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正弦定理和余弦定理的应用


第二节

第八节 正弦定理和余弦定理的应用 命题及其关系、充分条件与必要条件

结束

第八节

正弦定理和余弦定理的应用

上方

下方

图(a)
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图(b)
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1. (教材习题改编)海面上有 A, B, C 三个灯塔, AB=10 n mile, 从 A 望 C 和 B 成 60°视角,从 B 望 C 和 A 成 75°视角, 则 BC= A.10 3 n mile C.5 2 n mile B. 10 6 n mile 3 ( )

D.5 6 n mile

答案:D

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2.如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者 在 A 的同侧,选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则 A, B 两点的距离为 A.50 2 m C.25 2 m ( ) B.50 3 m 25 2 D. m 2

解析:由正弦定理得 2 AC· sin∠ACB 50× 2 AB= = =50 2(m). sin B 1 2

答案:A
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易混淆方位角与方向角概念: 方位角是指北方向线与 目标方向线按顺时针之间的夹角, 而方向角是正北或正南 方向线与目标方向线所成的锐角.

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1.在某次测量中,在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰 角是 60°,C 点的俯角是 70°,则∠BAC=________.

答案:130°

2.若点 A 在点 C 的北偏东 30°,点 B 在点 C 的南偏 东 60°,且 AC=BC,则点 A 在点 B 的________.
答案:北偏西 15°

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(2015· 湖北高考)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正 西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方 向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75°的 方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD=________m.

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解析:由题意,在△ABC 中,∠BAC=30°, ∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°. 600 BC 又 AB=600 m,故由正弦定理得 = ,解得 BC= sin 45° sin 30° 300 2 m. 3 在 Rt△BCD 中, CD=BC· tan 30°=300 2× =100 3 答案:100 6 6(m).

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要测量电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°, 在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°,并测得水平面上的∠BCD =120°,CD=40 m,求电视塔的高度. 解:如图,设电视塔 AB 高为 x m,

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则在 Rt△ABC 中,由∠ACB=45°得 BC=x. 在 Rt△ADB 中,∠ADB=30°, 则 BD= 3x. 在△BDC 中,由余弦定理得, BD2=BC2+CD2-2BC· CD· cos 120°, 即( 3x)2=x2+402-2· x· 40· cos 120°, 解得 x=40,所以电视塔高为 40 m.

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研究测量距离问题,解决此问题的方法是:选择合适 的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形 的边长问题,从而利用正、余弦定理求解. 常见的命题角度有: (1)两点都不可到达; (2)两点不相通的距离; (3)两点间可视但有一点不可到达.
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解:∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,∠ACD=60°, ∴∠DAC=60°, 3 ∴AC=DC= (km). 2 在△BCD 中,∠DBC=45°, DC 由正弦定理,得 BC= · sin∠BDC= sin∠DBC 3 2 6 · sin 30°= . sin 45° 4
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在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos 45° 3 3 3 6 2 3 = + -2× × × = . 4 8 2 4 2 8 6 ∴AB= (km). 4 6 ∴A,B 两点间的距离为 km. 4

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解:在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos∠ACB, ∴AB2=4002+6002-2×400×600cos 60°=280 000. ∴AB=200 7 (m). 7 m.

即 A,B 两点间的距离为 200

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在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦 察艇发现在北偏东 45°方向,相距 12 n mile 的水面上, 有蓝方一艘小艇正以每小 时 10 n mile 的速度沿南偏东 75°方向前 进,若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的 速度,沿北偏东 45°+α 方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时 间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角 α 的正弦值.

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解: 如图, 设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇,
则 AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°. 根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120°, 解得 x=2. 故 AC=28,BC=20. BC AC 根据正弦定理得 = , sin α sin 120° 20sin 120° 5 3 解得 sin α= = . 28 14 5 3 所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时,角 α 的正弦值为 . 14
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如图,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方 向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原 地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南 偏西 30°、相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙 船朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cos θ 的值.

解:在△ABC 中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°, 由余弦定理得, BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos 120°=2 800?BC=20 7.
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AB BC AB 由正弦定理,得 = ?sin∠ACB=BC· sin∠ sin∠ACB sin∠BAC 21 BAC= . 7 2 7 由∠BAC =120°,知∠ACB 为锐角,则 cos∠ACB= . 7 由 θ=∠ACB+30°,得 cos θ=cos(∠ACB+30°)=cos ∠ 21 ACB cos 30°-sin∠ACBsin 30°= . 14

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