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2013届高一下学期期中联考数学试题(必修2+必修4)


2013 届高一下学期期中联考数学试题
(必修 2+必修 4)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1. 若直线 ?x ? y ? a ? ? 过圆 x? ? y ? ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为 A.1 B.-1 C.3 D.-3 )

2.设点 M 是 Z 轴上一点,且点 M 到

A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等,则点 M 的坐标是( A. (-3,-3,0) B. (0,0,-3) C. (0,-3,-3) D. (0,0,3) 3.圆 O1 : x 2+y 2 ? 2 x ? 0 和圆 O2 : x 2+y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是 A.外切 B.内切 C.相交 D.相离 4.点 B 是点 A(1,2,3) 在坐标平面 yOz 内的射影,则 OB 等于 A. 14 B. 13 C. 2 3 D. 11

5.在平面直角坐标系中,以 x 轴的非负半轴为角的始边,如果角 ? , ? 的终边分别与单位圆交于点 ?

? 12 5 ? , ?和 ? 13 13 ?

? 3 4? ? ? , ? ,那么 sin ? cos ? 等于 ? 5 5?
36 3 B. ? 65 13 19 6. sin( ? ? ) 的值等于 6 1 1 A. B .? 2 2
A. ? 7.函数 y ? tan( x ? C.

4 13

D.

48 65

C.


?

3 2

D .?

3 2

4

) 的定义域是(

A . { x | x ? R, x ?

?
4

}

C . {x | x ? R, x ? k? ?
8 将函数 y ? sin( x ?

?
4

, k ? Z}

B . { x | x ? R, x ? ? } 4 3? D . {x | x ? R, x ? k? ? , k ? Z} 4

?

?
3

) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),

再将所得的函数图象向左平移 A. y ? sin

? 个单位,最后所得到的图象对应的解析式是 3
B. y ? sin ?

1 x 2 1 2

2? ? ?1 x? ? 3 ? ?2

C. y ? sin( x ?

?
6

)

D. y ? sin(2 x ?

?
6

)

9.已知 AB ? a ? 5b , BC ? ?2a ? 8b , CD ? 3(a ? b) ,则
1

A. A、B、C 三点共线 C. B、C、D 三点共线

B. A、B、D 三点共线 D. A、C、D 三点共线

10.动点 A? x, y ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周.已知时间 t ? 0 时,点

1 3 A 的坐标是 ( , ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调递增区间是 2 2
A. ?0,1? B. ?1,7? C. ?7,12? D. ?0,1? 和 ?7,12?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡中相应的位置上.) 11.化简: AB ? AD ? CD =

??? ???? ??? ? ?

. . .

1) 12.以点 (?2, 为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为
13.已知扇形的圆心角为 72? ,半径为 20, 则扇形的面积是

14.已知两定点 A? ?2,0? , B ?1,0? ,如果动点 P 满足条件 PA ? 2 PB ,则动点 P 的轨迹所包围的图形的面积 为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.解答过程必须写在答题卡 相应题号指定的区域内,超出指定区域的答案无效) 15. (本小题满分 14 分) (1)求值: sin 270 ? 3cos180 ? 2 tan135 ? 4cos300 ;
? ? ? ?

(2)已知 ? 是第三象限的角,且 tan ? ?

4 ,求 sin ? ? cos ? 的值. 3

16. (本小题满分 12 分)

(1)求圆心在 C ?8, ?3? , 且经过点 M ? 5,1? 的圆的标准方程; (2)平面直角坐标系中有 A? 0,1? , B ? 2,1? , C ?3,4? , D ? ?1,2? 四点,这四点能否在同一个圆上?为什 么?

17. (本小题满分 12 分) 已知向量 OA, OB , O, A, B 三点不共线,如果 M 是线段 AB 的中点, 求证: OM ?

??? ??? ? ?

???? ?

? ? 1 ??? ??? OA ? OB . 2

?

?

18. (本小题满分 14 分)

2

已知函数 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

?, x ? R . 6?

(1)求使函数 f (x) 取得最大值﹑最小值的自变量 x 的集合,并分别写出最大值﹑最小值是什么; (2)函数 f ? x ? 的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为偶函数?请写出一种正确的平移方法,并说 明理由; (3)求函数 f (x) 在区间 ??

? ? ?? 上的值域. , ? 12 2 ? ?

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? Asin(?x ? ? ), ? A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ? , x ? R 的最大值是 2 ,最小 正周期为 2? ,其图像经过点 M ? (1)求 f (x) 的解析式; (2)求函数 f ? x ? 的单调减区间; (3)已知 ? ? ?

?? ? ,1? . ?2 ?

?? ? , ? ? ,且 ?2 ?

2? ? f ?? ? 3 ?

2 ? ? ? ? ,求 tan ? 2? ? ? ? 的值. 3 ?

20. (本小题满分 14 分)已知圆 C 的半径为 3 ,圆心 C 在直线 2 x ? y ? 0 上,且在 x 轴的下方, x 轴被圆 C 截得 的弦长为 2 5 . (1)求圆 C 的方程; (2) 是否存在斜率为 1 的直线 l ,使以 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点?若存在求出直线 l 的方程; 若不存在,说明理由.

参考答案
3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 B 6 A 7 D 8 C 9 B 10 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11. CB 12. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 ,或 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 13. 80?
2 2

??? ?

14. 4?

三、解答题 15. (本小题满分 14 分) 解:(1) sin 270 ? 3cos180 ? 2 tan135 ? 4cos300
? ? ? ?

? ?1 ? 3 ? ?1? ? 2 tan ?180? ? 45? ? ? 4 cos ? 360? ? 45? ? . …………… 2 分

? ?1 ? 3 ? 2 tan 45? ? 4cos 60?
? ?1 ? 3 ? 2 ? 4 ?
(2) 由

…………… 4 分 …………… 6 分 …………… 7 分 ……………9 分

1 ?2 2

sin ? 4 4 ? tan ? ? 得 sin ? ? cos ? cos ? 3 3
2 2

16 9 cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1, cos 2 ? ? 9 25 3 因为 ? 是第三象限的角,所以 cos ? ? ? …………………… 10 分; 5
代入 sin ? ? cos ? ? 1 得.

4 ? 3? 4 sin ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 5? 5
所以 sin ? ? cos ? ? ? 16. (本小题满分 12 分) 解:(1)依题意 r ? CM ?

…11 分

4 ? 3? 1 ??? ? ? ? 5 ? 5? 5

……………12 分

?5 ? 8? ? ?1 ? 3?
2

2

? 5,

……………2 分

又圆心在 C ?8, ?3? , 所以该圆的标准方程为

? x ? 8? ? x ? a?
2 2

2

? ? y ? 3? ? 25
2

……………4 分

(2)设经过 A, B, C 三点的圆的方程为

? ? y ? b? ? r2

……………5 分

把 A? 0,1? , B ? 2,1? , C ?3,4? 的坐标分别代入圆的方程得

4

? a 2 ? ? b ? 1?2 ? r 2 ? 2 2 ? 2 ? ? a ? 2 ? ? ? b ? 1? ? r ? 2 2 2 ?? a ? 3? ? ? b ? 4 ? ? r ?
解此方程组得

……………7 分

? a ?1 ? ?b?3 ?r 2 ? 5 ?

所以经过 A, B, C 三点的圆的方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 5 ……………10 分
2 2

把点 D 的坐标 ? ?1, 2? 代入上面方程的左边,得 ? ?1 ? 1? ? ? 2 ? 3? ? 5 ,所以,点 D 在经过 A, B, C 三点的圆上,
2 2

即 A, B, C , D 这四点在同一个圆上. 17. (本小题满分 12 分)

……………12 分

证法一:以 OA, OB 为邻边作 ? OANB ,连接 ON ,则 ON 过点 M 由向量加法的平行四边形法则,我们知道

……………4 分

???? ??? ??? ? ? ON ? OA ? OB

……………8 分

又∵

平行四边形的两条对角线互相平分,

???? 1 ???? 1 ??? ??? ? ? ? OA ? OB ∴OM ? ON ? 2 2

?

?

……………12 分

证法二:由向量加法的三角形法则,

???? ??? ???? ? ? ? OM ? OA ? AM ???? ??? ???? ? ? ? OM ? OB ? BM
又∵

……………4 分

M 是线段 AB 的中点 ???? ???? ? ? ? ∴ A M? B M 0 ? ???? ??? ???? ??? ???? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ∴2OM ? OA ? AM ? OB ? BM ? OA ? OB ???? 1 ??? ??? ? ? ? OA ? OB ∴OM ? 2

……………8 分

?

?

……………12 分

证法三:

???? ??? ???? ? ? ? OM ? OA ? AM
??? 1 ??? ? ? ? OA ? AB 2 ??? 1 ? ??? ? ? OA ? OB ? OA 2 ? ? 1 ??? ??? ? OA ? OB 2

……………………………………………3 分 ……………………………………………6 分

?

?

……………………………………………9 分 ……………………………………………12 分

?

?

18. (本小题满分 14 分)

5

解 (1)当 sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 1, 2 x ? ? ? 2k? , x ? ? k? , k ? z 时, 6? 6 2 3

?

?

?

f (x) 取得最大值 2,
所以,使函数 f (x) 取得最大值的自变量 x 的集合是 {x | x ? 当 sin ? 2 x ?

?
3

? k? , k ? z} ; …………2 分

? ?

??

? ? ?1, 2 x ? ? ? ? 2k? , x ? ? ? k? , k ? z 时, 6? 6 2 6

?

?

?

f (x) 取得最小值-2,
使函数 f (x) 取得最小值的自变量 x 的集合是 {x | x ? ? ( 2 ) 把 函 数 f ? x? 的 图 象 向 左 平 移 数; …………………………7 分 因为 g ( x) ? f ( x ?

?
6

? k? , k ? z} .

…………4 分

? 个 单 位 长 度 , 可 使 其 对 应 的 函 数 g ( x) 成 为 偶 函 3

?

? 个单位长度) 6 ? ? ? ? 5? ? x ? ,即 ? ? 2 x ? ? (3)因为 ? , 12 2 3 6 6
(或:函数 f ? x ? 的图象向右平移 当 2x ? 当 2x ?

? 2sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x ,所以 g ( x) 为偶函数. 2

?

) ? 2sin(2( x ? ) ? ) 3 3 6
…………………………………10 分

?

?

………………………………11 分

?
?
6

?? ?

?
3

,即 x ? ?

?
12

时, f ( x) min ? 2sin(?

?
3

) ? ? 3 ;………………12 分

?
2

6

,即 x ?

?
3

时, f ( x) max ? 2sin( ) ? 2 ;…………………………13 分

?

2

所以,函数 f (x) 在区间 ?? 19. (本小题满分 14 分) 解:(1)由题意得: A ? 2 ,

? ? ?? 上的值域是 [? 3, 2] . ……………………14 分 , ? 12 2 ? ?
……………………………………1 分 ……………………………………2 分

??

2? ? 1, T

所以 f ( x) ? 2sin( x ? ? ) ,把点 M ? 即 cos ? ?

? ?? ? ,1? 代入得: 2sin( ? ? ) ? 1 , 2 ?2 ?

1 ? ? ,又 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? , f ( x) ? 2sin( x ? ) .……………4 分 2 3 3 ? ? 3? ? 2 k? ] (2)令 z ? x ? .函数 y ? sin z 的单调递减区间是: [ ? 2k? , 3 2 2

6



?
2

? 2 k? ? x ?

?
3

?

3? ? 7? ? 2k? ,即 ? 2k? ? x ? ? 2 k? ( k ? Z ) , 2 6 6

所以函数 f ? x ? 的单调减区间是 [ (3) f ? ? ? 即 sin ? ?

?
6

? 2 k? ,

7? ? 2k? ](k ? Z ) . 6

………………8 分

? ?

2? 3

2? ? 2 ? ? ? 2sin((? ? ) ? ) ? 2sin(? ? ? ) ? ?2sin ? ? ? , 3 3 3 ?
………………10 分

1 3

又因为 ? ? ?

1 2 2 ?? ? , , ? ? ,所以 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ( )2 ? ? 3 3 ?2 ?

………12 分

1 sin ? 2 所以 tan ? 2? ? ? ? ? ? tan ? ? ? ?? 3 ? cos ? 4 2 2 ? 3
20. (本小题满分 14 分)

……………14 分

解:(1)因为圆心在直线 2 x ? y ? 0 上,且在 x 轴的下方,所以可设圆心为(a,-2a)(a>0) 半弦长,弦心距,半径构成直角三角形,由勾股定理可得 r 2 ? d 2 ? ? 长),即: 9 ? 5 ? ?2a ? a ? ?1.又 a>0,则 a=1,圆心(1,-2).
2

? MN ? ? (其中 d 是弦心距,MN 是截得的弦 ? 2 ?

2

圆 C 的标准方程是: ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 9 .
2 2

…………………4 分

(2)方法一:利用圆中的勾股定理(半径,半弦长,弦心距)解决问题. 设以 AB 为直径的圆 M 的圆心为 M(a,b), l 的斜率为 1.在圆 C 中有 kMC ? ?1. 由 C(1,-2)得

b?2 ? ?1 即 b=-a-1.(*) a ?1

……………8 分

以 AB 为直径的圆过原点.OM=AM=BM= a 2 ? b2
2 2 2 2 2 2 2 由 AM ? MC ? AC 得 a ? b ? (a ? 1) ? (b ? 2) ? 9

把(*)式代入上式,得 2a ? a ? 3 ? 0 从而 a ? ?1或a ?
2

3 2

……………12 分

3 ? ?a ? 2 ? a ? ?1 ? 或? 故? ?b ? 0 ?b ? ? 5 ? ? 2
(a,b)在直线 l :x-y+m=0 上,故 m=b-a ? m ? 1或m ? ?4
7

?l的方程为x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 4 ? 0
方法二:利用公共弦解决问题

……………14 分

设以 AB 为直径的圆 M 的圆心为 M(a,b),由圆 M 过原点,得圆 M 的半径 r1 ?

a 2 ? b 2 ,圆 M 的方程为

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r12 , 即x2 ? y 2 ? 2ax ? 2by ? 0 ①
圆 C: x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ②

……………8 分

① 得 (2 ? 2a) x ? (?4 ? 2b) y ? 4 ? 0 即 AB 的方程为 (2 ? 2a) x ? (?4 ? 2b) y ? 4 ? 0 …12 分 -② 直线 AB 的斜率为 1,设 AB:x-y+m=0 由(a,b)在直线 l 上,得 m=b-a 则 AB:x-y+b-a=0

3 ? a? a ? ?1 ? ? 2 ? 2a ?4 ? 2b 4 ? 2 ? m ? 1或m ? ?4 ? ? ? 或? 解得 ? 1 ?1 a ?b ?b ? 0 ?b ? ? 5 ? ? 2

?l的方程为x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 4 ? 0
方法三:利用韦达定理解决问题

……………14 分

l 的斜率为 1,可设 l :y=x+b,交点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
2 2 2 2

……………5 分

圆 C: x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 故 x ? ( x ? b) ? 2x ? 4( x ? b) ? 4 ? 0

即2x2 ? (2 ? 2b) x ? b2 ? 4b ? 4 ? 0 ①
? x1 ? x2 ? ?(b ? 1) ? 2 ? 韦达定理可得 x x ? b ? 4b ? 4 ? 1 2 ? 2

……………7 分

(★ )

……………9 分

以 AB 为直径的圆过原点.则

y1 y2 ? ?1即x1 x2 ? y1 y2 ? 0 x1 x2
2

…………10 分

即2x1x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b2 ? 0

把(★ )式代入得 b ? ?4b ? 4 ? b(b ? 1) ? b ? 0
2

即b2 ? 3b ? 4 ? 0 ? b ? 1或b ? ?4

……………13 分

经 检 验 : 当b ? 1或b ? ?4时, 能 使 ①式 中 的 判 别 式 大 于 0 成 立 , 所 以 b ? 1或b ? ?4 都 是 解 . 均

?l的方程为x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 4 ? 0
8

……………14 分


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