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2013届闵行区高三一模数学理


闵行区 2012 学年第一学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷(理科)
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚,并填涂准考证号.选择题部分必 须使用 2B 铅笔填涂;非选择题部分使 用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写. 2.本试卷共有 23 道题,共 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 3.考试后只交答题纸,试卷由考生自己保

留.

一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 4i ( i 为虚数单位),则 z ? _________________. 2.函数 y ? log 2 (1 ? x2 ) 的定义域为 3.已知集合 A ? {a, b, c, d , e}, B ? {c, d , e, f } ,全集 U ? A ? B ,则集合 ? ( A ? B) 中元素 U 的个数为__________________. 4.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点与圆 x2 ? y 2 ? mx ? 4 ? 0 的圆心重合,则 m 的值是 . 5.已知函数 y ? g ( x) 的图像与函数 y ? 3x ? 1 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g (10) 的值 为 .

3? ? 6.若二项式 ? x 2 ? ? 展开式的各项系数的和为 64 ,则其展开式的所有二项式系数 x? ?
中最大的是 . (用数字作答)
开始

n

7. 无穷等比数列 {an } 的各项和为 3 , 2 项为 ? 第

4 , 则该数列的公比 q ? 3

i ?1, ? 0 S
.

i ? i ?1
. i≤n
否 输出 S 结束

8.某算法的程 序框图如右图,若输出的 S 的值为 62 ,则正整数 n 的值为 9.从集合 ?1,2,3,4,5? 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概 率为____________. 10. 已知定义在 (0, ) 上的函数 y ? 2(sin x ?1) 与 y ?

S ?S ?2i


?

2

8 的图像的交点为 P , P 过 3

作 PP ? x 轴 于 P , 直 线 PP 与 y ? tan x 的 图 像 交 于 点 P , 则 线 段 PP 的 长 1 1 2 1 1 2 为 .

11.已知不等式 2x ? a ? x ?1对任意 x ? [0, 2] 恒成立,则实数 a 的取值范围是



12 . 已 知 △ ABC 的 面 积 为 1 , 在 △ ABC 所 在 的 平 面 内 有 两 点 P、Q , 满 足

??? ??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? PA ? PC ? 0, QA ? QB ? QC ? BC ,则四边形 BCPQ 的面积为



n 13.如下图,对大于或等于 2 的正整数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂”(其中 m、 ? N ): 2 3 例如 7 的“分裂”中最小的数是 1 ,最大的数是 13 ;若 m 的“分裂”中最小的数是 211 ,则 . m?
*

22

32

1 3 1 3 5

23

3

5 9 11
7

24

7

33

34

9 25 27 29

72

1 3 5 7 9 11 13

14 . 已 知 函 数

f ( x) ?| x ?

1 1 | ? | x ? | , 关 于 x 的 方 程 f 2 ( x)? a f ( x)? b 0 ? x x
.

( a, b ? R )恰有 6 个不同实数解,则 a 的取值范围是

二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 已知 A, B, C , D 是空间四点, 命题甲: A, B, C , D 四点不共面, 命题乙: 直线 AC 和 BD 不相交,则甲是乙成立的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 件 [答]( )

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条

16.若向量 m, n 满足 m ? n ? 1 , m 与 n 的夹角为 60 ,则 m ? m ? n ? [答](
0

?? ?
1 2

??

?

??

?

?? ?? ?

?

?



(A)

(B)

3 2

(C) 2

(D) 1 ?

3 2

17. 已知函数 f ( x) ?| arctan( x ? 1) | , 若存在 x1 , x2 ?[a, b] , x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 且 使 立,则以下对实数 a 、 b 的描述正确的是 (A) a ? 1 (B) a ? 1 (C) b ? 1 18. 数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 1 ,an ? an ?1 ? an ? 2 ? cos 和为 Sn ,则 S2012 的值为 (A) ?672 (B) ?671 (C) 2012 [答]( (D) b ? 1 )

2n? (n ? N ? ) , 若数列 ?an ? 的前 n 项 3
[答] ( (D) 672 )

三. 解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ?

2sin x sin x ? cos x

3(sin x ? cos x) ; cos x

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 y ? f ( x ?

?

) , x ?[0, ] 的值域. 2 2

?

解:

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. 科学研究表明:一般情况下,在一节 40 分钟的课中,学生的注意力随教师讲课的时间 变化而变化。开始上课时,学生的注意力逐步增强,随后学生的注意力开始分散。经过实验 分析,得出学生的注意力指数 y 随时间 x (分钟)的变化规律为:

0? x?8 ?2 x ? 68, ? y ? f ( x) ? ? 1 2 ?? 8 ( x ? 32 x ? 480),8 ? x ? 40 ?
(1)如果学生的注意力指数不低于 80,称为“ 理想听课状态” ,则在一节 40 分钟的课中学 生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长?(精确到 1 分钟) (2)现有一道数学压轴题,教师必须持续讲解 24 分钟,为了使效果更好,要求学生的注意 力指数在这 24 分钟内的最低值达到最大,那么,教师上课后从第几分钟开始讲解这道题? (精确到 1 分钟)

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满 分 7 分,第(2)小题满分 7 分. . 已知椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,右焦点为 F ,直 4 3

y

线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 3 相切于点 Q ,且 Q 在 y 轴的右侧, 设直线 l 交椭圆 E 于不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

O F Q A B

l

x

? (1)若直线 l 的倾斜角为 ,求直线 l 的方程; 4
(2)求证: | AF | ? | AQ |? | BF | ? | BQ | . 解:

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? log a

1? x (0 ? a ? 1) . 1? x

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D ,并判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)如果当 x ? (t , a) 时, f ( x ) 的值域是 ? ??,1? ,求 a 与 t 的值; (3)对任意的 x1 , x2 ? D ,是否存在 x3 ? D ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,若存在,求出

x3 ;若不存在,请说明理由.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分.
2 设数列 {an } 的各项均为正数,前 n 项和为 Sn ,已知 4Sn ? an ? 2an ?1(n? N * ) .

(1)证明数列 {an } 是等差数列,并求其通项公式; (2)证明:对任意 m、、 ? N *, ? p ? 2k ,都有 k p m

1 1 2 ? ? ; Sm S p Sk

(3)对于(2)中的命题,对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗?如果成立,请证明你的 结论,如果不成立,请说明理由.

上海市闵行区 2013 届高三一模数学试题(理科) 参考答案与评分标准
说明: 1.本解答仅列出试题的一种或两种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解 答中的评分标准进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题 的内容和难度时, 可视影响程度决定后面部分的给分, 这时原则上不应超过后面部分应给分 数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. ? 2 2 3 一、 第 1 题至第 14 题) 1. ? 2i ; ( 2. ?1,1) ; 3. ; 4. 2 ; 5. ; ( 6. 20 ; 或a ? 5, ;

1 , ; 3 2 12. , ; 3
7. ?

8. 5 ; 13. 15 , ; 15.A;

9. , ;

2 5

10.

2 ; 4

11. a ? 2

14. (?4, ?2) , . 16.B; 17.A; 18.D.

二、 (第 15 题至第 18 题) 三、 (第 19 题至第 23 题) 19. [解] (1) f ( x) ?

2sin x 3(sin x ? cos x) ? sin2 x ? 3cos2 x ? 2sin(2 x ? ? ) ?3 分 sin x ? cos x cos x 3 所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? ???????3 分 ? ? ? 2? ) ?????????2 分 (2) y ? f ( x ? ) ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? 2 2 3 3
∵ x ?[0, ] ,∴ ?

?

2

2? 2? ? 2? 3 ? 2x ? ? , ?1 ? sin(2 x ? ) ? ????? 2 分 3 3 3 3 2
???????2 分

∴ y?[?2, 3] . 另解: y ? f ( x ?

?

) ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ? ? ) ? ?2sin(2 x ? ) ?2 分 2 2 3 3 3

?

?

?

?

∵ x ?[0, ] ,∴

?

?
3

2

? 2x ?

?
3

?

4? 3 ? ,? ? sin(2 x ? ) ? 1 ????????2 分 3 2 3
??????????2 分

∴ ?2 ? ?2sin(2 x ?

?
3

) ? 3 ,即 y?[?2, 3] .

20. [解](理) (1)由于学生的注意力指数不低于 80,即 y ? 80 当 0 ? x ? 8 时,由 2 x ? 68 ? 80 得 6 ? x ? 8 ; ????2 分

2 当 8 ? x ? 40 时,由 ? ( x ? 32 x ? 480) ? 80 得 8 ? x ? 16 ? 4 6 ;????2 分

1 8

所以 x ? ?6,16 ? 4 6 ? , 16 ? 4 6 ? 6 ? 10 ? 4 6 ? 20

?

?

故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有 20 分钟.

?????3 分

(2)设教师上课后从第 t 分钟开始讲解这道题,由于 10 ? 4 6 ? 24 所以 t ??0,6? ??????????????????????2 分

要学生的注意力指数最低值达到最大,只需 f (t ) ? f (t ? 24) 即 2t ? 68 ? ? [(t ? 24) ? 32(t ? 24) ? 480] ???????????2 分
2

1 8

解得 t ? 8 6 ? 16 ? 4

???????????????2 分

所以,教师上课后从第 4 分钟开始讲解这道题,能使学生的注意力指数最低值达到最 大. ???????????????????????????1 分

21. [解](理) (1)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,

则有

|m| ? 3 ,得 m ? ? 6 2

??????????????3 分

又切点 Q 在 y 轴的右 侧,所以 m ? ? 6 ,???????????2 分 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 6 ?????????????2 分
2 2

(2)因为 ?AOQ 为直角三角形,所以 | AQ |? OA ? OQ ?

x12 ? y12 ? 3



1 x12 y12 ? ? 1 得 | AQ |? x1 2 4 3


?????????????????2 分

| AF |? ( x1 ? 1) 2 ? y12

1 x12 y12 ? ? 1 得 | AF |? 2 ? x1 ?????2 分 2 4 3
?????2 分

所以 | AF | ? | AQ |? 2 ,同理可得 | BF | ? | BQ |? 2

所以 | AF | ? | AQ |? | BF | ? | BQ | ?????????????????1 分 22. [解](理) (1)令

1? x ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 1 , D ? ? ?1,1? ?????2 分 1? x
?1

1? x ? 1? x ? ? 1? x ? 对任意 x ? D, f (? x) ? log a ? log a ? ? ? ? loga ? ? ? ? f ( x) 1? x ? 1? x ? ? 1? x ?
所以函数 f ( x ) 是奇函数. ?????????????????????2 分 另证:对任意 x ? D, f (? x) ? f ( x) ? log a

1? x ? 1? x ? ? log a ? ? ? log a 1 ? 0 1? x ? 1? x ?

所以函数 f ( x ) 是奇函数. (2)由

?????????????2 分

1? x 2 1? x ? ?1 ? 知,函数 g ( x ) ? 在 ? ?1,1? 上单调递减, 1? x x ?1 1? x

因为 0 ? a ? 1 ,所以 f ( x ) 在 ? ?1,1? 上是增函数 ?????????2 分 又因为 x ? (t , a) 时, f ( x ) 的值域是 ? ??,1? ,所以 (t , a) ? (?1,1) 且 g ( x) ?

1? x 在 (t , a ) 的值域是 (a, ??) , 1? x 1? a ? a 且 t ? ?1 (结合 g ( x) 图像易得 t ? ?1 )?????2 分 故 g (a) ? 1? a

a 2 ? a ? 1 ? a 解得 a ? 2 ? 1( ? 2 ? 1 舍去) .
所以 a ?

2 ? 1, t ? ?1

?????????????2 分

(3)假设存在 x3 ? (?1,1) 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 即 log a

1 ? x3 1 ? x1 1 ? x2 ? log a ? log a 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3

1 ? x3 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 , log a ( ? ) ? log a ? ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3
解得 x3 ?

x1 ? x2 , 1 ? x1 x2

????? ????????3 分
2

? x ?x ? x ? x2 ? (?1,1), 即证: 1 2 ? ? 1 . 下证: x3 ? 1 ? 1 ? x1 x2 ? 1 ? x1 x2 ?
2 2 2 ? x ? x2 ? ( x ? x )2 ? (1 ? x1 x2 )2 x12 ? x2 ? 1 ? x12 x2 (1 ? x12 )(1 ? x2 ) ?1 ? 1 2 ? ?? 证明: ? 1 ? (1 ? x1 x2 ) 2 (1 ? x1 x2 ) 2 (1 ? x1 x2 ) 2 ? 1 ? x1 x2 ? 2

? x1,x2 ? (?1, ,∴ 1 ? x12 ? 0, ? x22 ? 0 , (1 ? x1 x2 )2 ? 0 1) 1
? x ?x ? ? x ?x ? (1 ? x12 )(1 ? x2 2 ) ∴ ? 0 ,即 ? 1 2 ? ? 1 ? 0 ,∴ ? 1 2 ? ? 1 2 (1 ? x1 x2 ) ? 1 ? x1 x2 ? ? 1 ? x1 x2 ?
所以存在 x3 ?
2 2

x1 ? x2 ? (?1,1) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 1 ? x1 x2
2

?????3 分

? x ? x2 ? 2 2 2 2 另证:要证明 ? 1 ? ? 1 ,即证 ( x1 ? x2 ) ? (1 ? x1 x2 ) ,也即 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 . ? 1 ? x1 x2 ?

? x1 , x2 ? (?1,1) ,∴ 1 ? x12 ? 0,1 ? x22 ? 0, ∴ (1 ? x12 )(1 ? x22 ) ? 0 ,
? x ? x2 ? ∴? 1 ? ? 1. ? 1 ? x1 x2 ?
所以存在 x3 ?
2

x1 ? x2 ? (?1,1) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 1 ? x1 x2

?????3 分

2 2 23. [解](理) (1)∵ 4Sn ? an ? 2an ?1 ,∴当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an?1 ? 2an?1 ?1 . 2 2 两式相减得 4an ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,

∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ∵ an ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 2 ,
2 又 4S1 ? a1 ? 2a1 ?1 ,∴ a1 ? 1

??????????2 分

∴ {an } 是以 a1 ? 1为首项, d ? 2 为公差的等差数列. ?????????1 分 ∴ an ? 2n ?1 ???????????????1 分

(1 ? 2n ?1)n ? n2 , 2 2 2 2 ∴ Sm ? m , k ? k , p ? p S S
(2)由(1)知 S n ?
2 2 2

??????????2 分

1 1 2 1 1 2 k ( p ? m ) ? 2m2 p2 于是 ? ? ? ? ? ? S m S p S k m2 p 2 k 2 m2 p 2 k 2 m? p 2 2 ( ) ( p ? m 2 ) ? 2m 2 p 2 2 ? , ??????????2 分 m2 p 2k 2
mp ? 2 pm ? 2m2 p 2 ? ?0 m2 p 2 k 2 1 1 2 ∴ ? ? Sm S p Sk
(3 )结论成立,证明如下:

??????????2 分 ??????????1 分
[

设等差 数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,则 S n ? na1 ? 于是 S m ? S p ? 2S k ? ma1 ?

m(m ?1) p( p ?1) d ? pa1 ? d ? [2ka1 ? k (k ? 1)d ] 2 2 m2 ? p 2 ? m ? p ? (m ? p)a1 ? d ? (2ka1 ? k 2 d ? kd ) ?????????2 分 2 (m ? p) 2 d ?0, 将 m ? p ? 2k 代入得, Sm ? S p ? 2Sk ? 4 ∴ Sm ? S p ? 2Sk ??????????2 分
又 Sm S p ?

n(a1 ? an ) n(n ?1) d? 2 2

mp(a1 ? am )(a1 ? a p ) 4

?

mp[a12 ? (am ? a p )a1 ? am a p ] 4

a ?a m? p 2 2 ) [a1 ? 2a1ak ? ( m p )2 ] 2 ? 2 4 2 k 2 (a12 ? 2a1ak ? ak ) k 2 (a1 ? ak )2 ? ? ? Sk2 4 4 Sm ? S p 2Sk 2 1 1 ∴ ? ? ? 2 ? . Sm S p Sm S p Sk Sk (

??????????2 分 ??????????1 分


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