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高一数学奥赛培训


中学《高一数学奥赛培训》校本教材教案 目录
§1 数学方法选讲(1) §2 数学方法选讲(2) §3 集 合 ????????????????????????1 ????????????????????????11 ????????????????????????22 ????????????????????????30 ????????????????????????

41 ????????????????????????55 ????????????????????????63

§4 函数的性质 §5 二次函数(1) §6 二次函数(2) §7 指、对数函数,幂函数

§1 数学方法选讲(1)
同学们在阅读课外读物的时候,或在听老师讲课的时候,书上的例题或老师讲解的例题他都 能听懂,但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来,要提高解决问题的能力,要能在 竞赛中有所作为,首先得提高分析问题的能力,这就需要学习一些重要的数学思想方法。

例题讲解
一、从简单情况考虑 华罗庚先生曾经指出:善于“退”,足够的“退”,退到最原始而又不失去重要性的地方, 是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑,就是一种以退为进的一种解题策略。 1. 两人坐在一张长方形桌子旁, 相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。 条件是硬币一定要平放 在桌子上,后放的硬币不能压在先放的硬币上,直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。谁放入了 最后一枚硬币谁获胜。问:先放的人有没有必定取胜的策略?

2.线段 AB 上有 1998 个点(包括 A,B 两点),将点 A 染成红色,点 B 染成蓝色,其余各点染 成红色或蓝色。这时,图中共有 1997 条互不重叠的线段。 问:两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数?为什么?

3.1000 个学生坐成一圈,依次编号为 1,2,3,?,1000。现在进行 1,2 报数:1 号学生报 1 后立即离开,2 号学生报 2 并留下,3 号学生报 1 后立即离开,4 号学生报 2 并留下??学生们依 次交替报 1 或 2,凡报 1 的学生立即离开,报 2 的学生留下,如此进行下去,直到最后还剩下一 个人。问:这个学生的编号是几号?

4.在 6×6 的正方形网格中,把部分小方格涂成红色。然后任意划掉 3 行和 3 列,使得剩下的小 方格中至少有 1 个是红色的。那么,总共至少要涂红多少小方格?

二、从极端情况考虑 从问题的极端情况考虑,对于数值问题来说,就是指取它的最大或最小值;对于一个动点来 说,指的是线段的端点,三角形的顶点等等。极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件,求 解也就会变得容易得多。 5. 新上任的宿舍管理员拿着 20 把钥匙去开 20 个房间的门, 他知道每把钥匙只能打开其中的一个 门,但不知道哪一把钥匙开哪一个门,现在要打开所有关闭的 20 个门,他最多要开多少次?

6.有 n 名(n≥3)选手参加的一次乒乓球循环赛中,没有一个全胜的。问:是否能够找到三名选 手 A,B,C,使得 A 胜 B,B 胜 C,C 胜 A?

7.n(n≥3)名乒乓球选手单打比赛若干场后,任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同。 试证明,总可以从中去掉一名选手,而使余下的选手中,任意两个选手已赛过的对手仍然都 不完全相同。

8.在一个 8×8 的方格棋盘的方格中,填入从 1 到 64 这 64 个数。问:是否一定能够找到两个相 邻的方格,它们中所填数的差大于 4?

三、从整体考虑

从整体上来考察研究的对象,不纠缠于问题的各项具体的细节,从而能够拓宽思路,抓住主 要矛盾,一举解决问题。 9. 右图是一个 4×4 的表格, 每个方格中填入了数字 0 或 1。 按下列规则进行 “操 作”:每次可以同时改变某一行的数字:1 变成 0,0 变成 1。 问:能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成 1?

10.有三堆石子,每堆分别有 1998,998,98 粒。现在对这三堆石子进行如下的“操作”:每次 允许从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子,或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中。 按上述方式进行“操作”,能否把这三堆石子都取光?如行,请设计一种取石子的方案;如 不行,请说明理由。

11.我们将若干个数 x,y,z,?的最大值和最小值分别记为 max(x,y,z,?)和 min(x,y, z, 。 ?) 已知

a+b+c+d+e+f+g=1, min[max 求 (a+b+c, b+c+d, c+d+e, d+e+f, e+f+g) ]

课后练习
1.方程 x1+x2+x3+?+xn-1+xn=x1x2x3?xn-1xn 一定有一个自然数解吗?为什么?

2.连续自然数 1, 3, 2, ?, 8899 排成一列。 1 开始, 1 划掉 2 和 3, 4 划掉 5 和 6?? 从 留 留 这么转圈划下去,最后留下的是哪个数?

3.给出一个自然数 n,n 的约数的个数用一个记号 A(n)来表示。例如当 n=6 时,因为 6 的 约数有 1,2,3,6 四个,所以 A(6)=4。已知 a1,a2,?,a10 是 10 个互不相同的质数,又 x 为 a1,a2,?,a10 的积,求 A(x)。

4.平面上有 100 个点,无三点共线。将某些点用线段连结起来,但线段不能相交,直到不能 再连结时为止。问:是否存在一个以这些点中的三个点为顶点的三角形,它的内部没有其余 97 个点中的任何一个点?

5.在一块平地上站着 5 个小朋友,每两个小朋友之间的距离都不相同,每个小朋友手上都拿 着一把水枪。当发出射击的命令后,每人用枪射击距离他最近的人。问:射击后有没有一个小朋 友身上是干的?为什么?

6.把 1600 粒花生分给 100 只猴子,请你说明不管怎样分,至少有 4 只猴子分的花生一样多。

7.有两只桶和一只空杯子。甲桶装的是牛奶,乙桶装的是酒精(未满)。现在从甲桶取一满 杯奶倒入乙桶,然后从乙桶取一满杯混合液倒入甲桶,这时,是甲桶中的酒精多,还是乙桶中的 牛奶多?为什么?

8.在黑板上写上 1,2,3,?,1998。按下列规定进行“操作”:每次擦去其中的任意两个 数 a 和 b,然后写上它们的差(大减小),直到黑板上剩下一个数为止。

问:黑板上剩下的数是奇数还是偶数?为什么?

课后练习答案
1.有。 解:当 n=2 时,方程 x1+x2=x1x2 有一个自然数解:x1=2,x2=2; 当 n=3 时,方程 x1+x2+x3=x1x2x3 有一个自然数解:x1=1,x2=2,x3=3; 当 n=4 时,方程 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4 有一个自然数解:x1=1,x2=1,x3=2,x4=4。 一般地,方程 x1+x2+x3+?+xn-1+xn=x1x2x3?xn-1xn 有一个自然数解:x1=1,x2=1,?,xn-2=1,xn-1=2,xn=n。 2.3508。 解:仿例 3。当有 3 个数时,留下的数是 1 号。 小于 8899 的形如 3 的数是 3 =6561,故从 1 号开始按规则划数,划了 8899-6561=2338(个) 数后,还剩下 6561 个数。下一个要划掉的数是 2388÷2×3+1=3507,故最后留下的就是 3508。 3.1024。 解:质数 a1 有 2 个约数:1 和 a,从而 A(a1)=2; 2 个质数 a1,a2 的积有 4 个约数:1,a1,a2,a1a2,从而 A(a1×a2)=4=22; 3 个质数 a1,a2,a3 的积有 8 个约数: 1,a1,a2,a3,a1a2,a2a3,a3a1,a1a2a3, 从而 A(a1×a2×a3)=8=23; ?? 于是,10 个质数 a1,a2,?,a10 的积的约数个数为 A(x)=2 =1024。 4.存在。 提示:如果一个三角形内还有别的点,那么这个点与三角形的三个顶点还能连结,与已“不 能再连结”矛盾。
10 n 8 n

5.有。 解:设 A 和 B 两人是距离最近的两个小朋友,显然他们应该互射。此时如果有其他的小朋友 射向他们中的一个,即 A,B 中有一人挨了两枪,那么其他三人中必然有一人身上是干的。如果 没有其他的小朋友射向 A 或 B,那么我们再考虑剩下的三个人 D,E,F:若 D,E 的距离是三人 中最近的,则 D,E 互射,而 F 必然射向他们之间的一个,此时 F 身上是干的。 6.假设没有 4 只猴子分的花生一样多,那么至多 3 只猴子分的花生一样多。我们从所需花生 最少情况出发考虑: 得 1 粒、2 粒、3 粒??32 粒的猴子各有 3 只,得 33 粒花生的猴子有 1 只,于是 100 只猴子 最少需要分得花生 3×(0+1+2+?+32)+33=1617(粒), 现在只有 1600 粒花生, 无法使得至多 3 只猴子分的花生一样多, 故至少有 4 只猴子分的花生 一样多。 7.一样多。 提示:从整体看,甲、乙两桶所装的液体的体积没有发生变化。甲桶里有多少酒精,就必然 倒出了同样体积的牛奶入乙桶。所以,甲桶中的酒精和乙桶中的牛奶一样多。 8.奇数。 解:黑板上开始时所有数的和为 S=1+2+3+?+1998=1997001, 是一个奇数,而每一次“操作”,将(a+b)变成了(a-b),实际上减少了 2b,即减少了一 个偶数。因为从整体上看,总和减少了一个偶数,其奇偶性不变,所以最后黑板上剩下一个奇数。

例题答案:
1. 分析与解: 如果桌子大小只能容纳一枚硬币, 那么先放的人当然能够取胜。 然后设想桌面变大, 注意到长方形有一个对称中心,先放者将第一枚硬币放在桌子的中心,继而把硬币放在后放者所 放位置的对称位置上,这样进行下去,必然轮到先放者放最后一枚硬币。 2.分析:从最简单的情况考虑:如果中间的 1996 个点全部染成红色,这时异色线段只有 1 条, 是一个奇数。然后我们对这种染色方式进行调整:将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时,异 色线段的条数随之有哪些变化。 由于颜色的调整是任意的, 因此与条件中染色的任意性就一致了。 解:如果中间的 1996 个点全部染成红色,这时异色线段仅有 1 条,是一个奇数。将任意一个 红点染成蓝色时,这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若同色,则异色小线段的条数或者 增加 2 条(相邻的两个点同为红色),或者减少 2 条(相邻的两个点同为蓝色);这个改变颜色 的点的左右两侧相邻的两个点若异色,则异色小线段的条数不变。 综上所述,改变任意个点的颜色,异色线段的条数的改变总是一个偶数,从而异色线段的条 数是一个奇数。 3.分析:这个问题与上一讲练习中的第 8 题非常相似,只不过本例是报 1 的离开报 2 的留下,而 上讲练习中相当于报 1 的留下报 2 的离开,由上讲练习的结果可以推出本例的答案。本例中编号 为 1 的学生离开后还剩 999 人,此时,如果原来报 2 的全部改报 1 并留下,原来报 1 的全部改报 2 并离开,那么,问题就与上讲练习第 8 题完全一样了。因为剩下 999 人时,第 1 人是 2 号,所 以最后剩下的人的号码应比上讲练习中的大 1,是 975+1=976(号)。 为了加深理解,我们重新解这道题。 解:如果有 2 个人,那么报完第 1 圈后,剩下的是 2 的倍数号;报完第 2 圈后,剩下的是 2 的倍数号??报完第 n 圈后,剩下的是 2 的倍数号,此时,只剩下一人,是 2 号。
n n n 2

如果有(2 +d)(1≤d<2 )人,那么当有 d 人退出圈子后还剩下 2 人。因为下一个该退出 去的是(2d+1)号,所以此时的第(2d+1)号相当于 2 人时的第 1 号,而 2d 号相当于 2 人时 的第 2 号,所以最后剩下的是第 2d 号。 由 1000=2 +488 知,最后剩下的学生的编号是 488×2=976(号)。 4.分析与解:先考虑每行每列都有一格涂红,比较方便的涂法是在一条对角线上涂 6 格红色的, 如图 1。
9 n n n

n

n

n

任意划掉 3 行 3 列,可以设想划行划列的原则是:每次划掉红格的个数越多越好。对于图 1, 划掉 3 行去掉 3 个红格,还有 3 个红格恰在 3 列中,再划掉 3 列就不存在红格了。 所以,必然有一些行有一些列要涂 2 个红格,为了尽可能地少涂红格,那么每涂一格红色的, 一定要使多出一行同时也多出一列有两格红色的。 先考虑有 3 行中有 2 格涂红,如图 2。显然,同时也必然有 3 个列中也有 2 格涂红。这时, 我们可以先划掉有 2 格红色的 3 行,还剩下 3 行,每行上只有一格涂红,每列上也只有一格涂红, 那么在划掉带红格的 3 列就没有红格了。 为了使得至少余下一个红格,只要再涂一格。此红格要使图中再增加一行和一列有两个红格 的,如图 3。 结论是:至少需要涂红 10 个方格。 5. 解:从最不利的极端情况考虑:打开第一个房间要 20 次,打开第二个房间需要 19 次??共计 最多要开 20+19+18+?+1=210(次)。 6. 解:从极端情况观察入手,设 B 是胜的次数最多的一个选手,但因 B 没获全胜,故必有选手 A 胜 B。在败给 B 的选手中,一定有一个胜 A 的选手 C,否则,A 胜的次数就比 B 多一次了,这与 B 是胜的次数最多的矛盾。 所以,一定能够找到三名选手 A,B,C,使得 A 胜 B,B 胜 C,C 胜 A。

7. 证明:如果去掉选手 H,能使余下的选手中,任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同, 那么我们称 H 为可去选手。我们的问题就是要证明存在可去选手。 设 A 是已赛过对手最多的选手。 若不存在可去选手,则 A 不是可去选手,故存在选手 B 和 C,使当去掉 A 时,与 B 赛过的 选手和与 C 赛过的选手相同。从而 B 和 C 不可能赛过,并且 B 和 C 中一定有一个(不妨设为 B) 与 A 赛过,而另一个(即 C)未与 A 赛过。 又因 C 不是可去选手,故存在选手 D,E,其中 D 和 C 赛过,而 E 和 C 未赛过。 显然,D 不是 A,也不是 B,因为 D 与 C 赛过,所以 D 也与 B 赛过。又因为 B 和 D 赛过, 所以 B 也与 E 赛过,但 E 未与 C 赛过,因而选手 E 只能是选手 A。 于是,与 A 赛过的对手数就是与 E 赛过的对手数,他比与 D 赛过的对手数少 1,这与假设 A 是已赛过对手最多的选手矛盾。 故一定存在可去选手。 8. 解:考虑这个方格棋盘的左上角、右上角及右下角内的数 A,B,S。 设存在一个填数方案,使任意相邻两格中的数的差不大于 4,考虑最大和最小的两个数 1 和 64 的填法,为了使相邻数的差不大于 4,最小数 1 和最大数的“距 越大越好,即把它们填在对角的位置上(A=1,S=64)。 然后,我们沿最上行和最右行来观察:因为相邻数不大于 4, A→B→S 共经过 14 格, 所以 S≤1+4×14=57 每次都增加最大数 4) ( , 从 与 离”

S=64 矛盾。因而,1 和 64 不能填在“最远”的位置上。显然,1 和 64 如果填在其他任意位置, 那么从 1 到 64 之间的距离更近了,更要导致如上的矛盾。因此,不存在相邻数之差都不大于 4 的情况,即不论怎样填数必有相邻两数的差大于 4。 9. 解:我们考察表格中填入的所有数的和的奇偶性:第一次“操作”之前,它等于 9,是一个奇 数, 每一次“操作”,要改变一行或一列四个方格的奇偶性,显然整个 16 格中所有数的和的奇偶 性不变。 但当每一格中所有数字都变成 1 时,整个 16 格中所有数的和是 16,为一偶数。故不能通过 若干次“操作”使得每一格中的数都变成 1。 10. 解:要把三堆石子都取光是不可能的。

按“操作”规则,每次拿掉的石子数的总和是 3 的倍数,即不改变石子总数被 3 除时的余数。 而 1998+998+98=3094,被 3 除余 1,三堆石子被取光时总和被 3 除余 0。所以,三堆石子都被取 光是办不到的。 11. 解:设 M=max(a+b+c,b+c+d,c+d+e,d+e+f,e+f+g)。 因为 a+b+c,c+d+e,e+f+g 都不大于 M,所以

§2 数学方法选讲(2)
四、从反面考虑 解数学题,需要正确的思路。对于很多数学问题,通常采用正面求解的思路,即从条件出发, 求得结论。但是,如果直接从正面不易找到解题思路时,则可改变思维的方向,即从结论入手或 从条件及结论的反面进行思考,从而使问题得到解决。 1.某次数学测验一共出了 10 道题,评分方法如下: 每答对一题得 4 分, 不答题得 0 分, 答错一题倒扣 1 分, 每个考生预先给 10 分作为基础分。 问: 此次测验至多有多少种不同的分数?

2.一支队伍的人数是 5 的倍数,且超过 1000 人。若按每排 4 人编队,则最后差 3 人;若按每排 3 人编队,则最后差 2 人;若按每排 2 人编队,则最后差 1 人。问:这支队伍至少有多少人?

3.在八边形的 8 个顶点上是否可以分别记上数 1,2,?,8,使得任意三个相邻的顶点上的数的 和大于 13?

4.有一个 1000 位的数,它由 888 个 1 和 112 个 0 组成,这个数是否可能是一个平方数?

五、从特殊情况考虑 对于一个一般性的问题,如果觉得难以入手,那么我们可以 先考虑它的某些特殊情况,从而获得解决的途径,使问题得以“突破”,这种方法称为特殊 化。

对问题的特殊情况进行研究,一方面是因为研究特殊情况比研究一般情况较为容易;另一方 面是因为特殊的情况含有一般性,所以对特殊情况的研究常能揭示问题的结论或启发解决问题的 思路,它是探索问题的一种重要方法。 运用特殊化方法进行探索的过程有两个步骤,即先由一般到特殊,再由特殊到一般。通过第 一步骤得到的信息,还要回到一般情况予以解答。 5.如下图,四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形,且边长均为 2cm。又 E 点是正方形 ABCD 的 中心,求两个正方形公共部分(图中阴影部分)的面积 S。

6.是否在平面上存在这样的 40 条直线,它们共有 365 个交点?

7.如右图,正方体的 8 个顶点处标注的数字为 a,b,c,d,e,

求(a+b+c+d)-(e+f+g+h)的值。

8.将 n 个互不相等的数排成下表: a11 a12 a13 ? a1n a21 a22 a23 ? a2n

2

an1 an2 an3 ? ann 先取每行的最大数,得到 n 个数,其中最小数为 x;再取每列的最小数,也得到 n 个数,其 中最大数为 y。试比较 x 和 y 的大小。

六、有序化 当我们研究的对象是一些数的时候,我们常常将这些数排一个次序,即将它们有序化。有序 化的假设,实际上是给题目增加了一个可供使用的条件。 9.将 10 到 40 之间的质数填入下图的圆圈中,使得 3 组由“→”所连的 4 个数的和相等,如果把 和数相等的填法看做同一类填法,请说明一共有多少类填法?并画图表示你的填法。

10.有四个互不相等的数,取其中两个数相加,可以得到六个和:24,28,30,32,34,38。求 此四数。

11.互不相等的 12 个自然数,它们均小于 36。有人说,在这些自然数两两相减(大减小)所得 到的差中,至少有 3 个相等。你认为这种说法对吗?为什么?

12.有 8 个重量各不相同的物品,每个物品的重量都是整克数且都不超过 15 克。小平想以最少的 次数用天平称出其中最重的物品。他用了如下的测定法: (1)把 8 个物品分成 2 组,每组 4 个,比较这 2 组的轻重; (2)把以上 2 组中较重的 4 个再分成 2 组,即每组 2 个,再比较它们的轻重; (3)把以上 2 组中较重的分成各 1 个,取出较重的 1 个。 小平称了 3 次天平都没有平衡,最后便得到一个物品。 可是实际上得到的是这 8 个物品当中从重到轻排在第 5 的物品。 问:小平找出的这个物品有多重?并求出第二轻的物品重多少克?

课后练习
1.育才小学 40 名学生参加一次数学竞赛,用 15 分记分制(即分数为 0,1,2,?,15)。 全班总分为 209 分,且相同分数的学生不超过 5 人。试说明得分超过 12 分的学生至多有 9 人。

2.今有一角纸币、二角纸币、五角纸币各 1 张,一元币 4 张,五元币 2 张,用这些纸币任意 付款,一共可以付出多少种不同数额的款项?

3.求在 8 和 98 之间(不包括 8 和 98),分母为 3 的所有最简分数的和。

4.如右图,四边形 ABCD 的面积为 3,E,F 为边 AB 的三等分点,M,N 是 CD 边上的三等分点。 求四边形 EFNM 的面积。

5.直线上分布着 1998 个点,我们标出以这些点为端点的一切可能线段的中点。问:至少可 以得到多少个互不重合的中点?

6.假定 100 个人中的每一个人都知道一个消息,而且这 100 个消息都不相同。为了使所有的 人都知道一切消息,他们一共至少要打多少个电话?

7.有 4 个互不相等的自然数,将它们两两相加,可以得到 6 个不同的和,其中较小的 4 个和 是 64,66,68,70。求这 4 个数。

8.有五个砝码,其中任何四个砝码都可以分成重量相等的两组。问:这五个砝码的重量相等 吗?为什么?

课后练习答案
1.若得分超过 12 分的学生至少有 10 人,则全班的总分至少有 5×(12+13)+5×(0+1+2+3+4+5)=210(分), 大于条件 209 分,产生了矛盾,故得分超过 12 分的学生至多有 9 人。 2.119 种。 解:从最低币值 1 角到最高币值 14 元 8 角,共 148 个不同的币值。再从中剔除那些不能由这 些纸币构成的币值。 经计算,应该剔除的币值为(i+0.4)元(i=0,1,2,?,14)及(j+0.9)元(j=1,2,3,?, 13),一共 29 种币值。所以,一共可以付出 148-29=119(种)不同的币值。 3.9540。

=2×(8+9+?+97)+(97-8+1)=9540。 4.1。 解:先考虑 ABCD 是长方形的特殊情况,显然此时 EFNM 的面积是 1。下面就一般情况求解。

连结 AC,AM,FM,CF,则

5.3993 个。 解:为了使计算互不重复,我们取距离最远的两点 A,B。先计算以 A 为左端点的所有线段, 除 B 外有 1996 条,这些线段的中点有 1996 个,它们互不重合,且到点 A 的距离小于 AB 长度的一 半。 同样,以 B 为右端点的所有线段,除 A 外有 1996 条,这些线段的中点有 1996 个,它们互不 重合,且到点 A 的距离小于 AB 长度的一半。 这两类中点不会重合,加上 AB 的中点共有 1996+1996+1=3993(个),即互不重合的中点不 少于 3993 个。 另一方面,当这 1998 个点中每两个相邻点的间隔都相等时,不重合的中点数恰为 3993。 这说明,互不重合的中点数至少为 3993 个。 6.198 个。 解: 考虑一种特殊的通话过程: 先由 99 人每人打一个电话给 A, 再给 99 人每人打一个电话, A 这样一共打了 198 个电话,而且每人都知道了所有的消息。 下面我们说明这是次数最少的。考虑一种能使所有人知道一切消息的通话过程中的关键性的 一次通话,这次通话后,有一个接话人 A 知道了所有的消息,而在此之前还没有人知道所有的消 息。 除了 A 以外的 99 人每人在这个关键性的通话前, 必须打出电话一次, 否则 A 不可能知道所有 的消息;又这 99 人每人在这个关键性的通话后,又至少收到一个电话,否则它们不可能知道所有 的消息。 7.30,34,36,38 或 31,33,35,39。 解:设 4 个数为 a,b,c,d,且 a<b<c<d,则 6 个和为 a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d。 于是有 a+b<a+c<a+d<b+d<c+d

和 a+b<a+c<b+c<b+d<c+d。

分别解这两个方程组,得

8.相等。 解:设这五个砝码的重量依次为 a≤b≤c≤d≤e。 去掉 e,则有 a+d=b+c; ① 去掉 d,则有 a+e=b+c。 ② 比较①②,得 d=e。 去掉 a,则有 b+e=c+b; ③ 去掉 b,则有 a+e=c+d。 ④ 比较③④,得 a=b。 将 a=b 代入①得 c=d,将 d=e 代入④得 b=c。所以 e=b=c=d=e。

例题答案:
分析:最高的得分为 50 分,最低的得分为 0 分。但并不是从 0 分到 50 分都能得到。 从正面考虑计算量较大,故我们从反面考虑,先计算有多少种分数达不到,然后排除达不到 的分数就可以了。 解:最高的得分为 50 分,最低的得分为 0 分。在从 0 分到 50 分这 51 个分数中,有 49,48, 47,44,43,39 这 6 种分数是不能达到的,故此次测验不同的分数至多有 51-6=45(种)。 2. 分析:从条件“若按每排 4 人编队,则最后差 3 人”的反面来考虑,可理解为“若按每排 4 人编队,则最后多 1 人”。同理,按 3 人、2 人排队都可理解为多 1 人。即总人数被 12 除余 1。 这样一来,原题就化为: 一个 5 的倍数大于 1000,且它被 12 除余 1。问:这个数最小是多少? 解:是 5 的倍数且除以 12 余 1 的最小自然数是 25。因为人数超过 1000,[3,4,5]=60,所 以最少有 25+60×17=1045(人)。 3. 解:将八边形的 8 个顶点上的数依次记为 a1,a2,a3,?,a8,则有 S=a1+a2+a3+? +a8=1+2+3+?+8=36。 假设任意 3 个相邻顶点上的数都大于 13,因为顶点上的数都是整数,所以 a1+a2+a3≥14; a2+a3+a4≥14; ?? a7+a8+a1≥14; a8+a1+a2≥14。 将以上 8 个不等式相加,得 3S≥112,从而 S> 37,这与 S=36 矛盾。故结论是否定的。 4.解:假设这个数为 A,它是自然数 a 的平方。 因为 A 的各位数字之和 888 是 3 的倍数, 所以 a 也应是 3 的倍数。 于是 a 的平方是 9 的倍数, 但 888 不是 9 的倍数,这样就产生了矛盾,从而 A 不可能是平方数。 1.

5. 分析:我们先考虑正方形 EFGH 的特殊位置, 即它的各边与正方形 ABCD 的各边对应平行的 情况(见上图)。此时,显然有

得出答案后, 这个问题还得回到一般情况下去解决, 解决的方法是将一般情况变成特殊情况。 解:自 E 向 AB 和 AD 分别作垂线 EN 和 EM(右图),则有 S=S△PME+S 四边形 AMEQ 又 S△PME=S△EQN,故 S=S△EQN+S 四边形 AMEQ =S 正方形 AMEN

6. 分析与解:先考虑一种特殊的图形:围棋盘。它有 38 条直线、361 个交点。我们就从这种 特殊的图形出发,然后进行局部的调整。

先加上 2 条对角线,这样就有 40 条直线了,但交点仍然是 361 个。再将最右边的 1 条直线向 右平移 1 段,正好增加了 4 个交点(见上图)。于是,我们就得到了有 365 个交点的 40 条直线。 7. 分析:从这 8 个数都相等的特殊情况入手,它们满足题目条件,从而得所求值为 0。这就启发 我们去说明 a+b+c+d=e+f+g+h。 解:由已知得 3a=b+e+d,3b=a+c+f, 3c=b+d+g,3d=a+c+h, 推知 3a+3b+3c+3d=2a+2b+2c+2d+e+f+g+h, a+b+c+d=e+f+g+h, (a+b+c+d)-(e+f+g+h)=0。 8. 分析:先讨论 n=3 的情况,任取两表: 1 3 7 1 2 3 2 5 6 4 5 6 8 9 4 7 8 9 左上表中 x=6,y=4;右上表中 x=3,y=3。两个表都满足 x≥y,所以可以猜想 x≥y。

解:设 x 是第 i 行第 j 列的数 aij,y 是第 l 行第 m 列的数 alm。考虑 x 所在的行与 y 所在的列交 叉的那个数,即第 i 行第 m 列的数 aim。显然有 aij≥aim≥alm,当 i=l,j=m 时等号成立,所以 x ≥y。 9. 解:10 到 40 之间的 8 个质数是 11,13,17,19,23,29,31,37。 根据题目要求,除去最左边和最右边的 2 个质数之外,剩下的 6 个质数在同一行的 2 个质数 的和应分别相等,等于这 6 个数中最小数(记为 a)与最大数(记为 b)之和 a+b。根据 a,b 的 大小可分为 6 种情况: 当 a=11,b=29 时,无解; 当 a=11,b=31 时,有 11+31=13+29=19+23,得到如下填法:

当 a=11,b=37 时,有 11+37=17+31=19+29,得到如下填法:

当 a=13,b=31 时,无解; 当 a=13, b=37 时,无解; 当 a=17,b=37 时,无解。 所以,共有 2 类填法。 10. 解:设四个数为 a,b,c,d,且 a<b<c<d,则六个和为 a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d, 其中 a+b 最小,a+c 次小,c+d 最大,b+d 次大,a+d 与 b+c 位第三和第四。

分别解这两个方程组,得

11. 解:设这 12 个自然数从小到大依次为 a1,a2,a3,?,a12,且它们两两相减最多只有 2 个差相等,那么差为 1,2,3,4,5 的都最多只有 2 个。从而 a12-a11,a11-a10,a10-a9,?,a2-a1, 这 11 个差之和至少为 2×(1+2+3+4+5)+6=36,

但这 11 个差之和等于 a12-a1<36。这一矛盾说明,两两相减的差中,至少有 3 个相等。 12. 解:设这 8 个物品的重量从重到轻依次排列为: 15≥a1>a2>a3>a4>a5>a6>a7>a8≥1。 小平找出的这个物品重量为 a5,第二轻的物品重量为 a7。 由于 a5 加上一个比它轻的物品不可能大于两个比 a5 重的物品重量之和,因而第一次必须筛 去 3 个比 a5 重的物品。 这样就有以下四种可能:

先考虑第一种情况。根据①式,a4 比 a1 至少轻 3 克,a5 比 a2,a6 比 a3 也都至少轻 3 克, 则 a7 比 a8 至少重 10 克。根据②式,a5 比 a4 至少轻 1 克,则 a6 比 a7 至少重 18 克。与已知矛 盾,第一种情况不可能出现。 按同样的推理方法,可以说明第二种和第三种情况也不可能出现。 最后,考虑第四种情况。a1 比 a2 至少重 1 克;a5 比 a3,a6 比 a4 都至少轻 1 克,则 a7 比 a8 至少重 4 克。根据④式,a5 比 a4 至少轻 4 克,则 a6 比 a7 至少重 5 克。这样得到的这 8 个物品 的重量分别为: a1=15 克, a2=14 克, a3=13 克, a4=12 克, a5=11 克, a6=10 克, a7=5 克, a8=1 克。 因此,小平找出的这个物品重 11 克,第二轻的物品重 5 克。

§3 集



集合的划分反映了集合与子集之间的关系, 这既是一类数学问题, 也是数学中的解题策略—— 分类思想的基础,在近几年来的数学竞赛中经常出现,日益受到重视,本讲主要介绍有关的概念、 结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。 1.集合的概念 集合是一个不定义的概念,集合中的元素有三个特征: (1) 确定性 设 A 是一个给定的集合,a 是某一具体对象, a 或者是 A 的元素, 则 或者不是 A 的 元素,两者必居其一,即 a ? A 与 a ? A 仅有一种情况成立。 (2) 互异性 一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元 素。 (3) 无序性 2.集合的表示方法 主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如: N , Z , Q, R 应熟记。 3.实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换,有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转 换。对于方程、不等式的解集,要注意它们的几何意义。 4.子集、真子集及相等集 (1) A ? B ? A ? B 或 A = B ; (2) A ? B ? A ? B 且 A ≠ B ; (3) A = B ? A ? B 且 A ? B 。 5.一个 n 阶集合(即由个元素组成的集合)有 2 个不同的子集,其中有 2 -1 个非空子集,也 有 2 -1 个真子集。 6.集合的交、并、补运算
n n n

A ? B ={ x | x ? A 且 x ? B }; A ? B ={ x | x ? A 或 x ? B }

A ? {x | x ? I 且 x ? A }
要掌握有关集合的几个运算律: (1)交换律 A ? B = B ? A , A ? B = B ? A ; (2)结合律 A ? ( B ? C )=( A ? B ) ? C ,

A ? ( B ? C )=( A ? B ) ? C ; (3)分配律 A ? ( B ? C )=( A ? B ) ? ( A ? C ) A ? ( B ? C )= ( A ? B ) ? ( A ? C )
(4)0—1 律

A ? ? = A , A ? I = A , A ? I = I , A ? ? =?

(5)等幂律 (6)吸收律 (7)求补律 (8)反演律

A ? A=A,A ? A=A A ? ( A ? B )= A , A ? ( A ? B )= A
A ? CIA= I , A ? CIA= ?

A ? B ? A ? B, A ? B ? A ? B

7.有限集合所含元素个数的几个简单性质 设 n( X ) 表示集合 X 所含元素的个数,(1) n( A ? B) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) , 当 n( A ? B) ? ? 时, n( A ? B) ? n( A) ? n( B) (2) n( A ? B ? C ) ? n( A) ? n( B) ? n(C ) - n( A ? B) ? n( A ? C ) ? n( B ? C ) ? n( A ? B ? C )

例题讲解
元素与集合的关系 1.设 A ={ a | a = x 2 ? y 2 , x, y ? Z },求证:(1) 2k ? 1 ? A ( k ? Z ); (2) 4k ? 2 ? A (k ? Z )

2.以某些整数为元素的集合 P 具有下列性质:① P 中的元素有正数,有负数; ② P 中的元素有奇数,有偶数;③-1 ? P ;④若 x , y ? P ,则 x + y ? P 试判断实数 0 和 2 与 集合 P 的关系。

3.设 S 为满足下列条件的有理数的集合:①若 a ? S , b ? S ,则 a + b ? S ,

ab ? S ;②对任一个有理数 r ,三个关系 r ? S ,- r ? S , r =0 有且仅有一个成立。证明: S 是由全体正有理数组成的集合。

两个集合之间的关系 在两个集合之间的关系中,我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关 系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的,因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元 素与这两个集合的关系入手。 4.设函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a, b ? R) ,集合 A ? {x | x ? f ( x), x ? R} ,

B ? {x | x ? f [ f ( x)], x ? R} 。
(1)证明: A ? B ; (2)当 A ? {?1,3} 时,求 B 。 (3)当 A 只有一个元素时,求证: A ? B .

5.S1 , S 2 , S 3 为非空集合, 对于 1, 3 的任意一个排列 i, j , k , x ? Si , y ? S j , x ? y ? S k 2, 若 则 (1)证明:三个集合中至少有两个相等。 (2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素?

6.已知集合:

A ? {( x, y) | ax ? y ? 1}, B ? {( x, y) | x ? ay ? 1}, C ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? 1}问
(1)当 a 取何值时, ( A ? B) ? C 为含有两个元素的集合? (2)当 a 取何值时, ( A ? B) ? C 为含有三个元素的集合?

7.设 n ? N 且 n ≥15, A, B 都是{1,2,3,?, n }真子集, A ? B ? ? ,且

A ? B ={1,2,3,?, n }。证明: A 或者 B 中必有两个不同数的和为完全平方数。

课后练习
1.下列八个关系式:①{0}= ? ② ? =0 ⑧ ? ? { ? } 其中正确的个数 (A)4 (B)5
? ③ ?? { ? } ④ ? ? { ? }⑤{0} ? ? ⑥0 ? ? ⑦ ? ? {0}



) (D)7 ( )

(C)6

2.设 A、B 是全集 U 的两个子集,且 A ? B,则下列式子成立的是 (A)CUA ? CUB (B)CUA ? CUB=U (C)A ? CUB= ?

(D)CUA ? B= ?

3.已知 M= {x | x ? 3n, n ? Z }, N ? {x | x ? 3n ? 1, n ? Z }, P ? {x | x ? 3n ? 1, n ? Z } ,且 a ? M , b ? N , c ? P , 设 d ? a ? b ? c ,则 d ? (A)M (B)N (C)P ( ) (D) M ? P ( )

4.设集合 M ? {x | x ? (A) M ? N

k 1 k 1 ? , k ? Z}, N ? {x | x ? ? , k ? Z} ,则 2 4 4 2

(B) N ? M

(C) M ? N

(D) M ? N ? ?

5.设 M={1,2,3,…,1995},A 是 M 的子集且满足条件: 当 x?A 时,15x ? A,则 A 中元素的个数最 多是_______________. 6. 集合 A,B 的并集 A∪ B={a1,a2,a3}, 当且仅当 A≠B 时, (A,B)与(B,A)视为不同的对, 则这样的(A,B) 对的个数有_________________. 7.若非空集合 A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使 A ? A∩B 成立的 a 的取值范围是 _______________. 8.若 A={x|0≤x2+ax+5≤4}为单元素集合,则实数 a 的值为___________________. 9.设 A={n|100≤n≤600,n? N},则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数为 ______________. 10.己知集合 A={x|x=f(x)},B={x|x=f(f(x))},其中 f(x)=x2+ax+b (a,b? R), 证明:(1)A ? B (2)若 A 只含有一个元素,则 A=B .

11.集合 A={(x,y) x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 },集合 B={(x,y) x ? y ? 1 ? 0 ,且 0 ? x ? 2 }, 又 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围.

课后练习答案
1-4 C C B A 5.解:由于 1995=15?133,所以,只要 n>133,就有 15n>1995.故取出所有大于 133 而不超过 1995 的整数. 由于这时己取出了 15?9=135, ? 15?133=1995. 故 9 至 133 的整数都不能再取, 还可取 1 至 8 这 8 个数,即共取出 1995—133+8=1870 个数, 这说明所求数≥1870。 另一方面,把 k 与 15k 配对,(k 不是 15 的倍数,且 1≤k≤133)共得 133—8=125 对,每 对数中至多能取 1 个数为 A 的元素,这说明所求数≤1870,综上可知应填 1870 6.解:A=φ 时,有 1 种可能;A 为一元集时,B 必须含有其余 2 元,共有 6 种可能;A 为二元 集时,B 必须含有另一元.共有 12 种可能;A 为三元集时,B 可为其任一子集.共 8 种可能.故共 有 1+6+12+8=27 个. 7.解:由 A 非空知 2a+1≤3a-5,故 a≥6. 由 A?A?B 知 A?B. 即 3≤2a+1 且 3a-5≤22, 解之, 得 1≤a≤9. 于是知 6≤a≤9
2 2 2 2 8 . 解 : 由 x ? ax ? 5 ? ( x ? 1 a) ? 5 ? 1 a . 若 5 ? 1 a ? 4 , 则 A 有 无 数 个 元 , 若 2 4 4

5 ? 1 a 2 ? 4 ,则 A 为空集,只有当 5 ? 1 a 2 ? 4 即 a ? ?2 时,A 为单元素集 {?1} 或 {1} .所以
4 4

a ? ?2
9.解:被 7 除余 2 的数可写为 7k+2. 由 100≤7k+2≤600.知 14≤k≤85. 又若某个 k 使 7k+2 能 被 57 整除,则可设 7k+2=57n. 即 k ? 57n ? 2 ? 56n ? n ? 2 ? 8n ? n ? 2 . 即 n-2 应为 7 的倍数. 设
7 7 7

n=7m+2 代入,得 k=57m+16. ∴14≤57m+16≤85. m=0,1.于是所求的个数为 85-(14-1)-2=70 10.证明:(1)? x ? A ? f ( x) ? x, ? f ( f ( x)) ? f ( x) ? x ? x ? B ? A ? B (2)设 A={c},即二次方程 f(x)-x=0 有惟一解 c,即 c 为 f(x)-x=0 的重根. ∴ f(x)-x=(x-c)2 即 f(x)=(x-c)2+x,于是 f(f(x))=(f(x)-c)2+f(x), f(f(x))-x=(f(x)-c)2+f(x)-x=[(x-c)2+x-c]2+(x-c)2=0

?( x ? c) 2 ? x ? c ? 0 ? ∴? ?x ? c ?
故 f(f(x))=x 也只有惟一解 x=c,即 B={c}. 所以 A=B 11.解:由 ?

? ?x 2 ? m x ? y ? 2 ? 0 得 x 2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 ?x ? y ? 1 ? 0 ?
2

?0 ? ? m ?1 ? 2 ? 2 或 f ( 2) ? 0 设 f ( x) ? x ? (m ? 1) x ? 1 由数形结合得: ? ?? ? (m ? 1) 2 ? 4 ? 0 ?
解得: m ? ?1

例题答案:
1.分析:如果集合 A ={ a | a 具有性质 p },那么判断对象 a 是否是集合 A 的元素的基本方法就 是检验 a 是否具有性质 p 。 解:(1)∵ k , k ? 1 ? Z 且 2k ? 1 = k 2 ? (k ? 1) 2 ,故 2k ? 1 ? A ; (2)假设 4k ? 2 ? A (k ? Z ) ,则存在 x, y ? Z ,使 4k ? 2 = x 2 ? y 2 即 ( x ? y)(x ? y) ? 2(2k ? 1) (*)

由于 x ? y 与 x ? y 具有相同的奇偶性,所以(*)式左边有且仅有两种可能:奇数或 4 的倍 数, 另一方面, 式右边只能被 4 除余 2 的数, (*) (*) 故 式不能成立。 由此,4k ? 2 ? A (k ? Z ) 。 2.解:由④若 x , y ? P ,则 x + y ? P 可知,若 x ? P ,则 kx ? P (k ? N ) (1)由①可设 x , y ? P ,且 x >0, y <0,则- y x =| y | x 故 x y ,- y x ? P ,由④,0=(- y x )+ x y ? P 。 (2)2 ? P 。若 2? P ,则 P 中的负数全为偶数,不然的话,当-( 2k ? 1 )? P ( k ? N ) 时 , - 1 = ( - 2k ? 1 ) + 2 k ? P , 与 ③ 矛 盾 。 于 是 , 由 ② 知 P 中 必 有 正 奇 数 。 设 (| y |? N )

? 2m,2n ? 1 ? P (m, n ? N ) ,我们取适当正整数 q ,使 q? | ?2m |? 2n ? 1 ,则负奇数 ? 2qm ? (2n ? 1) ? P 。前后矛盾。
3.证明:设任意的 r ? Q , r ≠0,由②知 r ? S ,或- r ? S 之一成立。再由①,若 ? S ,则

r

r 2 ? S ;若- r ? S ,则 r 2 ? (?r ) ? (?r ) ? S 。总之, r 2 ? S 。
取 r =1,则 1? S 。再由①,2=1+1? S ,3=1+2? S ,?,可知全体正整数都属于 S 。 设 p, q ? S ,由① pq ? S ,又由前证知

p 1 1 ? S ,所以 ? pq ? 2 ? S 。因此, S 含有 2 q q q

全体正有理数。 再由①知,0 及全体负有理数不属于 S 。即 S 是由全体正有理数组成的集合。 4.解:(1)设任意 x 0 ? A ,则 x0 = f ( x0 ) .而 f [ f ( x0 )] ? f ( x0 ) ? x0 故 x0 ? B ,所以 A ? B .

(2)因 A ? {?1,3} ,所以

?( ?1) 2 ? a ? ( ?1) ? b ? ?1 ? 2 ? 3 ? a ?3? b ? 3

解得 a ? ?1, b ? ?3

故 f ( x) ? x 2 ? x ? 3 。由 x ? f [ f ( x)] 得

( x 2 ? x ? 3) 2 ? ( x 2 ? x ? 3) ? x ? 3 ? 0
解得

x ? ?1, 3, ? 3

B ={ ? 1,3,? 3, 3}。
5.证明:(1)若 x ? Si , y ? S j ,则

y ? x ? S k , ( y ? x) ? y ? ? x ? Si
所以每个集合中均有非负元素。 当三个集合中的元素都为零时,命题显然成立。 否则,设 S1 , S 2 , S 3 中的最小正元素为 a ,不妨设 a ? S1 ,设 b 为 S 2 , S3 中最小的非负元素, 不妨设 b ? S 2 , 则 b - a ? S 3 。 若 b >0,则 0≤ b - a < b ,与 b 的取法矛盾。所以 b =0。 任取 x ? S1 , 因 0? S 2 ,故 x -0= x ? S 3 。所以 S1 ? S 3 ,同理 S 3 ? S1 。 所以 S1 = S 3 。 (3)可能。例如 S1 = S 2 ={奇数}, S 3 ={偶数}显然满足条件, S1 和 S 2 与 S 3 都无公共元素。 6.解: ( A ? B) ? C = ( A ? C ) ? ( B ? C ) 。 A ? C 与 B ? C 分别为方程组 (Ⅰ) ?

? ax ? y ? 1 2 2 ?x ? y ? 1

(Ⅱ) ?

? x ? ay ? 1 2 2 ?x ? y ? 1
2a 1? a2 , );由(Ⅱ)解得 1? a2 1? a2

的解集。由(Ⅰ)解得( x, y )=(0,1)=(

2a 1? a2 ( x, y )=(1,0),( , ) 2 1? a2 1? a
(1)使 ( A ? B) ? C 恰有两个元素的情况只有两种可能:

? 2a ?0 ? ?1 ? a 2 ①? 2 ?1 ? a ? 1 ?1 ? a 2 ?

? 2a ?1 ? ?1 ? a 2 ②? 2 ?1 ? a ? 0 ?1 ? a 2 ?

由①解得 a =0;由②解得 a =1。 故 a =0 或 1 时, ( A ? B) ? C 恰有两个元素。

2a 1? a2 (2)使 ( A ? B) ? C 恰有三个元素的情况是: = 1? a2 1? a2
解得 a ? ?1? 2 ,故当 a ? ?1? 2 时, ( A ? B) ? C 恰有三个元素。 7.证明:由题设,{1,2,3,?, n }的任何元素必属于且只属于它的真子集 A, B 之一。 假设结论不真,则存在如题设的{1,2,3,?, n }的真子集 A, B ,使得无论是 A 还是 B 中 的任两个不同的数的和都不是完全平方数。
2 不妨设 1? A ,则 3 ? A ,否则 1+3= 2 ,与假设矛盾,所以 3? B 。同样 6 ? B ,所以 6

? A ,这时 10 ? A ,,即 10? B 。因 n ≥15,而 15 或者在 A 中,或者在 B 中,但当 15? A 时, 因 1? A ,1+15= 4 ,矛盾;当 15? B 时,因 10? B ,于是有 10+15= 5 ,仍然矛盾。因此假设 不真。即结论成立。
2

2

§4 函数的基本性质
函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等, 在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时,巧妙利用函数及其图象的相关性质,可以使得 问题得到简化,从而达到解决问题的目的. I.函数的定义 设 A,B 都是非空的数集,f 是从 A 到 B 的一个对应法则.那么,从 A 到 B 的映射 f:A→B 就 叫做从 A 到 B 的函数.记做 y=f(x),其中 x?A,y?B,原象集合,A 叫做函数 f(x)的定义域,象的 集合 C 叫做函数的值域,显然 C ? B. II.函数的性质 (1)奇偶性 设函数 f(x)的定义域为 D,且 D 是关于原点对称的数集.若对任意的 x?D,都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)是奇函数;若对任意的 x?D,都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)是偶函数. (2)函数的增减性 设函数 f(x)在区间 D′上满足:对任意 x1, x2?D′,并且 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)),则称 f(x)在区间 D′上的增函数(减函数),区间 D′称为 f(x)的一个单调增 (减)区间. III.函数的周期性 对于函数 f(x),如果存在一个不为零的正数 T,使得当 x 取定义域中的每个数时,f(x+T)=f(x) 总成立,那么称 f(x)是周期函数, 称做这个周期函数的周期.如果函数 f(x)的所有周期中存在最小 T 值 T0,称 T0 为周期函数 f(x)的最小值正周期.

例题讲解
1.已知 f(x)=8+2x-x2,如果 g(x)=f(2-x2),那么 g(x)( ) A.在区间(-2,0)上单调递增 B.在(0,2)上单调递增 C.在(-1,0)上单调递增 D.在(0,1)上单调递增 2.设 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x+3)=-f(x),当 0≤x≤ A.-1 B.0 C.1
3 时,f(x)=x,则 f(2003)=( 2

)

D.2003

3.定义在实数集上的函数 f(x),对一切实数 x 都有 f(x+1)=f(2-x)成立,若 f(x)=0 仅有 101 个 不同的实数根,那么所有实数根的和为( ) 303 305 A.150 B. C.152 D. 2 2 4.实数 x,y 满足 x2=2xsin(xy)-1,则 x1998+6sin5y=______________.

5.已知 x= 19 ? 99 是方程 x4+bx2+c=0 的根,b,c 为整数,则 b+c=__________.

6.已知 f(x)=ax2+bx+c(a>0),f(x)=0 有实数根,且 f(x)=1 在(0,1)内有两个实数根,求证:a >4.

7.已知 f(x)=x2+ax+b(-1≤x≤1),若|f(x)|的最大值为 M,求证:M≥

1 . 2

8.⑴解方程:(x+8)2001+x2001+2x+8=0 ⑵解方程:

2x ? 4x 2 ? 1 x 2 ? 1 ? ( x 2 ? 1) 2 ? 1

? 2 ( x ?1 )

2

9.设 f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,f⑴=1,f⑵=2,f⑶=3,求

1 [f⑷+f(0)]的值. 4

10.设 f(x)=x4-4x3+

13 2 1 x -5x+2,当 x?R 时,求证:|f(x)|≥ 2 2

课后练习
1. 已知 f(x)=ax5+bsin5x+1,且 f⑴=5,则 f(-1)=( A.3 B.-3 C.5 已知(3x+y)2001+x2001+4x+y=0,求 4x+y 的值. ) D.-5

2.

3.

解方程:ln( x 2 ? 1 +x)+ln( 4x 2 ? 1 +2x)+3x=0 若函数 y=log3(x2+ax-a)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是______________.

4.

5.

函数 y= x 2 ? 4x ? 5 ? x 2 ? 4x ? 8 的最小值是______________.

6.

已知 f(x)=ax2+bx+c,f(x)=x 的两根为 x1,x2,a>0,x1-x2> 与 x1 的大小.

1 ,若 0<t<x1,试比较 f(t) a

7.

f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,当 0≤x≤1,0≤y≤1 时. 求证:存在实数 x,y,使得 设 a,b,c?R,|x|≤1,f(x)=ax2+bx+c,如果|f(x)|≤1,求证:|2ax+b|≤4.

8.

9.已知函数 f(x)=x3-x+c 定义在[0,1]上,x1,x2?[0,1]且 x1≠x2. ⑴求证:|f(x1)-f(x2)|<2|x1-x2|; ⑵求证:|f(x1)-f(x2)|<1.

课后练习答案

1.解:∵ f⑴=a+bsin51+1=5 设 f(-1)=-a+bsin5(-1)+1=k 相加:f⑴+f(-1)=2=5+k ∴ f(-1)=k=2-5=-3 选B 2.解:构造函数 f(x)=x2001+x,则 f(3x+y)+f(x)=0 逐一到 f(x)的奇函数且为 R 上的增函数, 所以 3x+y=-x 4x+y=0 3.解:构造函数 f(x)=ln( x 2 ? 1 +x)+x 则由已知得:f(x)+f(2x)=0 不难知,f(x)为奇函数,且在 R 上是增函数(证明略) 所以 f(x)=-f(2x)=f(-2x) 由函数的单调性,得 x=-2x 所以原方程的解为 x=0 4.解:函数值域为 R,表示函数值能取遍所有实数, 则其真数函数 g(x)=x2+ax-a 的函数值应该能够取遍所有正数 所以函数 y=g(x)的图象应该与 x 轴相交 即△≥0 ∴ a2+4a≥0 a≤-4 或 a≥0 解法二:将原函数变形为 x2+ax-a-3y=0 △=a2+4a+4·y≥0 对一切 y?R 恒成立 3 2 则必须 a +4a≥0 成立 ∴ a≤-4 或 a≥0 5.提示:利用两点间距离公式处理 y= (x ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (x ? 2) 2 ? (0 ? 2) 2 表示动点 P(x,0)到两定点 A(-2,-1)和 B(2,2)的距离之和 当且仅当 P、A、B 三点共线时取的最小值,为|AB|=5 6.解法一:设 F(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+c, =a(x-x1)(x-x2) ∴ f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x 作差:f(t)-x1=a(t-x1)(t-x2)+t-x1 =(t-x1)[a(t-x2)+1] 1 =a(t-x1)(t-x2+ ) a 又 t-x2+
1 <t-(x2-x1)-x1=t-x1<0 a

∴ f(t)-x1>0 ∴ f(t)>x1 解法二:同解法一得 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x 令 g(x)=a(x-x2)

∵ a>0,g(x)是增函数,且 t<x1 ? g(t)<g(x1)=a(x1-x2)<-1 另一方面:f(t)=g(t)(t-x1)+t ∴
f (t ) ? t =a(t-x2)=g(t)<-1 t ? x1

∴ f(t)-t>x1-t ∴ f(t)>x1 7.|xy-f(x)-g(y)|≥
1 4 1 4

证明:(正面下手不容易,可用反证法) 若对任意的实数 x,y,都有|xy-f(x)-g(y)|<

记|S(x,y)|=|xy-f(x)-g(y)| 1 1 1 1 则|S(0,0)|< ,|S(0,1)|< ,|S(1,0)|< ,|S(1,1)|< 4 4 4 4 而 S(0,0)=-f(0)-g(0) S(0,1)=-f(0)-g(1) S(1,0)=-f(1)-g(0) S(1,1)=1-f(1)-g(1) ∴ |S(0,0)|+|S(0,1)|+|S(1,0)|+|S(1,1)| ≥|S(0,0)-S(0,1)-S(1,0)+S(1,1)| =1 矛盾! 故原命题得证! 8.解:(本题为 1914 年匈牙利竞赛试题) f⑴=a+b+c f(-1)=a-b+c f(0)=c 1 ∴ a= [f⑴+f(-1)-2f(0)] 2 b=
1 [f⑴-f(-1)] 2 1 [f⑴-f(-1)]| 2

c=f(0) |2ax+b|=|[f⑴+f(-1)-2f(0)]x+ =|(x+ ≤|x+ ≤|x+

1 1 )f⑴+(x- )f(-1)-2xf(0)| 2 2

1 1 ||f⑴|+|x- ||f(-1)|+2|x||f(0)| 2 2 1 1 |+|x- |+2|x| 2 2 1 1 1 1 ],(- ,0),[0, ),[ ,1]讨论即可 2 2 2 2

接下来按 x 分别在区间[-1,-

9.

证明:⑴|f(x1)-f(x2)|=|x13-x1+x23-x2| =|x1-x2||x12+x1x2+x22-1| 需证明|x12+x1x2+x22-1|<2 ………………① x12+x1x2+x22=(x1+
x 2 2 3x 2 2 ) ? 2 ≥0 2 4

∴ -1<x12+x1x2+x22-1<1+1+1-1=2 ∴ ①式成立 于是原不等式成立 ⑵不妨设 x2>x1 由⑴ |f(x1)-f(x2)|<2|x1-x2| ①若 x2-x1?(0,
1 ] 2

则立即有|f(x1)-f(x2)|<1 成立. ②若 1>x2-x1>
1 1 ,则-1<-(x2-x1)<- 2 2 1 2

∴ 0<1-(x2-x1)<

(右边变为正数)

下面我们证明|f(x1)-f(x2)|<2(1-x2+x1) 注意到:f(0)=f⑴=f(-1)=c |f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f⑴+f(0)-f(x2)| ≤|f(x1)-f⑴|+|f(0)-f(x2)| <2(1-x2)+2(x2-0) (由⑴) =2(1-x2+x1) <1 综合⑴⑵,原命题得证. 10. 已知 f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1) ⑴若|a|≤1,求证:|f(x)|≤ ⑵若 f(x)max=
5 4

17 ,求 a 的值. 8

解:分析:首先设法去掉字母 a,于是将 a 集中 ⑴若 a=0,则 f(x)=x, 当 x?[-1,1]时,|f(x)|≤1<
5 成立 4

若 a≠0,f(x)=a(x2-1)+x ∴ |f(x)|=|a(x2-1)+x| ≤|a||x2-1|+|x| ≤|x2-1|+|x| (∵ |a|≤1) 2 ≤1-|x |+|x| = ≤
5 1 -(|x|- )2 4 2

5 4

⑵a=0 时,f(x)=x≤1≠ ∴ a≠0

17 8 1 )} 2a

∵ f(x)max=max{f⑴,f(-1),f(- 又 f(± 1)=±1≠
17 8 1 17 )= 2a 8

∴ f(x)max=f(- a(-

1 2 1 17 ) +(- )-a= 2a 2a 8
1 8 1 8

? a=-2 或 a=-

但此时要求顶点在区间[-1,1]内,应舍去- 答案为-2

例题答案:

1.提示:可用图像,但是用特殊值较好一些.选 C 2.解:f(x+6)=f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x) ∴ f(x)的周期为 6 f(2003)=f(6× 335-1)=f(-1)=-f⑴=-1 选A 3 3.提示:由已知,函数 f(x)的图象有对称轴 x= 2 于是这 101 个根的分布也关于该对称轴对称. 3 3 即有一个根就是 ,其余 100 个根可分为 50 对,每一对的两根关于 x= 对称 2 2 利用中点坐标公式,这 100 个根的和等于 所有 101 个根的和为
3 303 × 101= .选 B 2 2 3 × 100=150 2

4.解:如果 x、y 不是某些特殊值,则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程,可以采用配方法 (x-sin(xy))2+cos2(xy)=0 ∴ x=sin(xy) 且 cos(xy)=0 ∴ x=sin(xy)=± 1 ∴ siny=1 xsin(xy)=1 原式=7 5.解:(逆向思考:什么样的方程有这样的根?) 由已知变形得 x- 19 ? 99 ∴ x2-2 19 x+19=99 即 x2-80=2 19 x 再平方得 x4-160x2+6400=76x2 即 x4-236x2+6400=0 ∴ b=-236,c=6400 b+c=6164 6.证法一:由已知条件可得 △=b2-4ac≥0 f⑴=a+b+c>1 f(0)=c>1 b 0<- <1 2a b2≥4ac b>1-a-c c>1 b<0(∵ a>0) 于是-b≥2 ac

① ② ③ ④

所以 a+c-1>-b≥2 ac ∴ ( a ? c )2>1 ∴
a ? c >1

于是 a ? c +1>2 ∴ a>4 证法二:设 f(x)的两个根为 x1,x2, 则 f(x)=a(x-x1)(x-x2) f⑴=a(1-x1)(1-x2)>1 f(0)=ax1x2>1 由基本不等式 x1(1-x1)x2(1-x2)≤[ ∴

1 1 (x1+(1-x1)+x2+(1-x2))]4=( )2 4 4

a2 2 ≥a x1(1-x1)x2(1-x2)>1 16

∴ a2>16 ∴ a>4 7.解:M=|f(x)|max=max{|f⑴|,|f(-1)|,|f(- ⑴若|-
a |≥1 2 a )|} 2

(对称轴不在定义域内部)

则 M=max{|f⑴|,|f(-1)|} 而 f⑴=1+a+b f(-1)=1-a+b |f⑴|+|f(-1)|≥|f⑴+f(-1)|=2|a|≥4 则|f⑴|和|f(-1)|中至少有一个不小于 2 1 ∴ M≥2> 2 ⑵|-
a |<1 2 a )|} 2
a2 +b|} 4 a2 a2 +b|,|- +b|} 4 4

M=max{|f⑴|,|f(-1)|,|f(-

=max{|1+a+b|,|1-a+b|,|- =max{|1+a+b|,|1-a+b|,|- ≥ ≥

1 a2 a2 (|1+a+b|+|1-a+b|+|- +b|+|- +b|) 4 4 4 1 a2 a2 [(1+a+b)+(1-a+b)-(- +b)-(- +b)] 4 4 4

= (2 ? ≥
1 2

1 4

a2 ) 2

综上所述,原命题正确. 8.⑴解:原方程化为(x+8)2001+(x+8)+x2001+x=0 即(x+8)2001+(x+8)=(-x)2001+(-x) 构造函数 f(x)=x2001+x 原方程等价于 f(x+8)=f(-x) 而由函数的单调性可知 f(x)是 R 上的单调递增函数 于是有 x+8=-x x=-4 为原方程的解 ⑵两边取以 2 为底的对数得

log2

2x ? 4x 2 ? 1 x ? 1 ? ( x ? 1) ? 1
2 2 2

? ( x ? 1) 2

即 log2 ( 2x ? 4x 2 ? 1 ) ? log2 ( x 2 ? 1 ? ( x 2 ? 1) 2 ? 1 ) ? x 2 ? 2x ? 1 即 log2 ( 2x ? 4x 2 ? 1 ) ? 2x ? log2 ( x 2 ? 1 ? ( x 2 ? 1) 2 ? 1 ) ? ( x 2 ? 1) 构 造 函 数 ( x) ? log2 ( x ? x 2 ? 1 ) ? x f
于是 f(2x)=f(x2+1) 易证:f(x)世纪函数,且是 R 上的增函数, 所以:2x=x2+1 解得:x=1 9.解:由已知,方程 f(x)=x 已知有三个解,设第四个解为 m, 记 F(x)=f(x)-x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m) ∴ f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m)+x f⑷=6(4-m)+4 f(0)=6m 1 ∴ [f⑷+f(0)]=7 4 10.证明:配方得: 5 1 f(x)=x2(x-2)2+ (x-1)2- 2 2 =x2(x-2)2+ =(x2-2x)2+
5 1 (x-1)2-1+ 2 2 5 1 (x-1)2-1+ 2 2 5 1 (x-1)2-1+ 2 2 5 1 (x-1)2-1+ 2 2

=[(x-1)2-1]2+

=(x-1)4-2(x-1)2+1+

=(x-1)4+ ≥
1 2

1 1 (x-1)2+ 2 2

§5 二次函数(1)
二次函数是最简单的非线性函数之一,而且有着丰富内涵。在中学数学数材中,对二次函数 和二次方程,二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质,都有深入和反复的讨论与练习。它

对近代数学,乃至现代数学,影响深远,为历年来高考数学考试的一项重点考查内容,历久不衰, 以它为核心内容的重点试题,也年年有所变化,不仅如此,在全国及各地的高中数学竞赛中,有 关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此,必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。 学习二次函数的关键是抓住顶点(-b/2a,(4ac-b /4a),顶点的由来体现了配方法 2 2 2) 2 2 (y=ax +bx+c=a(x+b/2a) +(4ac-b /4a);图象的平移归结为顶点的平移(y=ax →y=a(x-h) +k); 函数的对称性(对称轴 x=-b/2a,f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x),x?R),单调区间(-∞,-b/2a), 2) 2 [-b/2a,+∞]、极值((4ac-b /4a),判别式(Δ b -4ac)与 X 轴的位置关系(相交、相切、相离) 等,全都与顶点有关。 一、“四个二次型”概述 (一元)二次函数 → 2 y=ax +bx+c (a≠0) ↑ ↑ (一元)二次三项式 → 2 ax +bx+c(a≠0)
↓ ↓ ↓
2

2)

a=0



(一元)一次函数 y=bx+c(b≠0) ↑ ↑ 一次二项式 bx+c(b≠0)
↓ ↓ ↓ ↓ ↓

a=0



↓ ↓ 一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) → a=0 →

一元一次方程 bx+c=0(b≠0)


一元二次不等式 2 ax +bx+c>0 或 2 ax +bx+c<0(a≠0) → a=0 →


一元一次不等式
bx+c>0 或 bx+c<0(b≠0)

观察这个框图,就会发现:在 a≠0 的条件下,从二次三项式出发,就可派生出一元二 次函数,一元二次方程和一元二次不等式来。故将它们合称为“四个二次型”。其中二次三项式 2 2 ax +bx+c(a≠0)像一颗心脏一样, 支配着整个 “四个二次型” 的运动脉络。 而二次函数 y=ax +bx+c(a ≠0),犹如“四个二次型”的首脑或统帅:它的定义域即自变量 X 的取值范围是全体实数,即 n 2 2 ?R;它的解析式 f(x)即是二次三项式 ax +bx+c(a≠0);若 y=0,即 ax +bx+c=0(a≠0),就是初 2 2 中重点研究的一元二次方程;若 y>0 或 y<0,即 ax +bx+c>0 或 ax +bx+c<0(a≠0),就是高中一 年级重点研究的一元二次不等式,它总揽全局,是“四个二次型”的灵魂。讨论零值的一元二次 函数即一元二次方程是研究“四个二次型”的关键所在,它直接影响着两大主干:一元二次方程 和一元二次不等式的求解。一元二次方程的根可看作二次函数的零点;一元二次不等式的解集可 看作二次函数的正、负值区间。心脏、头脑、关键、主干、一句话,“四个二次型”联系密切, 把握它们的相互联系、相互转化、相互利用,便于寻求规律,灵活运用,使学习事半功倍。 二、二次函数的解析式

上面提到,“四个二次型”的心脏是二次三项式:二次函数是通过其解析式来定义的(要特 别注意二次项系数 a≠0);二次函数的性质是通过其解析式来研究的。因此,掌握二次函数首先 要会求解析式,进而才能用解析式去解决更多的问题。 y=ax +bx+c(a≠0)中有三个字母系数 a、b、c,确定二次函数的解析式就是确定字母 a、b、c 的取值。三个未知数的确定需要 3 个独立的条件,其方法是待定系数法,依靠的是方程思想及解 方程组。 二次函数有四种待定形式: 1.标准式(定义式):f(x)=ax +bx+c.(a≠0) 2 2.顶点式: f(x)=a(x-h) +k .(a≠0) 3.两根式(零点式):f(x)=a(x-x1)(x-x2). (a≠0) 4.三点式:(见罗增儒《高中数学竞赛辅导》) 过三点 A(x1,f (x1))、B(x2,f (x2))、C(x3,f (x3))的二次函数可设为 f (x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)把 ABC 坐标依次代入,即令 x=x1,x2,x3,得 f (x1)=a1(x1-x2)(x1-x3), f (x2)=a2(x2-x1)(x2-x3), f (x3)=a3(x3-x1)(x3-x2) 解之,得:a1=f (x1)/ (x1-x2)(x1-x3),a2=f (x2)/ (x2-x1)(x2-x3),a3=f (x3)/ (x3-x1)(x3-x2) 从而得二次函数的三点式为: f(x)=[f(x1)/(x1-x2)](x1-x3)(x-x2)(x-x3)+[f(x2)/ (x2-x1)(x2-x3)](x-x1)(x-x3)+[f(x3)/(x3-x1)(x3-x2)](x-x1)(x-x2) 根据题目所给的不同条件,灵活地选用上述四种形式求解二次函数解析式,将会得心应手。
2 2

例题讲解
元素与集合的关系 1.
2 2 集合 A ={ y | y ? x ? 2 x ? 4 }, B ={ y | y ? ax ? 2 x ? 4a }, A ? B ,求实数 a 的取值集

合.

2.

考察所有可能的这样抛物线 y ? x ? ax ? b ,它们与坐标轴各有三个不同的交点,对于每
2 2

一条这样的抛物线,过其与坐标轴的三个交点作圆.证明:所有这些圆周经过一定点.

3.

抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 的顶点位于区域 G ? {( x, y) | 0 ? x ? 1.0 ? y ? 1} 内部或边界上,求

b 、 c 的取值范围.

4.

设 x = p 时,二次函数 f (x) 有最大值 5,二次函数 g (x) 的最小值为-2,且 p >0, f (x)
2 + g (x) = x ? 16x ? 13 , g ( p ) =25.求 g (x) 的解析式和 p 值.

5.

已知 0≤ x ≤1, f (x) = x ? ax ?
2

a (a ? 0) , f (x) 的最小值为 m . 2

(1)用 a 表示 m ;(2)求 m 的最大值及此时 a 的值.

6.函数 f (x) = ? 3 x ? 3 x ? 4m ?
2 2

9 , x ?[― m ,1― m ],该函数的最大值是 25,求该函数取最 4

大值时自变量的值.

7.一幢 k (>2)层楼的公寓有一部电梯,最多能容纳 k -1 个人,现有 k -1 个学生同时在第一 层楼乘电梯,他们中没有两人是住同一层楼的.电梯只能停一次.停在任意选择的一层.而对每 一个学生而言,自已往下走一层感到一分不满意,而往上走一层感到 2 分不满意,问电梯停在哪 一层,可使不满意的总分达到最小?

8.已知方程 (ax ? 1) ? a (1 ? x ) ,其中 a >1,证明:方程的正根比 1 小,负根比 -1 大.
2 2 2

9.若抛物线 y ? x 2 ? ax ? 2 与连接两点 M (0,1), N (2,3)的线段(包括 M 、 N 两点) 有两个相异的交点,求 a 的取值范围.

10.设 x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ x4 ≥2,且 x2 + x3 + x4 ≥ x1 ,证明: ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) 2 ? 4x1 x2 x3 x4

11.定义在 R 上的奇函数 f (x) ,当 x ≥0 时, f (x) =- x ? 2 x .另一个函数 y = g (x) 的定义域
2

为[ a , b ],值域为[

1 1 , ],其中 a ≠ b , a 、b ≠0.在 x ?[ a , b ]上, f (x) = g (x) .问:是否存在实数 b a

m ,使集合{ ( x, y) | y ? g ( x), x ? [a, b]}? {( x, y) | y ? x 2 ? m} 恰含有两个元素?

课后练习
1. 已知二次函数的图象过(-1,-6),(1,-2)和(2,3)三点,求二次函数的解析式。

2.二次函数的图象通过点(2,-5),且它的顶点坐轴为(1,-8),求它的解析式

3.已知二次函数的图象过(-2,0)和(3,0)两点,并且它的顶点的纵坐标为 125/4,求它的解 析式。

4.已知二次函数经过 3 点 A(1/2,3/4)、B(-1,3)、C(2,3),求解析式。

5.当 X 为何值时,函数 f(x)=(x-a1) +(x-a2) +?+(x-an) 取最小值。

2

2

2

6. 已知 x1,x2 是方程 x -(k-2)x+(k +3k+5)=0 (k 为实数)的两个实数根, 1 +x2 的最大值是: x (
(A)19; (B)18; (C)50/9 (D)不存在

2

2

2

2



7.已知 f (x)=x -2x+2,在 x?[t,t+1]上的最小值为 g (t),求 g (t)的表达式。

2

8.(1)当 x +2y =1 时,求 2x+3y 的最值; (2)当 3x +2y =6x 时,求 x +y 的最值。
2 2 2 2

2

2

2

课后练习答案
1. [解法一]:用标准式 ∵图象过三点(-1,-6)、(1,-2)、(2,3) ∴可设 y=f(x)=ax2+bx+c,且有 a-b+c=-6 ①,a+b+c=-2 ②,4a+2b+c=3 ③ 解之得:a=1,b=2,c=-5 ∴所求二次函数为 y=x2+2x-5 [解法二]:用三点式 ∵图象过三点(-1,-6),(1,-2),(2,3) ∴可设 y=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)=(a1+a2+a3)x2-
[a1(x2+x3)+a2(x1+x3)+a3(x1+x2)]x+(a1x2x3+a2x1x3+a3x1x2)

计算可得:a1=-6/(-1-1)(-1-2)=-1, a2=-2/ (1+1)(1-2)=1, a3=3/ (2+1)(2-1)=1 ∴f(x)=x +2x-5 2. 解:∵它的顶点坐标已知 ∴可设 f (x)=a(x-1)2-8 ,又函数图象通过点(2,-5), ∴a(2-1)2-8=-5 ,解之,得 a=3 故所求的二次函数为:y=3(x-1)2-8 即:y=f (x)=3x2-6x-5 [评注],以顶点坐标设顶点式 a(x-h)2+k,只剩下二次项系数 a 为待定常数,以另一条件代入 得到关于 a 的一元一次方程求 a,这比设标准式要来得简便得多。
2

3.

解:∵(-2,0)和(3,0)是 X 轴上的两点, ∴x1=-2,x2=3 可设 y=f(x)=a(x+2)(x-3) 2 2 2 =a(x -x-6)=a[(x-1/2) -25/4]=a(x-1/2) -25/4a

它的顶点的纵坐标为-25/4a ,∴-25/4a=125/4,a=-5 故所求的二次函数为:f (x)=-5(x+2)(x-3)=-5x +5x+30 [想一想]:本例能否用顶点式来求? 4. [分析]本例当然可用标准式、三点式求解析式,但解方程组与求 a1、a2、a3 计算较繁。仔细 观察三点坐标特点或画个草图帮助分析,注意到三点的特殊位置,则可引出如下巧解。 [解法一]:顶点式:由二次函数的对称性可知,点 B、C 所连线段的中垂线 x=(-1+2)/2=1/2 即为图象的对称轴,从而点 A(1/2,3/4)必是二次函数的顶点,故可设顶点 2 式:f(x)=a(x-(1/2)) +(3/4) 把 B 或 C 的坐标代入得:f(-1)=a(-3/2) +(3/4)=(9/4)a+(3/4)=3 解得:a=1 ,∴f(x)=(x-(1/2)) +3/4=x -x+1
2 2 2 2

[解法二]由 B、C 的纵坐标相等可知 B、C 两点是函数 y=f (x)与直线 y=3 的交点,亦即 B、C 两点的横坐标是方程 f (x)=3 即 f (x)-3=0 的两个根故可设零点式为: f (x)-3=a(x+1)(x-2) 把 A 点坐标代入,有 f (1/2)-3=a(1/2+1)(1/2-2),即-9/4=-9/4a,a=1 从而 f (x)=(x+1)(x-2)+3=x -x+1 5.解:∵f (x)=(x -2a1x+a1 )+(x -2a2x+a2 )+?+(x -2anx+an )=nx -2(a1+a2?+an)x+(a1 +a2 +?+an ) ∴当 x=((a1+a2+?+an)/n)时,f(x)有最小值。 [评注]:1994 年全国普通高考命制了如下一个填空题,在测量某物理量的过程中,因仪器和 观察的误差,使得 n 次测量分别得到 a1、a2、?,an 共 n 个数据。我们规定的所测物理量的“最 佳近似值” 是这样一个量: a 与其它近似值比较, 与各数据差的平方和最小, a 依此规定, a1,a2,? 从 an 推出 a= 读者从 5 的解答中,能否悟到解决此题的灵感? 6.解:由韦达定理得:x1+x2=k-2,x1x2=k +3k+5 ∴x1 +x2 =(x1+x2) -2x1x2=(k-2) -2(k +3k+5) 2 2 =-k -10k-6=-(k+5) +19 如果由此得 K=-5 时,(x1 +x2 )max=19,选(A),那就错了。为什么?已知该 x1,x2 是方程 的两个“实数”根,即方程必须有实数根才行,而此时方程的判别式Δ ≥0,即
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Δ =(k-2) -4(k +3k+5)=-3k -16k-16≥0 ①

2

2

2

解①得:-4≤k≤-4/3
∵k=-5 [-4,-4/3],设 f(k)=-(k+5) +19 则 f(-4)=18,f(-4/3)=50/9<18
2

∴当 k=-4 时,(x1 +x2 )max=18, ∴选(B) [评注]:求二次函数最值时,必须首先考虑函数定义域。否则,审题不慎,忽略“实数”二 字,就会掉进题目设置的“陷阱”中去了。 7. 解:f (x)= (x-1) +1 (1)当 t+1<1 即 t<0 时,g(t)=f(t+1)=t +1 (2)当 t≤1≤t+1,即 0≤t≤1 时,g (t)=f (1)=1 (3)当 t>1 时,g(t)=f (t)=t -2t+2
2 2 2

2

2

综合(1)、(2)、(3)得: 8. (1) x +2y =1 得 y =1/2(1-x ), 解: 由 代入 2x+3y =2x+(3/2)(1-x )=(-(3/2))(x-(2/3)) +(13/6) 又 1-x =2y ≥0,∴x ≤1,-1≤x≤1 ∴当 x=2/3 时,y=(√10)/6,(2x+3y )max=16/3; 当 x=-1 时,y=0, (2x+3y )min=-2
(2)由 3x +2y =6x,得 y =(3/2)x(2-x),代入 x +y =x +(3/2)x(2-x)=-1/2 (x-3) +9/2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

又 y =(3/2)x (2-x)≥0,得 0≤x≤2 当 x=2,y=0 时,(x +y )max=4;当 x=0,y=0 时,(x +y )min=0
2 2 2 2

2

例题答案:
1 . 解 : A 、 B 分 别 表 示 函 数 y ? x 2 ? 2 x ? 4 与 函 数 y ? ax2 ? 2x ? 4a 的 值 域 . 由

x 2 ? 2 x ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 3≥3 知 A =[3,+∞).而 B 受参数 a 的影响,要进行讨论.

a =0 时, y ? ?2 x ,值域是 R 符合条件 A ? B .
1? ? a ≠0 时, f (x) = ax2 ? 2 x ? 4a 是二次函数,如果 a <0,该函数的值域为 ? ? ?,4a ? ? , a? ?
这时 A B 不成立.如果 a >0 时,由[3,+∞] ? [ 4 a ? 1 综上所述, a 的可取值集合为{ a |0≤ a ≤1}。 说明:参数 a 的取值决定了函数 f (x) = ax ? 2 x ? 4a 的类别及性质,因而对该函数的值域有影
2

?a ? 0 1 ? 1 ,+∞],得 ? 4a ? ? 3 a ? a ?



0< a ≤

响.为了由 A ? B 求出 a 的允许值范围,必须对参数 a 分情况讨论. 2. 证明: 设抛物线 y ? x ? ax ? b 与 x 轴的交点为 x1 , 、 x2 , . ( 0) ( 0) 由韦达定理知 x1 ? x2 ? ?b
2 2 2

<0

(因为 b =0,则 y ? x ? ax 与坐标轴只有两个不同的交点),故点( x1 ,0)、( x2 ,0)在坐
2 2

标原点的两侧.又因为 | x1 | ? | x2 |?| ?b | ?1 ,由相交弦定理的逆定理知,点( x1 ,0)、( x2 ,

0)、 (0, ? b ), (0,1)在同一个圆周上,即过抛物线与坐标轴的三个交点( x1 ,0)、 x2 , (
2

0)、(0, ? b )的圆一定过定点(0,1).于是所有的这些圆周均经过一定点(0,1).
2

b 4c ? b 3. 解: 抛物线的顶点坐标为 ? , ( ) 故 , 2 4
2

b ? ? 0 ? ? 2 ?1 ? 2 ?0 ? 4c ? b ? 1 4 ?

?? 2 ? b ? 0 ? b2 , ? ?b 2 ? 4 ? c ? 4 ?1 ?

上式即为 b 、 c 的取值范围. 4.解:由题设 f ( p ) =5, g ( p ) =25, f ( p) ? g ( p) = p 2 ? 16 p ? 13 ,所以 解得

p 2 ? 16 p ? 13 =30,

p =1 ( p = -17 舍去).由于 f (x) 在 x =1 时有最大值 5,故设

f (x) = a( x ? 1) 2 ? 5, a ? 0
所以

g (x) = x 2 ? 16x ? 13 - f (x) = (1 ? a) x 2 ? 2(a ? 8) x ? 8 ? a , g (x) 的最小值为- 因

4(1 ? a)(8 ? a) ? 4(a ? 3) 2 2,故 ? ?2 ,所以 a ? ?2 .从而 g (x) = 3x 2 ? 12x ? 10 . 4(1 ? a)
5.解:(1)把 f (x) 改写成 f (x) = ( x ?

a 2 a a2 a a a2 ) ? ? .于是知 f (x) 是顶点为( , ? ), 2 2 4 2 2 4
a ≤1,即 0< a ≤2 时, f (x) 的最小值为 2

开口向上的抛物线.又因为 x ?[0,1],故当 0<

a a a2 f( )? ? ; 2 2 4

?a a2 ? ? , (0 ? a ? 2) a a 4 当 >1,即 a >2 时, f (x) 有最小值 f (1) ? 1 ? .于是 m ? ? 2 a 2 2 ? 1? , (a ? 2) 2 ?
(2)当 a >2 时,1 ? 为

a 1 1 a a2 2 的值小于 0,而当 0< a ≤2 时, ? = ? ( a ? 1) ? ,它的最大值 2 4 4 2 4

1 1 (当 a =1 时取得),故 m 的最大值为 ,此时 a =1. 4 4

说明:对于某些在给定区间上的二次函数最值问题,往往需要把顶点和区间端点结合起来考虑. 6.分析:限定在区间[― m ,1― m ]上的函数的最大值要考虑到在这个区间上的单调情况.当 x 可 取任意实数时,二次函数 ? 3 x ? 3 x ? 4m ?
2 2

9 1 的图象是对称轴为 x ? ? 开口向下的抛物线, 4 2

?

1 与区间[― m ,1― m ]的位置关系决定了已知函数的单调状况,因此要分区间讨论. 2

当?

1 1 1 3 2 2 ?[― m ,1― m ],即 ? m ? 时,最大值应是 f ( ? ) ? 4m ? 3 .由 4m ? 3 =25, 2 2 2 2

m 2=

1 3 1 3 11 22 ,不符合 ? m ? 的条件.可见 m ? [ , ] . 得 | m |? 2 2 2 2 2 2

1 3 9 2 2 >1― m ,即 m > 时,函数 f (x) = ? 3 x ? 3 x ? 4m ? , x ?[― m ,1― m ]是增函 2 4 2 15 5 23 23 3 2 ? 25 , 数, 可见 f (1 ? m) ? m ? 9m ? 解之得 m = 或 m = ? . 其中 m = ? 不合 m > 4 2 2 2 2 5 3 的条件,舍去.可见 1― m =1- =- . 2 2 1 1 9 2 2 当 ? <― m ,即 m < 时,函数 f (x) = ? 3 x ? 3 x ? 4m ? 是[― m ,1― m ]是减函数, 2 4 2 9 7 13 7 1 2 可见 f (?m) ? m ? 3m ? ? 25 ,解之得 m = 或 m = ? .其中 m = 不合 m < 的条件,舍 4 2 2 2 2 13 3 13 去,由此知 m = ? . 综上所述,当 x =- 或 x = 时, 函数 f (x) 有最大值 25. 2 2 2 1 说明:由点 ? 与区间[― m ,1― m ]的位置关系引起的分类讨论是“形”对“数”的引导作用.本 2
当? 题中虽然只是求函数取最大值时的自变量 x 的值, 没有问 m 的值, 但这个 x 值与 m 值有直接关系, 所以要先求 m 再求 x . 7.解:设电梯停在第 x 层,则不满意的总分为 S =(1+2+?+ x -2)+2(1+2+?+ k - x )

4k ? 5 ) 时,S 最小,其中 N (a ) 表示最接近于 a 6 4k ? 5 ) 时, 的整数. 例如 N (3) ? 3, N (3.6) ? 4, N (2.1) ? 2, N (2.5) ? 2或3 ,故当电梯停在 N ( 不 6
= [3x ? (4k ? 5) x] ? k ? k ? 1 ,所以当 x = N (
2 2

1 2

满意总分最小. 8.证明:原方程整理后,得 2a x ? 2ax ? 1 ? a =0,令 f (x) = 2a x ? 2ax ? 1 ? a ,则 f (x)
2 2 2 2 2 2

2 是开口向上的抛物线,且 f (0) ? 1 ? a ? 0 ,故此二次函数 f (x) =0 有一个正根,一个负根.要

证 明 正 根 比 1 小 , 只 须 证 f (1) ? 0 , 要 证 明 负 根 比 - 1 大 , 只 须 证 f (?1) > 0 . 因 为

f (1) ? 2a 2 ? 2a ? 1 ? a 2 ? (a ? 1) 2 ? 0 f (?1) ? 2a 2 ? 2a ? 1 ? a 2 ? (a ? 1) 2 ? 0

从而命题得证.

2 9.解:易知过两点(0,1)、(2,3)的直线方程为 y ? x ? 1 ,而抛物线 y ? x ? ax ? 2 与线
2 段 MN 有两个交点就是方程 x ? ax ? 2 ? x ? 1 在区间[0,2]上有两个有两个不等的实根.令

a ?1 ? ?0 ? ? 2, ? ? (a ? 1) 2 ? 4 ? 0 解得 的范围为 ? 3 ≤ ≤- f ( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? 1.则 ? a a 2 2 ? f (0) ? 1 ? 0, f (2) ? 2a ? 3 ? 0 ?
1. 说明:利用二次函数来研究一元二次方程的根的分布是非常有效的手段. 10.证明:令 a = x2 + x3 + x4 , b ? x2 x3 x4 ,则原不等式为 ( x1 ? a) 2 ? 4 x1b ,即
2 2 x1 ? 2(a ? 2b) x1 ? a 2 =0,令 f (x) = x ? 2(a ? 2b) x ? a 2 ,则只需证明 f ( x1 ) ≤0.因

? ? 4(a ? 2b) 2 ? 4a 2 ? 16b(b ? a) ,而

a x 2 ? x3 ? x 4 1 1 1 ≤ ? ? ? ? b x 2 x3 x 4 x 2 x3 x3 x 4 x 2 x 4

1 1 1 3 ? ? ? ? 1 ,所以 b ? a ,从而 ? >0, f (x) 与 x 轴有两个不同的交点.易知这两个交点为 4 4 4 4

u ? 2b ? a ? 2 b(b ? a) v ? 2b ? a ? 2 b(b ? a)
[

,下证 x1 ?[ u, v ].

a a ? 3x1 ? 3a, ? x1 ? [ , a] ,只需证 3

a a , a ] ? [ u, v ],即 u ? , a ? v ,由于 v ? 2b ? a ? 2 b(b ? a) ? 2b ? a ? a , 3 3

u ? 2b ? a ? 2 b(b ? a) ? ( b ? b ? a ) 2 ? (

a b ? b?a

)2 ? (

a b b ? ? 1) 2 a a

? (

a 4 1 2 ? ) 3 3

?

a 3

所以 x1 ?[ u, v ],从而必有 f ( x1 ) ≤0. 解 法 二 : 只 需 证 明 f ( x1 ) ≤ 0 , 而

a a ? x1 ? a , 因 此 只 需 证 f (a ) ? 0, f ( ) ? 0 而 3 3 a 4 a 3 a f (a) ? 4a(a ? b) , f ( ) ? a(4a ? 3b) ,由 ? 可证得 f (a ) ? 0, f ( ) ? 0 3 9 b 4 3
2
2

说明:通过构造二次函数,然后利用二次函数的性质来证明一些不等式问题,往往会使问题简化. 11.分析:{ ( x, y) | y ? x ? m }是以 y 轴为对称轴由 y = x 的图象平移所形成的抛物线系.对给 定的 m 它表示一条抛物线, 条件 ( x, y) | y ? g ( x), x ? [a, b] ? {( x, y) | y ? x ? m}恰含有两个元
2

素的意思是函数 y = g (x) , x ?[ a , b ]的图象与抛物线 y ? x ? m 恰有两个交点.首先要弄清楚
2

y = g (x) , x ?[ a , b ],进而作出它的图象.
容易求出奇函数 y = f (x) 在 x <0 时的解析式是 f (x) = x ? 2 x . f (x) = ? 即
2

? ? x 2 ? 2 x ( x ? 0) 2 ? x ? 2 x ( x ? 0)

函数 y = g (x) 的定义域为[ a , b ],值域为[

1 1 , ],其中 a ≠ b , a 、 b ≠0,这表明 b a

?a ? b ?1 1 ? ? ?b a ?

可见 a 、 b 同号.也就是说 y = g (x) , x ?[ a , b ]的图象在第一或第三 象限内. 根据 f (x) = g (x) x ?[ a , b ]以及 f (x) 的图象可知, ( 函数 g (x) 的图象如所示曲线的一部分. 值域与函数的单调状况有关,又与定义域有关.如果只考虑 0< a < b <2 或-2< a < b <0 两种情况,不能准确地用, a 、 b 表示出值域 区间的端点,因此要把区间(0,2),(-2,0)再分细一些,由图中 看出,当 a 、 b >0 时,考虑以下三种情况较好.0< a < b ≤1,0< a <1< b ,1≤ a < b <2.

1 1 1 >1. 但是 x ? (0, 1]时, f (x) ≤1,这与 g (x) 的值域区间[ , ] a b a 的右端点大于 1 矛盾.可见不出现 0< a < b ≤1 的情形. ?1 2 ? b ? g (b) ? ?b ? 2b 如果 1≤ a < b <2,由图看出 g (x) 是减函数,可见 ? 整理得 1 ? ? g ( a ) ? ? a 2 ? 2a ?a ?a ? 1 ?( a ? 1)( a 2 ? a ? 1) ? 0 ? ,考虑到 1≤ a < b <2 的条件,解之得 ? 1? 5 . ? 2 b? ? (b ? 1)( b ? b ? 1) ? 0 ? 2 ? 完全类似地,考虑到-1≤ a < b <0,-2< a <-1< b <0,-2< b < a ≤-1 三种情况
如果 0< a < b ≤1, 那么 后,可以在-2< b < a ≤-1 的情况下通过值域条件得出

? ?a ? ? 1 ? 5 ,这就得到了函数 ? 2 ? b ? ?1 ?

? 2 ? ? x ? 2x ? g ?( x) ? ? ? x 2 ? 2x ? ?

(1 ? x ? (

?1? 5 ? x ? ?1) 2

1? 5 ) 2

对于某个 m ,抛物线与函数 g ?(x ) 的图象有两个交点时,一个交点在第一象限,一个交点在 第三象限.因此, m 应当使方程 x ? m ? ? x ? 2 x ,在[1,
2 2

1? 5 ]内恰有一个实数根,并且使 2

方程 x ? m ? x ? 2 x ,在[
2 2

?1? 5 ,?1 ]内恰有一个实数根.问题归结为求 m ,使 2

? 2 ?2 x ? 2 x ? m ? 0 ? ? ? x? 1m ? 2 ?
在 [1,

1? 5 ]内恰有一个实根 ? (1) ? 2 2 由 (1) 方程 2 x ? 2 x ? m 得, ?1? 5 在[ ,?1]内恰有一个实根 (2) ? 2 在[1,

1? 5 1? 5 ) ? m ? h(1) 即 ? 2 ? m ? 0 ,由(2) ] 内恰有一根,设 h( x) ? 2 x ? 2 x 2 ,则 h( 2 2



?1? 5 1 ? m ? ?1 ,即 ? 1 ? 5 ? m ? ?2 ,∴ m =-2.易证,抛物线 y ? x 2 ? 2 与函数 2 2 5 ?1 5 ?1 , ) 2 2

g (x) 图象恰有两个交点(―1,―1)和(

综上所述:题目条件下的实数 m =-2. 说明:解题过程可分为“求函数 y ? f (x) ”,“求函数 y ? g (x) ”,“求 m ”三个阶段.求函 数 y ? g (x) 的关键步骤是求 a, b 的值.运用了数形结合的方法和分类讨论的运算过程,最终把求

m 的问题化归到求一次方程和二次方程的一定范围内有解的问题.
可以看出,当 m ?(-2,0)时,抛物线 y ? x 2 ? m 与函数 y ? g (x) 的图象在第一象限内有一个 交点,当 m ? ? 1 ? 5,?2 时,在第三象限内有一个交点.

?

?

§6 二次函数(2)
二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与 x 轴的交点)问题,因此,二次方程 的实根分布问题,即二次方程的实根在什么区间内的问题,借助于二次函数及其图象利用形数结 合的方法来研究是非常有益的。 设 f(x)=ax +bx+c(a≠0)的二实根为 x1,x2,(x1<x2),Δ =b -4ac,且α 、β (α <β )是预先给 定的两个实数。 1.当两根都在区间(α ,β )内,方程系数所满足的充要条件: ∵α <x1<x2<β ,对应的二次函数 f (x)的图象有下列两种情形(图 1)
2 2

当 a>0 时的充要条件是:Δ >0,α <-b/2a<β ,f(α )>0,f (β )>0 当 a<0 时的充要条件是:Δ >0,α <-b/2a<β ,f(α )<0,f (β )<0 两种情形合并后的充要条件是:

Δ >0,α <-b/2a<β ,af(α )>0,af (β )>0



2.当两根中有且仅有一根在区间(α ,β )内,方程系数所满足的充要条件: ∵α <x1<β 或α <x2<β ,对应的函数 f(x)的图象有下列四种情形(图 2)

从四种情形得充要条件是: f (α )·f (β )<0 ②

3.当两根都不在区间[α ,β ]内方程系数所满足的充要条件: (1)两根分别在区间[α ,β ]之外的两旁时: ∵x1<α <β <x2,对应的函数 f(x)的图象有下列两种情形(图 3):

当 a>0 时的充要条件是:f (α )<0,f (β )<0 当 a>0 时的充要条件是:f (α )>0,f (β )>0 两种情形合并后的充要条件是: af (α )<0,af (β )<0 ③

(2)两根分别在区间[α ,β ]之外的同旁时: ∵x1<x2<α <β 或α <β <x1<x2,对应函数 f(x)的图象有下列四种情形(图 4):

当 x1<x2<α 时的充要条件是: Δ >0,-b/2a<α ,af (α )>0 当β <x1<x2 时的充要条件是: Δ >0,-b/2a>β ,af (β )>0 二次函数与二次不等式 前面提到,一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。解不等式与证明 不等式成立,经常要用到二次函数的极值性质、单调性、图象与 x 轴的位置关系等。 ⑤ ④

例题讲解
1. 已知方程 x +2px+1=0 有一个根大于 1,有一个根小于 1,则 P 的取值为
2



2. 3. 4.

如果方程(1-m )x +2mx-1=0 的两个根一个小于零,另一个大于 1,试确定 m 的范围。 已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0).若方程 f(x)=x 无实根,求证:方程 f[f(x)]=x 也无实根, 对二次函数 f(x)= ax +bx+c(a≠0),求证,必存在 x=±M≠0,使 f(±M)均与 a 同号。
2 2

2

2

5.

若 a1,a2,?,an,b1,b2,?,bn 都是实数, 求证: 1b1+a2b2+?+anbn)≤(a1 +a2 +?+a n)(b1 +b2 +? (a 2 +b n)

2

2

2

2

2

2

6.设二次函数 f(x)= ax +bx+c(a>0),方程 f(x)-x=0 的两个根 x1,x2 满足 0<x1<x2<1/a。 (1)当 x?(0,x1)时,证明 x<f(x)<x1 (2)设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称,证明:x0<x1/2。

2

7.当 K 为什么实数时,关于 X 的二次方程 7x -(k+13)x+k -k-2=0 的两个实根α 和β 分别满足 0 <α <1 和 1<β <2?

2

2

8.函数 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在[-3,3]上的最小值是



课后练习
1.f(x)是定义在全体实数上的偶函数,它的图象关于 x=2 为轴对称,已知当 x?(-2,2]时 f(x) 2 2 2 2 的表达式为-x +1, 则当 x?(-6,-2)时, f(x)的表达式是: (A)-x +1, (B) -(x-2) +1, (C)-(x+2) +1, 2 (D)-(x+4) +1。 ( )

2.已知 x -4x+b=0 的一个根的相反数为 x +4x-b=0 的根,则 x +bx-4=0 的正根为

2

2

2



3. 已知 f(x)=x +(lga+2)x+lgb 且 f(-1)=-2,又 f(x)≥2x 对一切 x?R 都成立,求 a+b=?

2

4.设θ ?[0,π ],关于 x 的方程 x -2∣x∣cosθ +1=0 有实根,则 4x +13∣x∣+23=

2

2



5.已知方程 ax +bx+c=0(a≠0)有实根 x1 与 x2,设 P=x1 ap+bq+cr= 。

2

2002

+x2

2002

,q=x1

2001

+x2

2001

,r=x1

2000

+x2

2000



6.若二次函数 f(x)=ax +bx+c(a<0)满足 f(x+2)=f(2-x),那么 f(0),f(-2002),f(2002)的大小关 系是(A)f(0)<f(2002)<f(-2002),(B)f(2002)<f(0)<f(-2002),(C)f(-2002)<f(0)<f(2002), (D)f(-2002)<f(2002)<f(0)

2

7.若 sin x+cosx+a=0 有实根,试确定实数 a 的取值范围是什么?

2

8.已知 x,y 都是实数,C=x +y -xy-x+y,则 C 的最小值等于 9.代数式 2x +2xy+2y +2x+4y+5 的最小值为:(A)0
4 2 2 2

2

2

。 (C)9/2 (D)3

(B)5

10.函数 f(x)=x -2x +2 的单调增区间是:(A)[1,+∞),(B)(-∞,-1)∪[1,+∞),(C)[-1,0] ∪[1,+∞),(D)以上都不对
11.若二次函数 f(x)=ax +bx,有 f(x1)=f(x2)(x1≠x2)则 f(x1+x2)=
2
2



12.给定函数 f(x)=x +ax+b 设 P,q 是满足 P+q=1 的实数,证明,若对于任意的实数 x,y,均有: pf(x)+qf(y)≥f(px+qy),则 0≤p≤1

课后练习答案
1. (D) 2.2; ; 3.110; 4.40; 5.0; 6.(D); 7.[-5/4,1]; 8.-1/3; 9.(D); 10.(D); 11.0; 12.(略)。

例题答案:
1.解:记 f(x)=x +2px+1,则 f(x)r 的图象开口向上,当 f(x)与 x 轴的两交点一个在(1,0)左 2 方,另一个在(1,0)右方时,必有 f(1)<0,即:1 +2P+1<0,即 P<-1
2

所以 P 的取值为(-∞,-1) 2.解:令 f(x)=(1-m )x +2mx-1,根据题设条件,f(x)的图形是下列两种情形之一(图 5):
2 2

得充要条件:(1-m )f(0)<0,(1-m )f(1)<0;即 1-m >0,(1-m )(2m-m )<0 解得:-1<m<0 3.证明:已知 f(x)=ax +bx+c(a≠0) 方程 f(x)=x 即 f(x)-x=ax +(b-1)x+c=0 无实根,f(x)-x 仍是二次函数,f(x)-x=0 仍是二次 2 方程,它无实根即Δ =(b-1) -4ac<0 若 a>0,则函数 y=f(x)-x 的图象在 x 轴上方, ∴y>0,即 f(x)-x>0 恒成立,即:f(x)>x 对任意实数 x 恒成立。 ∴对 f(x), 有 f(f(x))>f(x)>x 恒成立 ∴f(f(x))=x 无实根 若 a<0,函数 y=f(x)-x 的图象在 x 轴下方 ∴y<0,即 f(x)-x<0 恒成立 ∴对任意实数 x,f(x) <0 恒成立 ∴对实数 f(x),有:f(f(x))<f(x)<x 恒成立 ∴f(f(x))=x 无实根 综上可知,当 f(x)=x 无实根时,方程 f(f(x))=x 也无实根 4.分析:这是一道证明题。从图象上看,当 a>0 时,抛物线开口向上,f(x)>0 的解集要么为 全体实数集合 R (△<0); 要么为 (-∞,x0) ∪(x0,+ ∞)(Δ =0,f(x0)=0), 要么为 (-∞,x1) ∪(x2,+ ∞) (Δ >0,f(x1)=f(x2)=0),故总可以找到±M≠0,±M?R,或±M?(-∞,x0)∪(x0,+∞),或
2 2

2

2

2

2

2

±M?(-∞,x1)∪(x2,+∞),使 f(±M)>0,因此 af(±M)>0,对于 a<0 的情形,也是如此, 2 2 只不过 f(±M)<0,从代数的角度看问题,af(x)>0 即 a x +abx+ac>0 ①它有解且解集合中包 含着 x=M 与 x=-M(M≠0)一对相反数,因此,需考虑①所对应的二次方程的判别式。 证明:∵f(x)= ax +bx+c(a≠0) ∴af(x)= a x +abx+ac=1/4[4a x +4abx+4ac]=1/4(2ax+b) -1/4(b -4ac) ∴af(x)>0 即:1/4(2ax+b) -1/4(b -4ac)>0 亦即(2ax+b) -(b -4ac)>0 (1)当Δ =b -4ac<0 时,af(x)>0 的解集为(-∞,+∞) 2 (2)当Δ =b -4ac=0 时,af(x)>0 的解集为(-∞,-b/2a)∪(-b/2a,+∞) 2 (3)当Δ =b -4ac>0 时,方程 af(x)=0 有两个不等的实数根 x1,x2(x1<x2),相应的不等式 af(x)>0 的解集合为:(-∞,x1)∪(x2,+∞) 因为三种情况下的解集合均为无穷区间,故均存在-M 与 M 同属于解集合,使 af(±M)>0,从 而 a 与 f(±M)同号。 5.证明:构造二次函数 f(x)=(a1x-b1) +(a2x-b2) +?+(anx-bn) =(a1 +a 2+?+a n)x -2(a1b1+a2b2+?+anbn)x+(b1 +b 2+? 2 +b n) 当 a1 +a 2+?+a n≠0 即 a1,a2,?,an 不全为零时,显然有对 x?R,f(x)≥0,故 f(x)=0 的判别 2 2 2 2 2 2 2 式:Δ =4(a1b1+a2b2+?+anbn) -4(a1 +a2 +?+a n)·(b1 +b 2+?+b n)≤0 即(a1b1+a2b2+?+anbn) ≤(a1 +a2 +?+a n)·(b1 +b 2+?+b n) 当 a1=a2=?=an=0 时,结论显然成立,故命题成立。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

[评注]本例中的不等式即是著名的柯西不等式, 有时它也写作 等号当且仅当 a1/b1=a2/b2=?=an/bn 时成立。



6.[分析]该题是一九九七年全国普通高考理工类数学第 24 题,它综合考查二次函数、二次方 程和不等式的基础知识,以及灵活运用数学知识和方法分析、解决问题的能力,当年没有几个考 生能完整解答此题。可以从代数与几何两个角度展开思考: 从代数角度看,f(x)是二次函数,从而方程 f(x)-x=0 即 ax +(b-1)x+c=0(a>0)是二次方程, 2 由于 x1,x2 是它的两个根,且方程中 x 的系数是 a,因此有表达式:f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)进而, 利用二次函数的性质和题设条件,可得第(1)问的证明。
2

从几何角度看,抛物线 y=f(x)-x 开口向上,因此在区间[x1,x2]的外部,f(x)-x>0,(1) 的左端得证。其次,抛物线 y=f(x)的开口也向上,又 x1=f(x1),于是为了证得(1)的右端,相 当于要求证明函数 f(x)在区间[0,x1]的最大值是 f(x1),这相当于证明 f(0)≤f(x1),也即 C≤ x1,利用韦达定理和题设,立即可得。 至于(Ⅱ)的证明,应用配方法可得 x0=-b/2a,进而利用韦达定理与题设,即得证明。 证明:①欲证:x<f(x)<x
只须证:0<f(x)-x<x1-x
2



因为方程 f(x)-x=0 的两根为 x1,x2,f(x)=ax +bx+c(a>0),∴f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)
①式即: 0<a(x-x1)(x-x2)<x1-x ②

∵a>0,x?(0,x1),x1-x>0,∴a(x1-x)>0 ②式两边同除以 a(x1-x)>0,得:0<x2-x<1/a,即:x<x2<1/a+x 这由已知条件:0<x<x1<x2<1/a,即得:x<x2<(1/a)<1/a+x, 故命题得证。 (2)欲证 x0<x1/2,因为 x0=-b/2a,故只须证:x0-x1/2=-b/2a-x1/2<0 由韦达定理,x1+x2=(-b-1)/a,(x1+x2)/2=-(b-1)/2a,代入③式,有 (-(b/2a))-(x1/2)=(x2/2)-(1/(2a))<0 ,即:x2<1/a 由已知:0<x1<x2<1/a,命题得证。 [评注]证(1)用到了二次函数的零点式 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) 证(2)用到了 x0=-(b/(2a)),((x1+x2)/2)=-((b-1)/2a),都是二次函数二次方程的 基础知识。 7.[分析]它是一个一元二次方程的问题,利用求根公式解出α 、β ,再解不等式 0<α <1 和 1<β <2 顺理成章,但计算变形较繁难。如果把此题的方程的左端看作是一个二次函数的话,结 合函数的图象和性质来解此题,那就简便得多了。 解:设 y=f(x)=7x -(k+13)x+k -k-2,则因为 a=7>0,且方程 f(x)=0 有两实根α ,β ,所以 它的图象是开口向上且与 X 轴相交于两点(α ,0)、(β ,0)的抛物线。由于 0<α <1,1<β <2, 可知在 x<α 或 x>β 时,f(x)取正值;在α <x<β 时,f(x)取负值。于是,当 x 分列取 0,1,2 2 2 2 时,有:f(0)=k -k-2>0,f(1)=k -2k-8<0,f(2)=k -3k>0 解这三个不等式组成的不等式组, 可得-2<k<-1 和 3<k<4。
2 2



显然,上述三个一元二次不等式解起来要容易得多。 8.[分析]这是 1996 年北京高中一年级数学竞赛的复试题,是一个四次函数的最值问题。表面 上看起来很难。但借助于配方法、换元法及二次函数极(最)值性质,可得结果。 解:∵y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+5 =(x +5x+4)(x +5x+6)+5 =(x +5x+5-1)(x +5x+5+1)+5 =(x +5x+5) +4 设 Z=x +5x+5,则 y=Z +4,对 Z=x +5x+5=(x+5/2) -5/4,x?[-3,3],易知 Zmin=-5/4,Zmax=29
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴y=Z +4,Z?[-5/4,29]抛物线开口向上,对称轴 Z=0?[-5/4,29],∴ymin=4 故 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在[-3,3]上的最小值是 4。

2

§7 指、对数函数,幂函数
指数、对数以及指数函数与对数函数,是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛 中,都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质,熟练掌握指数函数与对数函数这一 对反函数的性质、图象及其相互关系,对学习好高中函数知识,意义重大。 一、 指数概念与对数概念: 指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘 a·a……a(n 个)=an 导出乘方,这里的 n 为正整数。从初中开始,首先将 n 推广为全体整数;然后把乘方、开方统一起来,推广为有理指 数;最后,在实数范围内建立起指数概念。 欧拉指出:“对数源出于指数”。一般地,如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N,就是 ab=N,那么 数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作:logaN=b 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 ab=N 与 b=logaN 是一对等价的式子,这里 a 是给定的不等于 1 的正常数。当给出 b 求 N 时, 是指数运算,当给出 N 求 b 时,是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。 二、指数运算与对数运算的性质 1.指数运算性质主要有 3 条: ax·y=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=ax·x(a>0,a≠1,b>0,b≠1) a b 2.对数运算法则(性质)也有 3 条: (1)loga(MN)=logaM+logaN (2)logaM/N=logaM-logaN (3)logaMn=nlogaM(n?R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 3.指数运算与对数运算的关系: X=alogax;mlogan=nlogam 4.负数和零没有对数;1 的对数是零,即 loga1=0;底的对数是 1,即 logaa=1 5.对数换底公式及其推论:

换底公式:logaN=logbN/logba 推论 1:logamNn=(n/m)logaN

推论 2: 三、指数函数与对数函数 函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数。它的基本情况是: (1)定义域为全体实数(-∞,+∞) (2)值域为正实数(0,+∞),从而函数没有最大值与最小值,有下界,y>0 (3)对应关系为一一映射,从而存在反函数--对数函数。 (4)单调性是:当 a>1 时为增函数;当 0<a<1 时,为减函数。 (5)无奇偶性,是非奇非偶函数,但 y=ax 与 y=a - x 的图象关于 y 轴对称,y=ax 与 y= -ax 的图 象关于 x 轴对称;y=ax 与 y=logax 的图象关于直线 y=x 对称。 (6)有两个特殊点:零点(0,1),不变点(1,a) (7)抽象性质:f(x)=ax(a>0,a≠1), f(x+y)=f(x)· f(y),f(x-y)=f(x)/f(y) 函数 y=logax(a>0,且 a≠1)叫做对数函数,它的基本情况是: (1)定义域为正实数(0,+∞) (2)值域为全体实数(-∞,+∞) (3)对应关系为一一映射,因而有反函数——指数函数。 (4)单调性是:当 a>1 时是增函数,当 0<a<1 时是减函数。 (5)无奇偶性。但 y=logax 与 y=log(1/a)x 关于 x 轴对称,y=logax 与 y=loga(-x)图象关于 y 轴 对称,y=logax 与 y=ax 图象关于直线 y=x 对称。 (6)有特殊点(1,0),(a,1) (7)抽象运算性质 f(x)=logax(a>0,a≠1), f(x· y)=f(x)+f(y), f(x/y)=f(x)-f(y)

例题讲解
1.若 f(x)=(ax/(ax+√a)),求 f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)

2.5log25 等于:( ) (A)1/2 (B)(1/5)10log25 (C)10log45 (D)10log52

3.计算

4.试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小。

5.已知

(a,b 为实数)且 f(lglog310)=5,则 f(lglg3)的值是( )

(A)-5 (B)-3 (C)3 (D)随 a,b 的取值而定

6.已知函数 y=((10x-10-x)/2)(X?R) (1)求反函数 y=f-1(x) (2)判断函数 y=f-1(x)是奇函数还是偶函数

7.已知函数 f(x)=loga((1+x)/(1-x))(a>0,a≠1) (1)求 f(x)的定义域 (2)判断 f(x)的奇偶性并给以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 取值范围; (4)求它的反函数 f-1(x)

8.22003 的十进制表示是个 P 位数,52003 的十进位表示是个 q 位数,则 p+q=



9.已知 x2-2x+loga(a2-a)=0 有一正根和一负根,求实数 a 的范围。

10.设 y=log(1/2)[a2x+2(ab)x-b2x+1](a>0,b>0),求使 y 为负值的 x 的取值范围

课后练习
1.设 a,b,c 都是正数,且 3a=4b=6c,那么( ) (A)(1/c)=(1/a)+(1/b), (B)(2/c)=(2/a)+(1/b), (C)(1/c)=(2/a)+(2/b), (D)(2/c)=(1/a)+(2/b) 2.F(x)=(1+((2/(2x-1)))·f(x)(x≠0)是偶函数,且 f(x)不恒等于零,则 f(x)( ) (A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)可能是奇函数也可能是偶函数 (D)不是奇函数也不是偶函数 3.若 f(x)=3x+5,则 f-1(x)的定义域是( ) (A)(0,+∞) (B) (5,+∞) (C) (8,+∞) (D) (-∞,+∞) 4.求值:6lg40× lg36 5 5.已知 m,n 为正整数,a>0,a≠1,且 logam+loga(1+(1/m))+loga(1+(1/(m+1))+…+loga(1+(1/(m+n-1)))=lgam+logan。求 m,n 6.X=((1/(log(1/2)(1/3))+(1/(log(1/5)(1/3))的值属于区间( ) (A)(-2,-1) (B)(1,2) (C)(-3,-2) (D)(2,3) 7.计算:(1)lg20+log10025 (2)lg5· lg20+(lg2)2 8.若集合{x,xy,lg(xy)}={0,∣x∣,y},则 log8(x2+y2)= 9.若 x?(1,10),则 lg2x,lgx2,lglgx 的大小顺序是: (A)lg2x<lgx2<lglgx (B)lg2x<lglgx<lgx2 (C)lgx2<lg2x<lglgx (D)lglgx<lg2x<lgx2 。

10.计算:

11.集合{x∣-1≤log(1/x)10<-(1/2),x?N}的真子集的个数是 。

12.求函数 y=(1/4)x2-2x-3 的单调区间。

13.已知指数函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1),求满足 f(3x2-4x-5)>f(2x2-3x+1)的 x 的取值。

14.解方程 8log6(x2-7x+15)=5log68

15.设有关于 x 的不等式 lg (∣x+3∣+∣x-7∣)>a (1)当 a=1 时,解这个不等式; (2)当 a 为何值时,这个不等式的解集为 R?

课后练习答案
1.(B);2.(A);3.(B);4.216;5.m=2,n=2; 6.(D);7.(1)2,(2)1;8.1/3;9.(D); 10.1/2;11.290-1;12.单调增区间(-∞,1],单调减区间[1,+∞) 13.当 a>1 时,x<-2 或 x>3,当 0<a<1 时,-2<x<3; 14.x1=2,x2=5; 15.(1)x<-3 或 x>7,(2)a<1

例题答案:
1. 分析:和式中共有 1000 项,显然逐项相加是不可取的。需找出 f(x)的结构特征,发现规 律,注意到 1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=…=1, 而 f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+√a))+(a1-x/(a1-x+√a))=(ax/(ax+√a))+(a/(a+ax·√a))=(ax/(ax+√a))+((√a)/(ax+√a))=((ax+√ a)/(ax+√a))=1 规律找到了,这启示我们将和式配对结合后再相加: 原式 =[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+…+[f(500/1001)+f(501/1001)]=(1+1+…+1)5000 个=500 说明:观察比较,发现规律 f(x)+f(1-x)=1 是本例突破口。 (1)取 a=4 就是 1986 年的高中数学联赛填空题:设 f(x)=(4x/(4x+2)),那么和式 f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)的值= 。 x x (2)上题中取 a=9,则 f(x)=(9 /(9 +3)),和式值不变也可改变和式为求 f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+…+f((n-1)/n).

(3)设 f(x)=(1/(2x+√2)),利用课本中推导等差数列前 n 项和的方法,可求得 f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 。这就是 2003 年春季上海高考数学第 12 题。 2.解:∵ log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)× log25 5 10 ∴ 选(B) 说明:这里用到了对数恒等式:alogaN=N(a>0,a≠1,N>0) 这是北京市 1997 年高中一年级数学竞赛试题。

3.解法 1:先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。

解法 2:利用算术根基本性质对真数作变形,有

说明:乘法公式的恰当运用化难为易,化繁为简。

4.解:对于两个正数的大小,作商与 1 比较是常用的方法,记 122003=a>0,则有

((122002+1)/(122003+1))÷ 2003+1)/(122004+1))=((a/12)+1)/(a+1)· ((12 ((12a+1)/(a+1))=((a+12)(12a+1))/(12(a 2 2 2 +1) )=((12a +145a+12)/(12a +24a+12))>1 故得:((122002+1)/(122003+1))>((122003+1)/(122004+1))

5.

解:设 lglog310=t,则 lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t

而 f(t)+f(-t)=

∴ f(-t)=8-f(t)=8-5=3 说明:由对数换底公式可推出 logab· logba=(lgb/lga)· (lga/lgb)=1,即 logab=(1/logba),因而 lglog310 与 lglg3 是一对相反数。设 中的部分 ,则

g(x)为奇函数,g(t)+g(-t)=0。这种整体处理的思想巧用了奇函数性质使问题得解,关键在于细致 观察函数式结构特征及对数的恒等变形。

6.分析: (1)求 y=(10x-10-x)/2 的反函数首先用 y 把 x 表示出来,然后再对调 x,y 即得到 y=f-1(x); (2)判断函数 y=f-1(x)的奇偶性要依据奇函数或偶函数的定义,看当 X? 时是否有 R f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0) 或 f(-x)=f(x) 恒成立。 解:(1)由 y=((10x-10-x)/2)(X? R)可得 2y=10x-10-x,设 10x=t,上式化为:2y=t-t-1 两边乘 t, 得 2yt=t2-1 整理得:t2-2yt-1=0,解得:

由于 t=10x>0,故将

舍去,得到:

将 t=10x 代入上式,即得:

所以函数 y=((10x-10-x)/2)的反函数是

(2)由

得:

∴ f-1(-x)=-f(x)

所以,函数

是奇函数。

说明:① 从本题求解及判断过程可以得到更一般的结论:函数 y=((ax-a-x)/2)(X? R,a>0,a≠1)的 反函数是 ,它们都是奇函数。当 a=2,3,10 或 e 时就构造了新的特殊的题目。进

一步还可以研究它们的单调性,如 1992 年高考数学试题:函数 y=((ex-e-x)/2)的反函数 (A)是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数; (B)是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数; (C)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数; (D)是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数。 ② 函数 y=((ax-a-x)/2)是由 y=f(x)=ax 构造而得,全日制普通高级中学教科书(试验修订本。必 修)《数学》第一册(上)(人民教育出版社中学数学室编著)P107 复习参考题二 B 组第 6 题: 设 y=f(x)是定义在 R 上的任一函数, 求证:(1)F1(x)=f(x)+f(-x)是偶函数; (2)F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。 而 f(x)=F1(X)+F2(x),它说明,定义在 R 上的任一函数都可以表示成一个奇函数(F2(x))与一 个偶函数(F1(x))的代数和。从这个命题出发,由 f(x)=ax 就可以构造出诸多奇函数,比如, y=((ax-a-x)/2); y=((ax-a-x)/(ax+a-x))=((a2x-1)/(a2x+1))等等用自然对数的底 e≈2.71828… (无理数) 作底, x -x x -x) x -x) x -x)) 作函数 sh(x)=((e -e )/2),ch(x)=((e +e /2),th(x)=((e -e /(e +e 它们分别叫做双曲正弦函数,双曲 余弦函数,双曲正切函数,它们具有如下性质: (1)ch2(x)-sh2(x)=1; (2)sh(x+y)=sh(x)· ch(y)+ch(x)· sh(y); (3)ch(x+y)=ch(x)· ch(y)+sh(x)· sh(y); (4)th(x+y)=((th(x)+th(y))/(1+th(x)· th(y))); (5)ch(-x)=ch(x); (6)sh(-x)=-sh(x); (7)th(-x)=-th(x). 令 x=y,则有 (8)sh(2x)=2sh(x)· ch(x); 2 (9)ch(2x)=ch (x)+sh2(x) 其中① ⑨ ⑧ 合起来,就是课本 P107 的第 8 题。 7. 解:(1)由对数的定义域知((1+x)/(1-x))>0 解这个分式不定式,得:(x+1)(x-1)<0,-1<x<1 故函数 f(x)的定义域为(-1,1)

(2)f(-x)=loga((1-x)/(1+x))=log((1+x)/(1-x))-1=-loga((1+x)/(1-x))=-f(x) 由奇函数的定义知,函数 f(x)是奇函数。 (3)由 loga((1+x)/(1-x))>0<=>loga((1+x)/(1-x))>loga1, 因为 a>1,所以由对数函数的单调性知((1+x)/(1-x))>1,考虑由(1)知 x<1,1-x>0,去分 母,得:1+x>1-x,x>0 故:0<x<1 所以对于 a>1,当 x? (0,1)时函数 f(x)>0 (4)由 y=loga((1+x)/(1-x))得:((1+x)/(1-x))=ay 应用会比分比定理得: ((1+x)+(1-x))/((1+x)-(1-x))=((ay+1)/(ay-1))即:(2/2x)=((ay+1)/(ay-1)) ∴ x=((ay-1)/(ay+1))交换 x,y 得: y=((ax-1)/(ax+1)),它就是函数 f(x)=loga((1+x)/(1-x))的反函数 f-1(x)即 f-1(x)=((ax-1)/(ax+1)) 说明:(1)函数 y=loga((1+x)/(1-x))与 y=((ax-1)/(ax+1))是一对反函数。取 a=e,函数 y=((ex-1)/(ex+1))的反函数的定义域是 。这就是 89 年的高考题目。 (2)已知 f(x)=lg((1-x)/(1+x)),a,b? (-1,1)求证:f(a)+f(b)=f((a+b)/(1+ab))(P89 习题 2.8 第 4 题) 可以看作该类函数的性质。

(3) x 与 y=logax; y=a y=((ax-a-x)/2)与 这三对互反函数及其性质需要理解记忆。

; y=((ax-1)/(ax+1))与 y=loga((1+x)/(1-x))

8.解:∵ 2003 是个 P 位数, 2 ∴ p-1<22003<10p ① 10 ∵ 2003 是个 q 位数, 5 ∴ q-1<52003<10q ② 10 ①② × 得:10p+q-2<(2× 2003<10p+q 5) p+q-2 即 10 <102003<10p+q ③ ∴ 2003=p+q-1 ∴ p+q=2004 9.解:方程有一正根一负根的充分必要条件是: loga(a2-a)<0(由韦达定理而来)① 由 a>0,a≠1,a2-a=a(a-1)>0,可得 a>1 ② ,从而由 loga(a2-a)<0=loga1 得:a2-a<1,a2-a-1<0,解

得:

③ ,由② 得: ③

10.解:∵ (1/2)<1,要使 y<0,只要 a2x+2(ab)x-b2x+1>1, 即 a2x+2(ab)x-b2x>0 →b2x[(a/b)2x+2(a/b)x-1]>0 →[(a/b)x]2+2(a/b)x-1>0 → →∵ → .

1° a>b>0 时,a/b>1, 当 2° b>a>0 时,0<a/b<1, 当 3° a=b>0 时,x? 当 R。




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