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两个平面平行的判定和性质(一)


两个平面平行的判定和性质(一)
●教学目标 (一)教学知识点 1.两个平面的位置关系. 2.两个平面平行的判定方法. (二)能力训练要求 1.等价转化思想在解决问题中的运用. 2.通过问题解决提高空间想象能力. (三)德育渗透目标 1.渗透问题相对论观点. 2.通过问题的证明寻求事物的统一性. ●教学重点 两个平面的位置关系;两个平面平行的判定.

●教学难点 判定定理、例题的证明.

●教学方法 启发式 在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程. 平面的位置关系也需以实物(教室)为例,启发诱思完成. 通过师生互议,解决例 1 问题. ●教具准备 投影片两张 第一张:(记作§ 9.5.1 A)

第二张:(记作§ 9.5.1 B)

●教学过程

Ⅰ.复习回顾 师生共同复习回顾,线面垂直定义,判定定理. 性质定理:归纳小结线面距离问题求解方法,以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题. 立体几何的问题解决:一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题;二是数学思想方法怎样得到充 分利用、渗透,这些都需在实践中进一步体会. 下面继续研究面面位置关系.

Ⅱ.讲授新课 1.两个平面的位置关系 除教材上例子外,我们以所在教室为例,观察面与面之间关系. [师]观察教室前、后两个面,左、右两个面及上、下两个面都是平行的,而其相邻两个面是相交的. [师]打开教材竖直放在桌上,其间有许多个面,它们共同点是都经过一条直线. 观察教室的门与其所在墙面关系,随着门的开启,门所在面与墙面始终有一条公共线. 结合生观察教室的结论,引导其寻找平面公共点,然后给出定义. 定义:如果两个平面没有公共点,我们就说这两个平面互相平行. 如果两个平面有公共点,它们相交于一条公共直线. 两个平面的位置关系只有两种: (1)两个平面平行——没有公共点; (2)两个平面相交——有一条公共直线. [师]两个平面平行,如平面?和平面?平行,记作?∥?. 下面给出两个示意图,同学们考虑哪个较直观?

[生]图(1)较直观,图(2)不直观. [师]从以上两种画法,告诉我们画图过程中应注意什么?图(2)为何不直观?

[生]画两个平面平行时,要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行,图(2)不直观的理由是表 示平面的平行四边形对应边不平行,其画法不恰当. [师]现在给出两个相交平面的画法(师生互动): (1)先画表示两个平面的平行四边形的相交两边. (2)再画出表示两个平面相交的线段. (3)过线段的端点分别引线段,使它平行且等于(2)中线段. (4)画出表示两个平行平面的平行四边形的第四边.

(被遮住部分的线,可以用虚线,也可以不画.) 2.两个平面平行的判定 判定两个平面平行可依定义,看它们的公共点如何. [师]由两个平面平行的定义可知:其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行.这是因为 在这些直线中,如果有一条直线和另一平面有公共点,这点也必是这两个平面的公共点,那么这两个平面 就不可能平行了. 另一方面,若一个平面内所有直线都和另一个平面平行,那么这两个平面平行,否则,这两个平面有 公共点,那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面. 由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题,但事实上判定两 个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面, 到底要多少条直线(且直线与直线应具 备什么位置关系)与另一面平行,才能判定两个平面平行呢? 下面我们共同学习定理. 两个平面平行的判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

[师]以上是两个平面平行的文字语言,另外定理的符号语言为: 若 a ? ?,b ? ?,a∩b=A,且 a∥??,b∥??,则?∥?. 利用判定定理证明两个平面平行,必须具备: ①有两条直线平行于另一个平面; ②这两条直线必须相交. 定理的证明 § 9.5.1 A

已知:在平面?内,有两条相交直线 a、b 和平面?平行.求证:?∥?. [师]从平行平面的定义可知,要证?∥?,需证?、?无公共点,而要证明两面无公共点,这是困难的 事. 由此启发我们去寻求另外途径. 联想面面位置关系,利用反证法,经学生思考试着完成证明过程,证明过程实质上就是设法否定两面 相交的过程. [生]假设两面相交,设法推出矛盾,注意等价转化思想渗透. 证明过程如下: 证明:假设?∩?=c, ∵ ∴ a∥?,a ? ?, a∥c(线面平行 ? 线线平行). 同理 b∥c. ∴ a∥b.

这与题设 a、b 是相交直线相矛盾. ∴

?∥?.

[师]再从转化的角度认识该定理就是:线线相交、线面平行 ? 面面平行. [生]在判断一个平面是否水平时,把水准器在这个平面内交叉地放两次,如果水准器的气泡都是居 中的,就可以判定这个平面和水平面平行,实质上正是利用了面面平行的判定定理. (例题解析) [例 1]求证:垂直于同一直线的两个平面平行. 已知:?⊥AA′,?⊥AA′, 求证:?∥?.

(§ 9.5.1 B)

分析:要证两个平面平行,需设法证明一面内有两相交线与另一面平行,那么由题如何找出这两条线 成为关键. 如果这样的线能找到问题也就解决啦. 诱导学生思考怎样找线. [生]通过作图完成找线,利用转化解决问题,证明如下: 证明:设经过 AA′的两个平面 r、?分别与平面?、?相交于直线 a、a′和 b、b′. ∵ ∴ AA′⊥?,AA′⊥?. AA′⊥a,AA′⊥a′. 又 a ? ?,a′ ? ?, ∴ a∥a′,于是 a′∥? 同理可证 b′∥? 又 a′∩b′=A′ ∴

?∥?.

[师]这是一个重要的结论,主要用来判断空间的直线与平面具备条件:两个平面垂直于同一直线, 则应有这两个平面平行.用符号语言就可以表示为: l⊥?,l⊥? ? ?∥?. 此题也告诉我们,空间的两个平面平行,其判定方法: 1° 定义;2° 判定定理;3° 例 1 结论.

Ⅲ.课堂练习 (一)课本 P32 练习 1.(1)、(4). 1.判断下列命题的真假,对真命题给出证明,对假命题举出反例. (1)m ? ?,n ? ?,m∥?,n∥? ? ?∥?; (4)?内的任一直线都平行于? ? ?∥?. 解: (1)这是一个假命题. 如黑板的上、下两边平行于地面,但黑板所在平面与地面是相交的位置关系. (4)这是一个真命题. 在平面?内任取两相交直线 a、b. 则由题 a∥?,b∥?, 那么?∥?. [前一个题是解决立体几何问题常用做法,判断一个命题为假,则需举一个反例说明即可. 而判断一个命题为真,则要有理有据地证明.] (二)课本 P32 习题 1,2.

1.在立体图 ABC-A′B′C′中,如果在平面 AB′内∠1+∠2=180° ,在平面 BC′内∠3+∠4=180° ,那 么平面 ABC 和 A′B′C′有什么关系?为什么?

[此题应实现两个转化: 一是角的关系转化成线的平行; 二是线的平行转化成面的平行.] 解:平面 ABC∥平面 A′B′C′.证明如下: 因在平面 ABB′A′内∠1+∠2=180° , 则有 A′B′∥AB,A′B′∥面 ABC. 又在平面 BCC′B′内,∠3+∠4=180° , 则有 B′C′∥BC,B′C′∥面 ABC. 又 A′B′∩B ′C′=B′,A′B′ ? 面 A′B′C′, B′C′ ? 面 A′B′C′, 那么面 A′B′C′∥面 ABC. 2.在立体图 ABC-A′B′C′中,如果∠ABB′=∠A′B′B=∠CBB′=∠C′B′B=90° ,那么平面 ABC 与面 A′B′C′ 有什么关系?为什么?

[此题解决方法同上,利用等价转化解决问题. 一是将角的关系转化为线线垂直,二是将线线垂直转化为线面垂直,线面垂直转化为面面平行.] 解:面 ABC∥面 A′B′C′,证明如下: 因∠ABB′=∠A′B′B=∠CBB′=∠C′B′B=90° 则 AB⊥BB′,BC⊥BB′,A′B′⊥BB′,B′C′⊥BB′ 那么有面 ABC⊥BB′,面 A′B′C′⊥BB′ 故面 ABC∥面 A′B′C′.

Ⅳ.课时小结 本节课主要研究如何证明两个平面平行.其途径可以选择从公共点的角度考虑.但要说明两面没有公 共点,是比较困难的,而要用定理判定的话,关键是线应具备“相交”、“平行”要求.例 1 也可作为结论直 接运用.

Ⅴ.课后作业

(一)课本 P33

习题 3、4、5.

3.判断下列命题的真假,对真命题给出证明,对假命题举出反例(画出草图). (1)平行于同一直线的两平面平行; (2)平行于同一平面的两平面平行.

解: (1)是假命题. 平行于同一直线 a 的两面?、?可以相交. (2)是真命题.

证:作 l⊥?则由题 l⊥?,l⊥?,故?∥?. 4.(1)如图,A、B、C 为不在同一直线上的三点,AA′ BB′ CC′.求证:平面 ABC∥平面 A′B′C′.

证明:因 AA′

BB′,

所以有 ABB′A′是平行四边形. 那么 A′B′∥AB. 同理 A′C′∥AC,又 AB∩AC=A,A′B′∩A′C′=A′, 故面 ABC∥面 A′B′C′. [该问题所给图实质上就是三棱柱,上、下两底面平行.] (2)如图, 直线 AA′、 BB′、 CC′交于点 O, AO=A′O, BO=B′O, CO=C′O, 求证: 平面 ABC∥平面 A′B′C′.

证明:因 AA′与 CC′相交于 O, ∴ ∠AOC=∠A′OC′. 又 AO=A′O, CO=C′O, 故△OAC≌△OA′C′. 则∠C′AO=∠CAO, 即 AC∥A′C′. 那么 AC∥面 A′B′C′. 同理 AB∥面 A′B′C′. 故平面 ABC∥平面 A′B′C′. [此题的图形是两个棱锥拼成的,注意其结构,证明中主要渗透等价转化思想.] 5.求证:经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行. 证明:经过平面外一点 P 作 l⊥?, 经过点 P 作平面?,使 l⊥?,则?∥?. 因经点 P 且与?平行的平面必与?的垂线 l 也垂直. 而过点 P 与 l 垂直的平面是唯一的, 所以过点 P 且与?平行的平面只有一个. [这是一个唯一性命题的证明,注意证明过程每步依据.] (二)1.预习内容课本 P31 3.两个平面平行的性质. 2.预习提纲 (1)两个平面平行后具有什么性质? (2)试利用转化的思想归纳小结. ●板书设计 § 9.5.1 两个平面平行的判定和性质(一) 1.两个平面的位置关系 2.两个平面平行的判定 例题的结论 练习 小结 作业

●备课资料

一、空间的两个平面位置关系 [例 1]已知平面?平行平面?,若两条直线 m、n 分别在平面?、?内,则 m、n 关系不可能是( A.平行 C.异面 故该两线平行或异面. 答案:B [注意题中是“不可能”] [例 2]平面??内两线 a、b 都平行于??,则??与??的关系( ) A.平行 C.重合 B.相交 D.不确定 B.相交 D.平行或异面 )

解析:从公共点的角度分析可知,m、n 所在平面平行,则两面无公共点,那么两线也应无公共点,

解析:当两线相交时,?∥?,当两线平行时?∥??或??与??相交. 答案:D [例 3]平面 M∥平面 N 的充分条件是( A.直线 a ? M,且 a∥N B.直线 a ? M,b ? M,a∥N,b∥N C.平面 M 内有无数条直线平行于 N D.平面 M 内任何一条都平行于 N 解析:两个平面平行,一个平面内要有两条相交线与另一平面平行,而满足条件的只有 D. 答案: D 其他的可举反例一一排除. )

二、判定两面平行 判定两个平面是否平行,可从以下角度思考. (1)面面平行定义. 两个平面没有公共点. (2)面面平行的判定定理. 如果一个平面内有两条相交线都平行于另一平面,那么这两个平面平行.(线面平行 ? 面面平行) (3)垂直于同一直线的两面平行. (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个面平行. [(5)一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面内的两条相交线,那么这两个平面平行.(线线 平行 ? 面面平行)] [例 4]如图,在空间六边形(六个顶点没有任何五点共面)ABCC1D1A1 中,每相邻的两边互相垂直, 边长均等于 a,并且 AA1∥CC1.证明平面 A1BC1∥平面 ACD1.

分析:空间四边形问题的解决是将其转化为一三棱锥问题而解决的,那么空间六边形可转化哪种几何 体,这是解决该问题的关键所在,通过两条边边长均等于 a,两线成角为 90° ,两个平行及垂直关系解决问 题. 解决问题的主要思想就是等价转化,将问题转化为一个正方体中两面平行,这就容易多了.

证明:在面 ABC 内分别经 A、C 作 AB 及 BC 的平行线相交于 D,在面 A1D1C1 内作 D1C1 及 D1A1 的平 行线相交于 B1,顺次相连 BB1、DD1. 那么由相邻两边垂直及边长均为 a 可知构造几何体为正方体. 因 AC∥A1C1,BC1∥AD1, ∴ 面 A1BC1∥面 ACD1.


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