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平面解析几何知识总结


一、直线: 1、直线的斜率: k ?

y 2 ? y1 (P ( x1 ? x2 ), k ? tan? . 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ) x2 ? x1
(其中 A、B 不同时为 0).一般式化为斜截式: y ? ?

2、一般式: Ax ? By ? C ? 0 率: k ? ?

A C x ? ,即,直线的斜 B B

A . B

3、两条直线的平行和垂直: (1)若 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,有 ① l1 // l 2 ? A1 B2 ? A2 B1且A1C2 ? A2 C1 .② l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . 4、平面两点距离公式:

PP ? (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ), 1 2

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 . x 轴上两点间距离: AB ? xB ? x A .

x ? x2 ? x0 ? 1 ? ? 2 线段 P . 1P 2 的中点是 M ( x0 , y 0 ) ,则 ? y ? y 1 2 ?y ? 0 ? 2 ?
5.点到直线的距离公式:点 P( x0 , y0 ) 到直线 l:Ax ? By ? C ? 0 的距离: d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



6.两平行直线间的距离:两条平行直线 l1:Ax ? By ? C1 ? 0,l 2:Ax ? By ? C2 ? 0 距离: d ? 7.直线系方程: (1)平行直线系方程: ① 直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方程. . ② 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为 Ax ? By ? C1 ? 0 .

C1 ? C 2 A2 ? B 2



③ 过点 P( x0 , y0 ) 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为: A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 . (2)垂直直线系方程: ① 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 . ② 过点 P( x0 , y0 ) 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为: B( x ? x0 ) ? A( y ? y0 ) ? 0 . (3)定点直线系方程: ① 经过定点 P 0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 x ? x0 ),其中 k 是待定的系数. ② 经过定点 P 0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的系数. 8.曲线 C1 : f ( x, y) ? 0 与 C2 : g ( x, y) ? 0 的交点坐标 ? 方程组
1

?gf ((xx,, yy)) ?? 00

二、圆方程 (1)圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ( r ? 0 ) . (2)圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0) . 注)在圆的一般方程中,圆心坐标和半径分别是 (?

D E 1 ,? ) , r ? D 2 ? E 2 ? 4F . 2 2 2

1、圆的弦长的求法: (1)几何法:当直线和圆相交时,设弦长为 l ,弦心距为 d ,半径为 r , l 2 2 2 则: “半弦长 +弦心距 =半径 ”—— ( ) 2 ? d 2 ? r 2 ; 2

l 与圆交点分别为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) , (2) 代数法: 设 l 的斜率为 k , 则 | AB |? 1 ? k 2 | x A ? x B |? 1 ?

1 | y A ? yB | k2

(其中 | x1 ? x2 |, | y1 ? y 2 | 的求法是将直线和圆的方程联立消去 y 或 x ,利用韦达定理求解) 2.直线与圆的位置关系: 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种( d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

):

圆心到直线距离为 d ,由直线和圆联立方程组消去 x (或 y )后,所得一元二次方程的判别式为 ? .

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0
3.圆的切线方程: (1)过圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上的点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为: x0 x ? y0 y ? r 2 . (2)过圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 上的点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为: ( x ? a)(x0 ? a) ? ( y ? b)( y0 ? b) ? r 2 . (3)当点 P( x0 , y0 ) 在圆外时,可设切方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,利用圆心到直线距离等于半径, 即 d ? r ,求出 k ;或利用 ? ? 0 ,求出 k .若求得 k 只有一值,则还有一条斜率不存在的直线 x ? x0 . 4.把两圆 x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 方程相减
2 2 2 2

即得相交弦所在直线方程: ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0 . 三、求曲线方程的步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对 ( x, y ) 表示曲线上任意一点 M 的坐标; (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P ? M p ( M ) ; (3)用坐标表示条件 p( M ) ,列出方程 f ( x, y) ? 0 ; (4)化方程 f ( x, y) ? 0 为最简形式; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
2

?

?

简言之:①建系、取点 ②列式 ③代换 ④化简 ⑤证明. 四、椭圆 1、椭圆的定义可用集合语言表示为: P ? M MF1 ? MF2 ? 2a, 2a ? F1 F2

?

?

注意:当 2a ? F 1 F2 ;当 2a ? F 1F2 时,表示线段 F 1F2 时,轨迹不存在. 2、椭圆的标准方程与几何性质: 当椭圆焦点在 x 轴上时 标准 方程 当椭圆焦点在 y 轴上时

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

图形

范 围 对称轴 对称 中心 长轴、短轴

? a ? x ? a , ?b ? y ? b

? a ? y ? a , ?b ? x ? b

x 轴、 y 轴
坐标原点 O (0, 0) 长轴长 2 a ,短轴长 2b

x 轴、 y 轴
坐标原点 O (0, 0) 长轴长 2 a ,短轴长 2b

顶点坐标

(? a, 0) , (0, ?b)
(?c, 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b2

(0, ? a) , (?b, 0)
(0, ?c) ,其中 c 2 ? a 2 ? b2

焦点坐标

离心率

e?

c ( a 其中 0 ? e ? 1)

e?

c ( a 其中 0 ? e ? 1)
2 2 2

( e 可以刻画椭圆的扁平程度, e 越大,椭圆越扁, e 越小,椭圆越圆.) a ? b ? c 2.点 P 是椭圆上任一点, F 是椭圆的一个焦点,则 PF max ? a ? c , PF min ? a ? c . 3.点 P 是椭圆上任一点,当点 P 在短轴端点位置时, ?F 1PF 2 取最大值.

4.椭圆的第二定义:当平面内点 M 到一个定点 F (c,0)(c ? 0) 的距离和它到一条定直线 l : x ?
3

a2 的距离的比是 c

常数 e ?

c (0 ? e ? 1) 时,这个点的轨迹是椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数 e 是椭圆的 a

离心率. 5 直线与椭圆位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系及判定方法 位置关系 相交 相切 相离 (2)弦长公式: 设直线 y ? kx ? b 交椭圆于 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )
2 x1 ? x2 ,或 | PP 则| P 1P 2 |? 1 ? k 1 2 |? 1 ?

公共点 有两个公共点 有且只有一个公共点 无公共点

判定方法

??0
??0

??0

直线与椭圆方程首 先应消去一个未知 数得一元二次方程 的根的判别式 ?

1 y1 ? y2 (k ? 0) . k2

.椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 常用三角换元为 x ? a cos? , y ? b sin ? a 2 b2

五、双曲线 1.双曲线的定义可用集合语言表示为: P ? M MF1 ? MF2 ? 2a, 2a ? F1F2

?

?.

注意:当 2a ? F 1 、 F2 为端点的两条射线;当 2a ? F 1F2 时,表示分别以 F 1F2 时,轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程与几何性质: 当双曲线焦点在 x 轴上时 标准 方程 当双曲线焦点在 y 轴上时

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

图形

范 围 对称轴 对称 中心 实轴 虚轴 顶点 坐标

x ? ? a ,或 x ? a

y ? ? a ,或 y ? a

x 轴、 y 轴
坐标原点 O (0, 0) 实轴长 2 a ,虚轴长 2b

x 轴、 y 轴
坐标原点 O (0, 0) 实轴长 2 a ,虚轴长 2b

(? a, 0)
4

(0, ? a)

焦点 坐标 渐近线 离心率
2 2 2

(?c, 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b2
x y b ? ? 0 ,即 y ? ? x a b a c e ? ( 其中 e ? 1) a

(0, ?c) ,其中 c 2 ? a 2 ? b2
y x a ? ? 0 ,即 y ? ? x a b b c e ? ( 其中 e ? 1) a

c ? a ? b ; e 越大, (注: 双曲线的张口就越大.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线, 其离心率 e ?
3.双曲线的第二定义:当平面内点 M 到一个定点 F (c,0)(c ? 0) 的距离和它到一条定直线 l :x ? 是常数 e ?

2.

a2 的距离的比 c

c (e ? 1) 时,这个点的轨迹是双曲线,定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数 e 是 a

双曲线的离心率. 4.直线与双曲线位置关系同椭圆. 特别地,直线与双曲线有一个公共点,除相切外还有当直线与渐进线平行时, 也是一个公共点.

x2 y 2 x2 y2 ? 2 ? 1(?b2 ? ? ? a 2 ) . 5.共渐近线的双曲线可写成 2 ? 2 ? ? (? ? 0) ;共焦点的双曲线可写成 2 a b a ?? b ??
六、抛物线 抛物线的标准方程与简单几何性质: 标准 方程

y 2 ? 2 px( p ? 0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)

x2 ? 2 py( p ? 0)

x2 ? 2 py( p ? 0)

图形

焦点 坐标 准线 方程 范围 对称 性 顶点 离心 率 注意:

p ( , 0) 2 p x?? 2
x?0

(?

p , 0) 2 p x? 2
x?0

p (0, ) 2 p y?? 2

p (0, ? ) 2 p y? 2

y?0
y轴

y?0
y轴

x轴
(0, 0)
e ?1

x轴
(0, 0)
e ?1

(0, 0)
e ?1

(0, 0)
e ?1

1. p 的几何意义: p 表示焦点到准线的距离. 2 p 表示抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦).
2 2. 若点 M ( x0 , y0 ) 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上任意一点,则 MF ? x0 ? 2

p . 2

3.若过焦点的直线交抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 于 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 两点,则弦长 AB ? x1 ? x2 ? p .
5


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