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2.1.2-1异面直线的有关概念和原理


空间中两直线的位置关系

复习:公理1 公理1.如果一条直线上两点在一个平面 内,那么这条直线在此平面内(即这条 直线上的所有的点都在这个平面内)。 图形语言:
l
α A B

符号语言:符号表示:

A ? l , B ? l , 且A ? ? , B ? ? ? l ? ?

公理2 : 公理2.过不在同一直线上的三点,有且只 有一个平面. 图形语言:
B α A C

符号语言:

A, B, C三点不共线? 有且只有一个平面 ? 使A ?? , B ?? , C ??

公理3 :
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么 这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。

图形语言:

β

α

P

l

符号语言:

P ??且P ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l

公理2.过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.
A
α B C

推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。
A α B C

l
α

a b

推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。

推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。

确定平面的条件:
经过不共线三点

经过一条直线和直线外的一点
经过两条相交直线 经过两条平行直线
有且只有一个平面

观察实例
复习与准备:平面内两条直线的位置关系

相交直线
平行直线

a o b
平行直线 (无公共点)

a b
D
B C
立交桥

相交直线 (有一个公共点)

A
两路相交

立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行,又不相交

定义 不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。
位置关系
相交

公共点个数

是否共面

只有一个

共面

平行
异面

没有
没有

共面
不共面

空间线线位置关系 空间两条直线的位置关系: ⑴ 相交直线 —— ⑵ 平行直线 —— 有且仅有一个公共点; 在同一个平面内,没有 公共点; 不同在任何一个平面内, 没有公共点

⑶ 异面直线 ——

异面直线的画法: 通常用一个或两个平面来衬托,异面直线 不同在任何一个平面的特点
a
?
a
b

b

?

b

A

?

?

a

如图所示:正方体的棱所在 的直线中,与直线A1B异面的 有哪些? 答案: D1 C1
A1 B1 D A B C

D1C1、C1C、CD

D1D、 AD、 B1C1

如:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB 与哪些棱是异面直线,为什么 具有这样的关系?
A1 D1 B1

C1

D A B

C

你知道寻找异面直线的方法了吗?

探究:
G

C

A A H G(C) F E

D H E

B

D F(B)

AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异 面直线的有几对?相交直线有几对?平行直 线有几对?

二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性 若a∥b,b∥c,则a//c
D1 A1 C1

探究:在正方体ABCD—A1B1C1D1 中,直线 AB与C1D1 ,AD1与 BC1 是什么位置关系?为什么?

B1

D

C B

A

例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的 空间四边形,E,F,G,H分别是AB,BC,CD, DA的中点,连结EF,FG,GH,HE,求证 EFGH是一个平行四边形。 A 证明: 连结BD 解题思想: ∵ EH是△ABD的中位线 H 把所要解的立体几何问题转化为平面几何 1 E ∴EH 的问题 ∥BD且EH = 2 BD
1 同理,FG ∥BD且FG = 2 BD ——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。

D

G

∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形

B

F

C

变式:如果再加上条件AC=BD,那么四 A 边形EFGH是什么图形?
H

E
D G

B

F

C

2、等角定理
A1 B1 D

D1

C1

空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个 角相等或互补。
C

A

B

观察正方体ABCD ? A1B1C1D1 ?ADC与?A1D1C1,?ADC与?A1B1C1
的两边怎样的位置关系,大小如何?

三、两条异面直线所成的角
任选 如图所示,a,b是两条异面直线,在空间中任选一点O, 则这两条线所成 过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, 称为异面直线a,b所成的角。 的锐角θ (或直角), b a′ ? O P a b′

a′

θ

O

平 移

若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ 的取值范围:

(0?, ?] 90

探究:

1、在右图正方体中, (1)有没有两条棱所在直线是互相垂直的异面直线? (2)如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直, 那么,另一条是否也与这条直线垂直? (3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?
D1

A1

B1

C1

D A B

C

典型例题

例3、如图表示一个正方体
(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA1 成异面直线 (2)求直线BA1与CC1的夹角 的度数
(3)哪些棱所在的直线与直 线AA1垂直 A

D1
A1 D B1

C1

C B

练习题1、 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线 段所成的角:
D1 C1
B1

1)AB与CC1; 3)A1B与D1B1。

2)A1 B1与AC;

A1

1)AB与CC1所成的角 = 9 0°

D A B

C

2)A1 B1与AC所成的角= 4 5°
3)A1B与D1B1所成的角 = 6 0°

练习:2、求直线AD1与B1C所成的夹角; 3、与直线BB1垂直的棱有多少条?

D1

C1
B1

2)直线AD1与B1C所成的夹角 9 0° 3)与棱BB1垂直的棱有: 相交: A1B1、 AB、B1C1、BC、

A1

D A B

C

异面: A1D1、AD、D1C1、 DC、
A1 相交垂直 垂直 异面垂直 A

D1 B1

C1

D B

C

填空: 平行 相交 1、空间两条不重合的直线的位置关系有________、 ________、 异面 ________三种。 平行 2、没有公共点的两条直线可能是________直线,也有可能是 异面 ________直线。 3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 相交、异面 有______________。

判断对错:
1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。(? ) 2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。 (? )

3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。

( ?)

4、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定 与另一条直线垂直。 (? )

请完成课本P48 的练习

珍惜时间,尽力而为, 1、空间中两直线的位置关系

今天所讲的知识你学会了吗?
2、空间直线的平行关系及相关定理 如果你学会了,请完成下列作业! 3、异面直线的定义及两条异面直线所 成的角

祝愿所有的同学学习愉快!
作业:
1.P51 A组 1-3 B组 1 (做在书上) 2.P51 A组 6(做在作业本上)

如果你还没学会,请通过下列作业 把它学会!


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