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备课资料(1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质)


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备课资料 一、近几年三角函数知识的变动情况 三角函数一直是高中固定的传统内容,但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998 年 4 月 21 日,国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容,其中的调整意见第(7)条为:“对 三角函数中的和差化积、积化和差的 8 个公式,不要求记忆”.1998 年全国高考数学卷中,已尽 可能减少了这 8 个公式的出现次数,在仅有的一次应用中,还将公式印在试卷上,以供查阅.而 当时调整意见尚未生效(应在 1999 年生效),这不能不说对和积互化的 8 个公式的要求是大大 降低了.但是,如果认为这次调整的仅仅是 8 个公式,仅仅是降低了对 8 公式的要求,那就太表 面、太肤浅了. 我们知道,三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一,相当部分的三角题都是围 绕它们而设计的,它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力.现在要求降低了, 有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了.这样一来,三角部分还要我们教些什么呢?又该 怎样教?立刻成了部分教师心头的一大困惑.有鉴于此,我们认为很有必要重新审视这部分的 知识体系,理清新的教学思路,以便真正落实这次调整的意见,实现“三个有利于(有利于减轻学 生过重的课业负担,有利于深化普通高中的课程改革,有利于稳定普通高中的教育教学秩序)” 的既定目标. 1.是“三角”还是“函数” 应当说,三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的.三角本是几何学的衍生物,起始 于古希腊的希帕克,经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的 古典数学学科,历史上的很长一段时期,只有《三角学》盛行于世,却无“三角函数”之名.“三角 函数”概念的出现,自然是在有了函数概念之后,从时间上看距今不过 300 余年.但是,此概念一 经引入,立刻极大地改变了三角学的面貌,特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作,致使三角 函数可以完全独立于三角形之外,而成为分析学的一个分支,其中的角也不限于正角,而是任 意实数了.有的学者甚至认为可将它更名为角函数,这是有见地的,所以,作为一门学科的 《三角 学》已经不再独立存在.现行中学教材也取消了原来的《代数》 《三角》 《几何》的格局,将三 角并入了代数内容.这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重. 从《代数学》的历史演变来看,在相当长的历史时期内,“式与方程”一直是它的核心内容, 那时的教材都是围绕着它们展开的.所以,书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式 变形可谓连篇累牍,所在皆是.这是由当时的数学认知水平决定的.而现在,函数已取代了式与 方程成为代数的核心内容,比起运算技巧和变形套路来,人们更关注函数思想的认识价值和应 用价值.1963 年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时,首要强调的是“形式演算能 力”,1990 年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”.现行高中《代数》课本中,充分阐发了幂 函数、指数函数、对数函数的图象和性质及应用,对这三种代数式的变形却轻描淡写.所以, 三角函数部分应重在“函数的图象和性质”是无疑的,这也是国际上普遍认可的观点. 2.是“图象”还是“变换” 现行高中三角函数部分,单列了一章专讲三角函数,这是与数学发展的潮流相一致的.大 多数师生头脑中反映出来的,还是“众多的公式,纷繁的变换”,而三角函数的“图象和性质”倒是 在其次的,这一点,与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差.调整以后,降低这部分的要 求,大面积地减少了题量.把“函数”作为关键词,将目光放在“图象和性质”上,应当是正确的选 择,负担轻了,障碍小了,这更方便于我们将注意力转移到对函数图象和性质的关注上,这才是 “三个有利于”得以贯彻的根本. 3.国外的观点及启示 下面来看一下美国和德国的观点: 美国没有全国统一的教材和《考试说明》,只有一个《课程标准》,在《课程标准》中,

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他们对三角函数提出了下面的要求:“会用三角学的知识解三角形;会用正弦、 余弦函数研究客 观实际中的周期现象;掌握三角函数图象;会解三角函数方程;会证基本的和简单的三角恒等 式;懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”.他们还特别指出,不要在推导三角恒等式上 花费过多的时间,只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了,比较复杂的恒等式就应该完全避 免了. 德国在 10 到 12 年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容,10 年级要求如下:(1)一个 角的弧度;(2)三角函数 sinx、cosx、tanx 和它们的图象周期性;(3)三角形中角和边的计算;(4) 重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系).另外,在 11 年级和 12 年级 的“无穷小分析”中,继续研究三角函数的图象变换、求导、求积分、求极限. 从以上罗列,我们可以看出下面的共同点: 第一,突出强调三角函数的图象和性质; 第二,淡化三角式的变形,仅涉及同角变换,而且要求较低,8 公式根本不予介绍; 第三,明确变换的目的是为了三角形中的实际计算; 第四,注意三角函数和其他知识的联系. 这带给我们的启示还是很强烈的,美国和德国的中学教育以实用为主,并不太在乎教材体 系是否严谨,知识系统是否完整;我国的教材虽作调整,怎样实施且不去细说,有一个意图是可 猜到的,那就是要让学生知道教材是严谨与完整的.现在看来严谨的东西,在更高的观点下是 否还严谨?在圈内看是完整的,跳出圈子看,是否还完整?在一个小地方钻得太深,在另外更大 的地方就可能无暇顾及.人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分,我们却热衷于在个别 地方穷追不舍,这早已引起行家的注意,从这个意义上说,此次调整应当只是第一步.在中学阶 段即试图严谨与完整,其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太 深的缘故. 二、备用习题 1.函数 y=sin( A.[2kπ-

π
3

-2x)的单调减区间是(

) B.[4kπ-

5π ](k∈Z) 12 12 5π 11π C.[kπ,kπ+ ](k∈Z) 12 12 π 1 2.满足 sin(x- )≥ 的 x 的集合是( 4 2 5π 13π A.{x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z} 12 12 π 7π B.{x|2kπ ? ≤x≤2kπ+ ,k∈Z} 12 12 π 5π C.{x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z} 6 6
,2kπ+ D.{x|2kπ≤x≤2kπ+

π

5π 11π ,4kπ+ ](k∈Z) 3 3 π 5π D.[kπ ? ,kπ+ ](k∈Z) 12 12

)

π

6

,k∈Z}∪{x|2kπ+

5π ≤x≤(2k+1)π,k∈Z} 6

3.求下列函数的定义域和值域: (1)y=lgsinx;(2)y=2 cos3x . 4.已知函数 y=f(x)的定义域是[0,

1 ],求下列函数的定义域: 4

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(1)f(cos2x);(2)f(sin2x-

1 ). 2
2

5.已知函数 f(x)= log 1 |sinx-cosx|. (1)求出它的定义域和值域; (2)指出它的单调区间; (3)判断它的奇偶性; (4)求出它的周期. 6.若 cos2θ+2msinθ-2m-2<0 恒成立,试求实数 m 的取值范围. 7.求函数 y=lgsin(

π x
-

4 2 π x 同学甲:令 t=sin( - ),则 y=lgt. 4 2
∵y=lgt 是增函数,

)的单调增区间,以下甲、乙、丙有三种解法,请给予评判.

∴原函数的单调增区间就是 t=sin( 又 sin? 的增区间为[ ? ∴?

π x
4 2
-

)的增区间.

π
2

+2kπ,

π
2

+2kπ](k∈Z),

π
2

2 π 3π 解得 4kπ- ≤x≤4kπ+ (k∈Z). 2 2

+2kπ≤

π x π
4 2


+2kπ(k∈Z),

π

∴原函数的增区间为[4kπ同学乙:令 t=sin(

π x
4 2
-

2

,4kπ+

3π ](k∈Z). 2

),则 y=lgt.

∵y=lgt 是增函数,∴原函数的单调区间就是 t 的增区间.

4 x ∴只需求出 cos( + )的增区间. 4 2

∵t=sin(

π x
4 2
-

)=cos(

π

+

π

x ), 2

由于 cos? 的增区间为[2kπ-π,2kπ](k∈Z).

x 5π π ≤2kπ ? 4kπ ? ≤x≤4kπ- (k∈Z). 4 2 2 2 5π π ∴原函数的增区间为[4kπ ? ,4kπ- ](k∈Z). 2 2 π x 同学丙:令 t=sin( - ),则 y=lgt. 4 2
∴2kπ-π≤ + ∵y=lgt 是增函数, ∴原函数的单调增区间是使 t>0 且 t 为增函数的 x 的范围.

π

x ), 4 2 4 2 π x ∴只需求出使 t=cos( + )>0 且 t 为增函数的 x 的区间. 4 2
∵t=sin( )=cos( +

π x

π

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于是有 2kπ-

x 3π π ≤2kπ ? 4kπ<x≤4kπ- (k∈Z), 2 4 2 2 2 3π π ,4kπ- ](k∈Z). ∴原函数的增区间为(4kπ2 2
< +

π π

参考答案: 参考答案 1.D 2.A 3.解:(1)由题意得 sinx>0, 解 ∴2kπ<x<(2k+1)π,k∈Z.又∵0<sinx≤1,∴lgsinx≤0. 故函数的定义域为[2kπ,(2k+1)π],k∈Z,值域为(-∞,0]. (2)由题意得 cos3x≥0,∴2kπ-

π
2

≤3x≤2kπ+

π
2

,k∈Z.



2kπ π 2kπ π - ≤x≤ + ,k∈Z. 3 6 3 6

又∵0≤cosx≤1,∴0≤2 cos3x ≤2.

2kπ π 2kπ π - , + ],k∈Z,值域为[0,2]. 3 6 3 6 1 1 1 4.解:(1)由题意得 0≤cos2x≤ ,∴- ≤cosx≤ . 解 4 2 2
故函数的定义域为[ 利用单位圆中的三角函数线或余弦函数图象,可得 x∈[kπ+

π
3

,kπ+

2π ],k∈Z. 3 1 1 3 2 2 3 ≤ ,∴ ? ≤sinx≤ ? 或 ≤sinx≤ . 2 4 2 2 2 2

(2)由题意得 0≤sin2x-

∴x∈[kπ+

π
4

,kπ+

π
3

]∪[kπ+

2π 3π ,kπ+ ],k∈Z. 3 4

5.解:f(x)= log 1 |sinx-cosx|= log 1 |2sin(x解
2 2

π
4

)|.

(1)它的定义域应满足 2 sin(x-

π
4

)≠0,x-

π
4

≠kπ,x≠kπ+

π
4

(k∈Z),

π
故定义域为{x|x≠kπ+

4

,k∈Z}.

∵|sinx-cosx|=| 2 sin(x∴0≤|sinx-cosx|≤2.

π
4

)|,

根据 y= log 1 |t,t∈(0,+∞)是减函数,可知 log 1 ||sinx-cosx|≥ log 1 |2=2 2 2

1 , 2

故值域为[-

1 ,+∞). 2

(2)函数的单调增区间是[kπ-

π
4

,kπ+

π
](k∈Z),单调减区间是(kπ+

π
4

4

,kπ+

3π ](k∈Z). 4

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(3)由于其定义域关于原点不对称,所以此函数非奇非偶. (4)由于 y=|sinx|的周期为 π,故原函数的周期为 π. 6.解:令 sinθ=t,则-1≤t≤1. 解 要使 cos2+2msinθ-2m-2<0 恒成立,即 sin2θ-2msinθ+2m+1>0 恒成立. 设 f(t)=t2-2mt+2m+1,则只要 f(t)>0 在[-1,1]上恒成立即可, 由于 f(t)=(t-m)2+2m+1-m2(-1≤t≤1),所以只要 f(t)的最小值大于零即可. 若 m<-1,则当 t=-1 时,f(t)min=2+4m,令 2+4m>0,得 m>-

1 ,这与 m<-1 矛盾,故舍去; 2

若-1≤m≤1,则当 t=m 时,f(t)min=-m2+2m+1,令-m2+2m+1>0, 解得 1- 2 <m<1+ 2 ,∴1-2<m≤1; 若 m>1,则当 t=1 时,f(t)min=2>0,∴m>1. 综上所述,m>1- 2 . 7.解:由于函数的单调区间是其定义域的子区间,该函数的定义域是使 sin( 解

π x
4 2
-

)>0 的 x 的取

值范围,甲、 乙两名同学都没有考虑到定义域,因此其解法是错误的;同时,甲同学还有一处错误, 即 sin? 的增区间不是 t 的增区间(因为 ?=

π x
4 2
-

中 ? 是自变量 x 的减函数).丙生既考虑了函数

的定义域,也考虑到将 x 的系数变为正数,其解法是正确的. (设计者 郑吉星 设计者:郑吉星 设计者 郑吉星)

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