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数学模型数学建模 第二次作业 微分方程实验


2 微分方程实验
1、微分方程稳定性分析 绘出下列自治系统相应的轨线,并标出随 t 增加的运动方向,确定平衡点, 并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类:

? dx ? dx ? dx ? dx ? x, ? ? ? x, ? ? y, ? ? x +1, ? ? ? dt ? dt ? dt ? dt (1) ? (2) ? (3) ? (4) ? dy dy dy ? ? y; ? ? 2 y; ? ? ?2 x; ? dy ? ?2 y. ? dt ? dt ? dt ? dt ? ? ? ?
解: (1)根据定义,代数方程组的实根即为系统的平衡点,即 P(0, 0), 利用直接法判断其稳定性。在点 P(0,0)处,系统的线性近似方程的系数矩阵为
?1 0 ? A?? ? ,解得其特征值 λ1=1,λ2=1; ?0 1 ?

p=-(λ1+λ2)=-2<0,q=λ1λ2=1>0;对照稳定性的情况表,可知平衡点(0, 0)是不稳定 的。 图形如下:

(2)根据定义,代数方程组的实根即为系统的平衡点,即 P(0, 0), 利用直接法判断其稳定性。解得其特征值 λ1=-1,λ2=2; p=-(λ1+λ2)=-1<0,q=λ1λ2=-2<0;易知平衡点(0, 0)是不稳定的。

(3)根据定义,代数方程组的实根即为系统的平衡点,即 P(0, 0), 利用直接法判断其稳定性。解得其特征值 λ1=0 + 1.4142i,λ2=0 - 1.4142i; p=-(λ1+λ2)=0,q=λ1λ2=1.4142;易知平衡点(0, 0)是不稳定的。

(4)根据定义,代数方程组的实根即为系统的平衡点,即 P(1, 0), 利用直接法判断其稳定性。解得其特征值 λ1=-1,λ2=-2; p=-(λ1+λ2)=3,q=λ1λ2=2;易知平衡点(1, 0)是稳定的。

2、种群增长模型 一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落。 设病菌的数目为 N, 单位 dN 成员的增长率为 r1,则由 Malthus 生长律有 ? r1 ? N ,但是,处于周界表面的 dt 那些病菌由于寒冷而受到损伤,它们死亡的数量与 N1/2 成比例,其比例系数为 r2,求 N 满足的微分方程.不用求解,图示其解族.方程是否有平衡解,如果有, 是否为稳定的? 解:根据题意列出 N 满足的微分方程:
1 dN ? r1 N ? r2 N 2 dt

(1)

得到其解为 N1=0, N2= r2 2 / r12 ; 由(1)得:
1 1 ? d 2N 1 2 ? (r1 ? r2 N ) ? (r1 N ? r2 N 2 ) dt 2 2

(2)

解得 N= r2 2 / 4r12 画出 N(t)的图形,即微分方程的解族,如下图所示:

可以判断出其中 N1=0 是不稳定的;N2= r2 2 / r12 是稳定的。 3、单种群开发模型
dx x ?( r 1- )x-Ex dt N 在不求解的情况下,绘出其解族曲线。(2)用数学表达式证明:在稳定状态下, r 最优捕捞率为 E*= 2

考虑单种群开发方程:

解:由本问题的目标出发,渔场中鱼量达到稳定的平衡状态时的情形,不必知道 每一时刻的鱼量变化情况, 故不需要解出方程,只需要讨论方程的平衡点并分析 其稳定性。 平衡点: 满足 F(x)=
dx x ?( r 1- )x-Ex = 0 dt N

(1)

的点称为方程的平衡点。 解得的两个平衡点为:
x0 ? N (1 ? E ) , x1 ? 0 r

容易算出两个解 E-r 和 r-E 称平衡点是稳定的是指:对方程(1)的任一个解 x ? x(t ) ,恒有
lim x(t ) ? x *
t ??

(2)

判断平衡点 x*是否稳定,可根据一阶近似方程:
dx ? F ( x )? F 'x( * x) ?(x dt *)

(3)

判断。该方程的一般解为:
x(t ) ? C ? e F ( x*)t ? x *

于是有下述结论: 若 F'(x*)<0 ,则 x*是稳定平衡点;

若 F'(x*)>0 ,则 x*不是稳定平衡点。 应用上述近似判别法,所以有 当 E<r 时, F'(x 0 )<0,F'(x1 )>0 ? x0 是稳定平衡点,x1 不是; 当 E>r 时, F'(x 0 )>0, F'(x1 )<0 ? x0 不是稳定平衡点,x1 是;
E ) , 从而获 r 得持续产量 Ex0,而当捕捞过度(即:E>r)时,渔场产量将减至 x1=0,破坏性 捕捞,从而是不可持续的。

结果分析:当捕捞适度(即:E<r)时,可使渔场产量稳定在 x0 ? N (1 ?

进一步讨论:如何控制捕捞强度 E 使得持续产量 Ex0 最大:
h( x0 ) ? Ex0 ? N (1 ? E )E r

dh 2E r ? N (1 ? ) ? 0 ? Em ? dx r 2

结论:最优捕捞率为 E * ? 4、Gompertz 模型

r 。 2

设渔场鱼量增长服从 Gompertz 模型:

dx N ? rx ln ,其中 r 为固有增长率,N dt x

为最大种群数量。若单位时间捕捞量为 h ? Ex .讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定 性,求最大持续产量 hm 及获得最大产量的捕捞强度 E m 和渔场鱼量水平 x 0 。 解: x?t ? 变化规律的数学模型为
dx?t ? N ? rx ln ? Ex dt x
*

记 (1) 令 F ?x ? ? 0 ,得 rx ln
x0 ? Ne
? E r

F ( x)?rx ln
N ? Ex ? 0 x

N ? Ex x

, x1 ? 0 . 又 F ' ?x ? ? r ln
N ? r ? E , F ' ?x0 ? ? ?r ? 0, F ' ?x1 ? ? ? . x

则有平衡点为 x 0, x1 .

推出平衡点 x o 是稳定的,而平衡点 x1 不稳定.
y
rx ln
rN e

N x

y ? Ex

y ? f ?x ?
0

N

e

x0

x

(2)最大持续产量的数学模型为:
?max h ? Ex ? N ? s.t.  rx ln ? Ex ? 0, x ? 0. ? x ?

由前面的结果可得

h?EN

E er ?

? dh EN ? r dh ? Ne r ? e ,令 ? 0. dE r dE

E

E

得到最大产量的捕捞强度 Em ? r , 从而得到最大持续产量 hm ? rN / e ,
* 此时渔场鱼量水平 x0 ?

N 。 e

5、有限资源竞争模型:

? dx1 ? x1[?a1 ? c1 (1 ? b1 x1 ? b2 x2 )] ? ? dt ? 微分方程 ? dx2 ? x2 [?a2 ? c2 (1 ? b1 x1 ? b2 x2 )] ? ? dt
是两个物种为了共同的有限资源而竞争的模型,假设 c1>a1,c2>a2。试用微分
a1 a2 a1 a2 ? ? x1 (t ) ? 0(t ? ?); c c c c2 1 2 1 方程稳定性理论分析: (1)如果 ,则 (2)如果



x2 (t ) ? 0(t ? ?);

(3)用图形分析方法来说明上述两种情况

dx ? f ( x1 ) ? 1 ? x1[?a1 ? c1 (1 ? b1 x1 ? b2 x2 )] ? 0 ? ? dt ? dx 解: (1)令 ? f ( x2 ) ? 2 ? x2 [?a2 ? c2 (1 ? b1 x1 ? b2 x2 )] ? 0 ? dt ?
c1 ? a1 c ?a ,0) ,P2(0, 2 2 ). c1b1 c2b2

得方程的平衡点为 P0(0,0) ,P1( 对平衡点 P0(0,0) , 系数矩阵 A ? ?

0 ? ?c1 ? a1 c2 ? a2 ? ? 0 ?

又 c1>a1,c2>a2 则 p=-[(c1-a1)+(c2-a2)] <0,所以该平衡点不稳定。 以此类推:

? ? a1 ? c1 c1 ? a1 对平衡点 P1( ,0) :系数矩阵 A ? ? ? c1b1 ? 0 ?

? ? ? (c1 ? a1 )c2 ? ? a1 ? c1 ? ? c1 ? ?

b2 (c1 ? a1 ) b1

c1 ? a1 ?

则 p=

a 2c1 ? a1c2 (c ? a )c ?(c1 ? a1 )[(c2 ? a2 ) ? 1 1 2 )] c1 c1 ,q= ,

a1 a2 ? 若 c1 c2 ,且假设 c1>a1,c2>a2,则 q<0 不稳定

c2 ? a2 x (t ) ? 0(t ? ?); 而对于 P2(0, c2b2 ) ,有 p>0,且 q>0 稳定,此时 1 ,说明物

种 1 最终要灭亡。
a1 a2 c1 ? a1 ? (2) 而如果 c1 c2 的情况下则方程在 P1( c1b1 ,0)稳定,其他点不稳定,

此时

x2 (t ) ? 0(t ? ?);

说明物种 2 最终会灭亡。

6、考虑 Lorenz 模型

? x1' (t ) ? ? ? x1 (t ) ? x2 (t ) x3 (t ) ? x2' (t ) ? ?? x2 (t ) ? ? x3 (t ) ? ? x ' (t ) ? ? x (t ) x (t ) ? ? x (t ) ? x (t ) 1 2 2 3 ? 3
其中 σ=10,ρ=28,β=8/3,且初值为,x1(0)=x2(0)=0,x3(0)=ε,ε 为一个 小常数,假设 ε=10-10,且 0≤t≤100。 (1)用函数 ode45 求解,并画出 x2~x1,x2~x3,x3~x1 的平面图; (2)适当地调整参数 σ,ρ,β 值,和初始值 x1(0) ,x2(0)=0,x3(0) ,重复 一的工作,看有什么现象发生。 解: 1 .建立自定义函数,在 edit 中建立―Lorenz.m‖的 M 文件.程序如下: function dy = Lorenz(~,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=10*(-y(1)+y(2)); dy(2)=28*y(1)-y(2)-y(1)*y(3); dy(3)=y(1)*y(2)-8*y(3)/3; end

2.在 edit 中建立―Lzdis.m‖的 M 文件,用来求解和绘图。程序如下: [t,y]=ode45('Lorenz',[0,30],[12,2,9]); figure(1) plot(t,y(:,1)) figure(2) plot(t,y(:,2)) figure(3) plot(t,y(:,3)) figure(4) plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) 3.运行得到如下的结果:
20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20

0

5

10

15

20

25

30

Figure(1)是 y(1) 即 x1 关于 t 的变化关系图

25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25

0

5

10

15

20

25

30

Figure(2)是 y(2) 即 x2 关于 t 的变化关系图

45 40 35 30 25 20 15 10 5

0

5

10

15

20

25

30

Figure(3)是 y(3) 即 x3 关于 t 的变化关系图

50 40 30 20 10 0 40 20 0 -20 -40 -20 -10 10 0 20

Figure(4)为)x\1\x2 x3 的空间关系图 4.验证―蝴蝶效应‖ 洛伦兹方程的解对初始值十分敏感,现对 x2 的初始值稍加修改,将 2 改为 2.01 和 1.99,让后求解 x3 的数值解。用 edit 命令建立―lzsensi.m‖的 M 文件,程序如 下: clf hold [t,u]=ode45('Lorenz',[0 15],[12,2,9]); plot(t,u(:,3),'Color','r'); [t,v]=ode45('Lorenz',[0 15],[12,2.01,9]); plot(t,v(:,3),'Color','b'); [t,w]=ode45('Lorenz',[0 15],[12,1.99,9]); plot(t,w(:,3),'Color','k'); 运行得到不同初始条件下的 x3 关于 t 的图形:

45 40 35 30 25 20 15 10 5

0

5

10

15

黑色线(k)表示初值条件为[12,1.99,9]时的 x3-t 图形 绿色线(b)表示初值条件为[12,2,9]时的 x3-t 图形 红色线(r)表示初值条件为[12,2.01,9]时的 x3-t 图形 容易看出:随着时间的推移,三条曲线的吻合程度越来越差,差距越来越大,变 化也越来越不明显,成为混沌状态。

2.3

加分实验(餐厅废物的堆肥优化问题)

一家环保餐厅用微生物将剩余的食物变成肥料。餐厅每天将剩余的食物制 成桨状物并与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料,加入真菌菌种后放入容器内。 真菌消化这此混合原料,变成肥料,由于原料充足,肥料需求旺盛,餐厅希望 增加肥料产量。由于无力购置新设备,餐厅希望用增加真菌活力的办法来加速 肥料生产.试通过分析以前肥料生产的记录(如表 2.1 所示),建立反映肥料生成机 理的数学模型,提出改善肥料生产的建议。

解:根据题意:将食物浆与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料,加入真菌菌种,在 容器内发酵转化成肥料。为了增加肥料产量,在不购买新设备的条件下,依靠增 加真菌活力的方法加速肥料的生产。实验记录给出了食物浆、蔬菜下脚、碎纸的 量,并给出了投料日期和产出日期,这样我们可以知道肥料生成的时间长短。并 且通过分析温度、湿度及投料比,确定最佳方案生产肥料。于是我们的问题可以 描述为: 1、在什么温度下生成肥料的速率最快; 2、在什么湿度下生成肥料的速率最快; 3、在什么样的投料比下生成肥料的速率最快。 为了解决上面提出问题, 需要知道肥料生成的的天数,同时计算出对应天数下 食物浆 、蔬菜下脚、碎纸之间的比例。除此之外还要建立温度和湿度的图像, 通过比较来确立最合适的生成机制。 在解决这个问题的过程中主要运用控制变量法。

通过查找资料,将以北方的温度和湿度为模版,建立温度和湿度的图像。

首先,进行模型假设: 1 将容器看作封闭的,不考虑质量的损耗。 2 以北方的温度和湿度为标准。 3 真菌的数量相同,初始活力相同。 4 容器内生化反应过程中的温度不受人为因素控制,但受外界环境的影响。 餐厅没有温度控制方面的投资。 5 反映开始前,真菌和发酵物分别储藏,不发生反应。 6 容器内的真菌分布均匀,且处于发酵的最佳状态。 7 在一定时间内,温度和湿度取平均值。

建立数学模型: 首先确立食物浆和蔬菜下脚的比例, 并以比例为横坐标, 肥料生成时间为纵坐标, 建立坐标系,做出图像。 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (食物浆/蔬菜下脚)比例 碎纸 2.77419 1.41772 3.38095 2.47561 2.82143 1.98113 8.06667 3.43750 1.86364 0.95000 1.50980 1.36842 0 0 0 0 0 0 0 0 9 6 7 6 肥料生成天数 28 27 27 26 33 36 35 47 49 49 49 49

60 50 40 30 20 10 0 0.537 1.053 0.662 0.731 0.354 0.505 0.124 0.291 0.36 0.705 0.296 0.404 天数

食物浆与蔬菜下脚比例和肥料生成天数关系

由图可以看出七八月份的产出明显要短,生成速率明显要高,增加碎纸的容 器反而分解速率更低。从图中可以看出编号为 4 的当食物浆与蔬菜下脚比例为 2.5 左右且无碎纸,时间为 7 月 27 日到 8 月 22 日时,产出时间最短,生成速率 最高,说明此时真菌的活性最大。比较编号为 5—8 组和 9—12 组可以看出,添 加碎纸的组产出时间明显增长,说明碎纸片对真菌的活力起减缓作用,因此,在 食物浆与蔬菜下脚比例为 2.5 左右且无碎纸,投料时间为七月下旬时,真菌活性 最大,所需时间最短,速度最快。 然后变换图像,使其横坐标按顺序排列:
60 50 40 30 20 10 0 0.124 0.291 0.296 0.354 0.36 0.404 0.505 0.537 0.662 0.705 0.731 1.053 天数

可以看出,在不考虑温度和湿度的情况下,当比例为 2.47561 时,产出速率 最快。

通过查找资料,找到北方的平均温度和相对湿度,并作出了图像:

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

平均温度

(摄氏度) 相对湿度 -0.4 0 3.4 8.4 13.4 18 21.5 23.5 21.3 16 9.1 2.7

百分率% 63 65 70 73 77 87 94 89 73 64 64 63

做出图像:

100 80 60 40 20 0 -20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 温度 相对湿度

与我们通常的理解相近,当处于北方夏季时,温度要高(相对湿度也高) , 用于分解食物的酶活性也高,即此时菌种的活力相对较高。 事实上,如果做出平均气温和湿度的曲线,于上面的曲线比较,也就找出了 具有一般性的最佳生成机制。 综上分析, 要想使增加肥料的产量, 必须使菌种在合理的温度和湿度条件下, 合理的搭配投料比。由我们的模型知道,当温度在 21.5~23.5 ,相对湿度在

73%~94%时,投料比为 0.40394 时肥料的生成速率最快。

一阶常微分方程初值问题 ? dy ? ? f ( x, y ) ? dx ? y( x ) ? y 0 ? 0 数值解法是近似计算中很重要的部分。 常 微 分 方 程 初 值 问 题 的 数 值 解 法 是 求 方 程 的 解 在 点 列 xn ? xn ?1 ? hn (n ? 0,1,?) 上的近似值 yn ,这里 hn 是 xn ?1 到 xn 的步长,一般略去下标 记为 h 。 常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类: (1)单步法:这类方法在计算 yn 时,只用到 xn ?1 、 xn 和 yn ,即前一步的值。 因此, 在有了初值以后就可以逐步往下计算。 典型方法如龙格–库塔 ( R ? K ) 方法。 (2 )多步法:这类方法在计算 yn ?1 时,除用到 xn ?1 、 xn 和 yn 以外,还要用
yn ? p ( p ? 1, 2,?, k ; k ? 0) ,即前面 k 步的值。典型方法如 Adams 方法。

经典的 R ? K 方法是一个四阶的方法,它的计算公式是: h ? ? yn ?1 ? yn ? 6 ( K1 ? 2 K 2 ? 2 K 3 ? K 4 ) ? ? K1 ? f ( xn , yn ) ? h h ? ? K 2 ? f ( xn ? , yn ? K1 ) 2 2 ? h h ? ? K 3 ? f ( xn ? 2 , yn ? 2 K 2 ) ? ? ? K 4 ? f ( xn ? h, yn ? hK 3 )
R ? K 方法的优点是:单步法、精度高,计算过程便于改变步长,缺点是计算量

较大,每前进一步需要计算四次函数值 f 。 数学模型具有弹性,如果有更多更全面的数据,可以找出参数,建立具有一般性 的模型公式。 模型的缺点是没有充分利用生物实验的数据来确立模型公式,再有 模型对温度和湿度的依赖性很大,也无法计算容器内部热量的产生和扩散。

利用四阶龙格-库塔方法求解微分方程的初值问题 问题 1 (1) TestRK4('ode1', 1, [0 -1], 5, inline('-x-1'))

TestRK4('ode1', 1, [0 -1], 10, inline('-x-1'))

TestRK4('ode1', 1, [0 -1], 20, inline('-x-1'))

(2) TestRK4('ode2', 1, [0 1], 5, inline('1./(x+1)'))

TestRK4('ode2', 1, [0 1], 10, inline('1./(x+1)'))

TestRK4('ode2', 1, [0 1], 20, inline('1./(x+1)'))

问题 2 (1) TestRK4('ode3', 3, [1 0], 5, inline('x.^2.*(exp(x)-x)'))

TestRK4('ode3', 3, [1 0], 10, inline('x.^2.*(exp(x)-x)'))

TestRK4('ode3', 3, [1 0], 20, inline('x.^2.*(exp(x)-x)'))

(2)

TestRK4('ode4', 3, [1 -2], 5, inline('2*x./(1-2*x)'))

TestRK4('ode4', 3, [1 -2], 10, inline('2*x./(1-2*x)'))

TestRK4('ode4', 3, [1 -2], 20, inline('2*x./(1-2*x)'))

问题 3 (1) TestRK4('ode5', 1, [0 1/3], 5, inline('x.^2+1/3*exp(-20*x)'))

TestRK4('ode5', 1, [0 1/3], 10, inline('x.^2+1/3*exp(-20*x)'))

TestRK4('ode5', 1, [0 1/3], 20, inline('x.^2+1/3*exp(-20*x)'))

(2) TestRK4('ode6', 1, [0 1], 5, inline('exp(-20*x)+sin(x)'))

TestRK4('ode6', 1, [0 1], 10, inline('exp(-20*x)+sin(x)'))

TestRK4('ode6', 1, [0 1], 20, inline('exp(-20*x)+sin(x)'))

(3) TestRK4('ode7', 1, [0 0], 5, inline('exp(x).*sin(x)'))

TestRK4('ode7', 1, [0 0], 10, inline('exp(x).*sin(x)'))

TestRK4('ode7', 1, [0 0], 20, inline('exp(x).*sin(x)'))

考虑到餐厅的实际情况,给出以下建议: 1. 增加每批处理的混合物的质量,确定合适的比例。 2. 从生物反应方面考虑,增加氧气,充分搅拌,保证容器内混合物充分反 应。 3. 调节温度,是真菌处于最佳状态。 4. 控制碎纸的量。 5. 采用循环利用也是比较好的方法。


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