的中点,
则此椭圆的离心率是 ▲ .

y P

Q

[来源:Zxxk.Com]

O B

F

x

第 13 题

14.设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ?

x?0 ?| lg x |, ,若关于 x 的方程 2 ? ? x ? 2 x, x ? 0
▲ .

2 f 2 ( x) ? 2bf ( x) ? 1 ? 0 有 8 个不同的实数根,则实数 b 的取值范围是

2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演 算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分)已知平面向量 a=(1,2sinθ),b=(5cosθ,3). (1)若 a∥b,求 sin2θ 的值; π (2)若 a⊥b,求 tan(θ+ )的值. 4

16. (本小题满分 14 分) 如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点. (1)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,求证:AD⊥DC1; (2)求证:A1B//平面 ADC1.
A1 B1 C
1

A B (第 16 题)

D

C

17. (本小题满分 15 分) 已知各项均不相同的等差数列{an}的前四项和 S4=14,且 a1,a3,a7 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Tn 为数列{ }的前 n 项和,求 T2014 的值.

18. (本小题满分 15 分) 如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上, D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知|AB|=3 米,|AD|=2 米 . (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长度应在什么范围内? (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小值.

D A

N

C B

P

M
3

19. (本小题满分 16 分) 如图 , A, B 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右顶点 , M 是椭圆上异于 A, B 的任意一 a 2 b2

点 , 直线 l 是椭圆的右准线 (1)若椭圆 C 的离心率为

1 , 直线 l : x ? 4, 求椭圆 C 的方程; 2

(2)设直线 AM 交 l 于点 P, 以 MP 为直径的圆交 MB 于 Q, 若直线 PQ 恰好过原点 , 求椭圆 C 的离心率

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=alnx+x2(a 为实常数) . (1)若 a=﹣2,求证:函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数; (2)若存在 x∈[1,e],使得 f(x)≤(a+2)x 成立,求实数 a 的取值范围 (3)求函数 f(x)在[1,e]上的最小值及相应的 x 值;

亲爱的文科及艺体同学,祝贺你已完成试卷,可别忘了检查哟!理科的同学们一鼓作气,拿下附 加题。加油!

4

数学Ⅱ(附加题)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选 定其中两题,并在相应的答题区域 .. ............... 内作 .. 答. 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 .. 骤. B.[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ?

? 2 1? ?10? 2 ,向量 b ? ? ? .求向量 a ,使得 A a ? b . ? ?0 1? ?2?

C.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 已知圆锥曲线 (θ 是参数)和定点 A(0, 3 ),F1、F2 是圆锥曲线的左、 3

右焦点.求经过点 F2 且垂直地于直线 AF1 的直线 l 的参数方程;

5

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题纸指定区域内 作答,解答时应写 ........ 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,已知三棱锥 O-ABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两垂直,且 OA=1,OB=OC=2,E A 是 OC 的中点. (Ⅰ)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅱ)求二面角 A-BE-C 的余弦值. O E C

B

23. (本小题满分 10 分)

设 f ? n? ? nn?1 , g ? n ? ? ? n ? 1? , n ? N * .
n

(1)当 n ? 1, 2,3, 4 时,比较 f ? n ? 与 g ? n ? 的大小. (2)根据⑴的结果猜测一个一般性结论,并加以证明

再查一下,大功告成!

6

淮海中学 2015 届高三Ⅲ级部第一学期数学限时训练(6)
数学学科答案
一、填空题: 1. ?x ? R, x ? 1 ? 0 5、24 9.3 13、 6. 10、 2.{6,7} 3. 7、2 11、 3 3 . 6 8、 12、 4、 10

1 4 1 e

1 2


3 3

14、 (?

3 ,- - 2 ) 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演 算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内. 15. (1)因为 a∥b,所以 1× 3-2sinθ× 5cosθ=0, …………………3 分 3 即 5sin2θ-3=0,所以 sin2θ= . …………………6 分 5 (2)因为 a⊥b,所以 1× 5cosθ+2sinθ× 3=0. …………………8 分 5 所以 tanθ=- . …………………10 分 6 π tanθ+tan 4 π 1 所以 tan(θ+ )= = . …………………14 4 π 11 1-tanθtan 4 分 16.证明: (1)因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC. 因为平面 ABC⊥平面 BCC1B1,平面 ABC∩平面 BCC1B1=BC,AD?平面 ABC, 所以 AD⊥平面 BCC1B1. …………………5 分 因为 DC1?平面 BCC1B1,所以 AD⊥DC1. …………………7 分 (2)(证法一) 连结 A1C,交 AC1 于点 O,连结 OD, 则 O 为 A1C 的中点. 因为 D 为 BC 的中点,所以 OD//A1B. …………………12 分 因为 OD?平面 ADC1,A1B? / 平面 ADC1, 所以 A1B//平面 ADC1. (证法二)
∥BD. 取 B1C1 的中点 D1,连结 A1D1,D1D,D1B.则 D1C1 =

…………………15 分

所以四边形 BDC1D1 是平行四边形.所以 D1B// C1D. 因为 C1D?平面 ADC1,D1B? / 平面 ADC1, 所以 D1B//平面 ADC1.
7

同理可证 A1D1//平面 ADC1. 因为 A1D1?平面 A1BD1,D1B?平面 A1BD1,A1D1∩D1B=D1, 所以平面 A1BD1//平面 ADC1. 因为 A1B?平面 A1BD1,所以 A1B//平面 ADC1. 17. 解答 解: (Ⅰ)设公差为 d, ∵Sn=14,且 a1,a3,a7 成等比数列, ∴ ,…(4 分) …………………12 分 …………………15 分

解得 d=0(舍)或 d=1,所以 a1=2, 故 an=n+1.…(7 分) (Ⅱ)∵an=n+1, ∴ 所以 = +…+ = ﹣ = , ,…(12 分)

1007 所以 T2014= 2016 .…(14 分)
18(本小题满分 15 分) 【解】设 AN 的长为 x 米 ( x ? 2) ,

3x 由 | DN | ? | DC | ,得 | AM |? , …2 分 x?2 | AN | | AM |
…………………………………………4 分

2 ∴ S 矩形AMPN ?| AN | ? | AM |? 3x . x?2

(1)由 S矩形AMPN ? 32,得

3x 2 ? 32 , x?2

又 x ? 2 ,于是 3x ? 32x ? 64 ? 0 ,解得
2

8 8 2 ? x ? 或x ? 8 ,AN 长的取值范围为 ( 2 , ) ∪ (8 , ? ?) .……………8 分 3 3

3x 2 3( x ? 2) 2 ? 12( x ? 2) ? 12 12 ? ? 3( x ? 2) ? ? 12 (2) y ? x?2 x?2 x?2
? 2 3( x ? 2) ? 12 ? 12 ? 24 , x?2

………………………………………12 分

2 当且仅当 3( x ? 2) ? 12 即 x ? 4 时, y ? 3x 取得最小值 24, x?2 x?2

∴当 AN 的长度是 4 米时,矩形 AMPN 的面积最小,最小值为 24 平方米.……15 分
8

19. (本小题满分 16 分)解: 分析:(1)由离心率

1 , 右准线 l 的方程为 x=4,建立方程组,求得几何量,从而可求椭 2

圆的方程; (2)根据题意,可得 A,M,P 三点共线,MQ⊥PQ,由此可得几何量之间的关系, 从而可求离心率

? c 1 ? a?2 ?a?2 ? a2 ? x2 y2 ? ? ? ? 1 ……(6 分) 解: (1)由题意:? ∴椭圆的方程为: ? 4 , 解得 ? 4 3 c b ? 3 ? ? 2 2 2 ? ?a ? b ? c ? ? ?
(2)设 M ( x, y ) , P (

a2 , t) c
y t ? 2 ,∴ t ? x?a a ?a c

y(

∵A,M,P 三点共线,∴

a2 ? a) c , ………(9 分) x?a

由题意 OP ? BM ,∴ kOP ? kBM ? ?1 ……(11 分)

a2 cy ( ? a) y 即: 2 c ? ? -1 , 点 a ( x ? a) x ? a

P

在 椭 圆 上 , ∴

x2 y 2 ? ?1 , 则 a 2 b2

y 2 ? b2 (1 ?

2 x2 b (a ? x2 ) ) ? a2 a2

2



y 2 (a ? c) b2 (a ? c) (a 2 ? c 2 )(a ? c) ? ? ? ?1 ……(14 分) a( x 2 ? a 2 ) ?a 3 ?a 3
2 2

∴ c ? ac ? a ? 0

∴ e ? e ? 1 ? 0 ,解得: e ?
2

5 ?1 ……(16 分)(注:其它解法 2

参照得分) 本题考查椭圆的几何性质与标准方程,考查学生分析解决问题的能力,考查学生的计算能 力,属于中档题 20. (16 分)
9

解: (1) 当 a=﹣2 时, ( f x) =x ﹣2lnx, 当 x∈ (1, +∞) , (2)不等式 f(x)≤(a+2)x,可化为 a(x﹣lnx)≥x ﹣2x. ∵x∈[1,e],∴lnx≤1≤x 且等号不能同时取,所以 lnx<x,即 x﹣lnx>0, 因而 (x∈[1,e])
2

2





(x∈[1,e]) ,又



当 x∈[1,e]时,x﹣1≥0,lnx≤1,x+2﹣2lnx>0, 从而 g'(x)≥0(仅当 x=1 时取等号) ,所以 g(x)在[1,e]上为增函数, 故 g(x)的最小值为 g(1)=﹣1,所以 a 的取值范围是[﹣1,+∞) . (3) ,当 x∈[1,e],2x +a∈[a+2,a+2e ].
2 2

若 a≥﹣2,f'(x)在[1,e]上非负(仅当 a=﹣2,x=1 时,f'(x)=0) ,故函数 f(x) 在[1,e]上是增函数,此时[f(x)]min=f(1)=1. 若﹣2e <a<﹣2,当 当 当 故[f(x)]min=
2 2

时,f'(x)=0;

时,f'(x)<0,此时 f(x)是减函数; 时,f'(x)>0,此时 f(x)是增函数. = .
2

若 a≤﹣2e ,f'(x)在[1,e]上非正(仅当 a=﹣2e ,x=e 时,f'(x)=0) , 2 故函数 f(x)在[1,e]上是减函数,此时[f(x)]min=f(e)=a+e . 2 综上可知,当 a≥﹣2 时,f(x)的最小值为 1,相应的 x 值为 1;当﹣2e <a<﹣2 时,f(x) 的最小值为 值为 a+e , 相应的 x 值为 e.
2

,相应的 x 值为

;当 a≤﹣2e 时,f(x)的最小

2

10

数学Ⅱ(附加题)
B.[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
【答案】B 解:

A2 ? ?

?2 1? ?2 1? ? 4 3? ?? ??? ?, ?0 1? ?0 1? ?0 1?

设 a ? ? ? ,由

? x? ? y?

A2a ? b 得

? 4 3? ? x ? ?10 ? ?4 x ? 3 y ? 10 ?x ? 1 ?1 ? , 解得 ? ,所以 a ? ? ? ? 0 1? ? y ? ? ? 2 ? , 即 ? y ? 2 ? ?? ? ? ? ? 2? ? ?y ? 2
C.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
【答案】

解:圆锥曲线

化为普通方程

,……2 分

所以 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,则直线 AF1 的斜率 于是经过点 F2 垂直于直线 AF1 的直线 l 的斜率 120° ,……8 分

,……6 分 ,直线 l 的倾斜角是

所以直线 l 的参数方程是 数) .……10 分

(t 为参数) ,即

(t 为参

11

23. (本小题满分 10 分)答案要

点:(1) f (1) ? g (1) , f (2) ? g (2) , f (3) ? g (3) , f (4) ? g (4) . (2)猜想:当 n ? 3 , n ? N * 时,有 nn?1 ? (n ? 1)n . 证明:①当 n ? 3 时,有猜想成立(已验证). ②当 n ? k ( k ? 3 , k ? N * )时,猜想成立,即 k k ?1 ? (k ? 1)k (*). 下面证明当 n ? k ? 1 时,有猜想也成立.由(*)得,

k k ?1 ? 1 ,因为 (k ? 1)k

(k ? 1)2 ? k (k ? 2) ,所以
,则 k ?1 k , 所 以 (k ? 1)k ?2 k ? 1 k (k ? 1)2 ? ( k ) k ? k k k ?1 ? ? ( ) ? ? ? 1 k ? 2 k ?1 k ?1 (k ? 2)k ?1 k ?2 k ?2 (k ? 1k)

12

* (k ? 1)k ?2 ? (k ? 2)k ?1 .综合①②,猜想对任何 n ? 3 , n ? N 都成立.

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