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2012届湖北省荆州中学高三第一次质量检查(2011.08)数学(文)卷


荆州中学 2012 届高三第一次质量检查 数 学 试 卷(文科卷)
一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分 在每小题给出的四个选项中,有且 只有一个是正确的) 1.已知集合 M ? ?0,1, 2? , N ? ? x | x ? 2a, a ? M ? ,则集合 M ? N ? ( ) A.{0,1} B.{0,2}
x
<

br />C.{1,2}

D.{0}

2.若点( a ,9)在函数 y ? 3 的图像上,则 tan

a? 的值为( ) 6
D. 3

A.0 3.若函数 f ( x) ?

B.

3 3

C.1

? ,则函数 f ( x) 的定义域为( ) log ? (? x ??)
?

A. ( ?

? , ?) ?

B. ( ?

? , ?] ?

C. (? , ??)

? ?

D. (?, ??)

4. 设 函 数 f ( x)? s i ? ( x? ? ?) n

c ? s ( ? ? ?( o x? )

? ? 0, 的最小正周期为 ? ,且 ? )
2

f (? x)? f ( x,则( ) )
A. f ( x) 在 ? 0,

? ?? ? 单调递减 ? 2?

B. f ( x) 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递减 ?

C. f ( x) 在 ? 0,

? ?? ? 单调递增 ? 2?

D. f ( x) 在 ?

? ? 3? ? , ? 单调递增 ?4 4 ?

5.设 a ? log 1
3

1 2 4 , b ? log 1 , c ? log 3 , 则a, b, c 的大小关系是( ) 2 3 3 3
B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. b ? c ? a

A. a ? b ? c

? ? ? 6.根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 f ( x ) ? ? ? ? ?

c ,x ? A x , c ,x ? A A

(A, c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟,那 么 c 和 A 的值分别是( ) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16

?( 1 ) x ? 8( x ? 0) ? 7.设函数 f ( x ) ? ? 3 ,若 f(a)>1,则实数 a 的取值范围是( ) ? x ( x ? 0) ?
A. (?2,1) B. ( ??, ?2) ∪ (1, ??)
x ?x

C.(1,+∞)

D. ( ??, ?1) ∪(0,+∞)

8.若函数 f ( x) ? ? k ? 1? a ? a

? a ? 0且a ? 1? 在

R 上既是奇函数,又是减函数,则函数

g ( x) ? log a ? x ? k ? 的图像是( )

9.已知函数 f ( x) ? e ? 1, g ( x) ? ? x ? 4 x ? 3 , 若有 f (a) ? g (b) , b 的取值范围为 则 ( )
x 2

A. ? 2 ? 2, 2 ? 2 ?

?

?

B. (2 ? 2, 2 ? 2) D. ?1, 3 ?

C. ?1, 3?

10.设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A, B 两点,左焦点在以 AB 为直径的圆内,则该双 曲线的离心率的取值范围为( )

A. (0, 2)

B. (1, 2)

C. (

2 ,1) 2

D. ( 2 , ?? )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在答题卷相应位置上. 11.已知 f ( x) 为奇函数, g ( x) ? f ( x) ? 9, g (?2) ? 3, 则f (2) ? .

12.双曲线 是

x 2 y2 ? =1上一点P到双曲线右焦点的距离是4,那么点 P 到左准线的距离 64 36
.
2 2

13.已知关于 x 的方程 x -(2 m-8)x + m -16 = 0 的两个实根 x1、x2 满足 则实数 m 的取值范围_______________. 14.设函数 f ( x) ? cos ? x(?>0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 像与原图像重合,则 ? 的最小值等于

x <3< x , 2
1 2

? 个单位长度后,所得的图 3
2

15.若函数 y ? f ( x) ( x ? R )满足 f ( x ? 2) ? f ( x) 且 x ?[?1,1] 时, f ( x) ? 1 ? x ,函数

?lg x (x ? 0) ? ,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5 , 5] 内零点的个数有___ 个 g ( x) ? ? 1 ?? x ( x ? 0) ?
三、解答题:本大题共 6 小题,共计 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
a
2

16.(1)先化简,再求值: (1)

b

3

a b
2

,其中 a ? 256, b ? 2011 ;

b

a

(2)化简:

sin(540 0 ? x) 1 cos(360 0 ? x) ? ? sin(? x) tan(900 0 ? x) tan(450 0 ? x) tan(810 0 ? x)

17 .已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x ? 2 3 sin x cos x ? 1 .
2 2

(1)求 f (x) 的最小正周期及 f (x) 的最小值; (2)若 f (? ) ? 2 ,且 ? ? ?

?? ? ? ,求 ? 的值. , ?4 2? ?

18.某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正比, 其关系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润与投资 单位是万元) (1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式。 (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样分配 这 10 万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元。 (精确到 1 万元) 。

19.已知函数 f ( x) ? lg( x ?

a ? 2) ,其中 a 是大于 0 的常数 x (1) 求函数 f (x) 的定义域; (2) 当 a ? (1,4) 时,求函数 f (x) 在[2, ??) 上的最小值; (3) 若对任意 x ? [2,??) 恒有 f ( x) ? 0 ,试确定 a 的取值范围

20. 已 知 过 抛 物 线 y ? 2 px? p ? 0? 的 焦 点 , 斜 率 为 2 2 的 直 线 交 抛 物 线 于
2

A ? x1 , y2 ? , B ? x2 , y2 ? ( x1 ? x2 )两点,且 AB ? 9 .
(1)求该抛物线的方程; (2) O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若 OC ? OA ? ? OB ,求 ? 的值

21.设关于 x 的函数 f ( x) ? mx ? (2m ? 4m ? 1) x ? (m ? 2) ln x ,其中 m 为 R 上的常数,
2 2

若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 0 . (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f ( x) 的图像与直线 y ? k 有两个交点,求实数 k 的取值范围; (3)设函数 g ( x) ? ( p ? 2) x ? 立,求实数 p 的取值范围.

p?2 2 ,若对任意的 x ? [1, 2] , 2 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ? 2 x 恒成 x

数学(文)参考答案
一、选择题 1.B 2. D 3. A 4. A 5. B 6. D 二、填空题 11. 6 12. 16 13. . {m | ? 1 ? m ? 7}
2 2

7. B 8. A 9. B 10. B 14. ?min ? 6

15. 8

三、解答题

1

16. 解:(1) 原式= {

a

2

[

b

3

(

a
2

1 2

1 2

1 2

) ] } ?{

a

2

[

b

3

?

a2 b

1 2

1 8

] }2 ?

a ? 128
7

b

a b

b

a

(2)解:原式 ?

sin(1800 ? x) 1 cos x ? ? 0 0 tan(? x) tan(90 ? x) tan(90 ? x) sin(? x)

?

sin x 1 ? tan x ? tan x(? ) ? sin x ? tan x tan x
2 2

17. 解: (1) f ( x) ? cos x ? sin x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? = 2 sin(2 x ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1

?
6

) ?1.

因此 f (x) 的最小正周期为 ? ,最小值为 ? 1. (2) 由 f (? ) ? 2 得 2sin(2? ? 而由 ? ? ? 故 2? ?

?

? 1 ) ? 1 =2,即 sin(2? ? ) ? . 6 6 2

? ?2 7 ? ?? ? ? , ? 得 2? ? ? ? ? , ? ? . 6 ?3 6 ? ?4 2?

?

5 ? ?. 6 6

解得 ? ?

?
3

.

18. (1)投资为 x 万元,A 产品的利润为 f (x) 万元,B 产品的利润为 g (x) 万元, 由题设 f (x) = k1 ? x , g (x) = k 2 ? x , .

1 1 5 5 ? k1 ? ,又 g (4) ? ? k 2 ? 4 4 2 4 1 5 从而 f (x) = x, ( x ? 0) , g (x) = x , ( x ? 0) 4 4 (2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10- x 万元,设企业的利润为 y 万元 x 5 Y= f (x) + g (10 ? x) = ? ( , 10 ? x , 0 ? x ? 10 ) 4 4
由图知 f (1) ? 令 10 ? x ? t , 则y ? 当t ?

10 ? t 2 5 1 5 25 ? t ? ? (t ? ) 2 ? , (0 ? t ? 10 ), 4 4 4 2 16

?当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,企业获得最大利润约为 4 万
元。
x 2 ? 2x ? a a ?0 ? 2 ? 0 得, x x 解得 a ? 1 时,定义域为 (0,??) , a ? 1 时,定义域为 {x | x ? 0 且 x ? 1}

25 5 , y max ? 4 ,此时 x ? 10 ? =3.75 4 2

19. 解(1) 由 x ?

0 ? a ? 1 时,定义域为 {x | 0 ? x ? 1 ? 1 ? a 或 x ? 1 ? 1 ? a }

(2) 设 g ( x) ? x ? 则 g ?( x) ? 1 ?

a ? 2 ,当 a ? (1,4) , x ?[2,??) 时 x

a x2 ? a a ? ? 0 恒成立,∴ g ( x) ? x ? ? 2 在 [2,??) 上是增函数 x x2 x2 a ∴ f ( x) ? lg( x ? ? 2) 在 [2,??) 上是增函数 x

a a ? 2) 在 [2,??) 上的最小值为 f (2) ? lg x 2 (3) 对任意 x ? [2,??) 恒有 f ( x) ? 0 ,

∴ f ( x) ? lg( x ?

即x?

a ? 2 ? 1 对 x ?[2,??) 恒成立 x

3 9 ∴ a ? 3x ? x 2 ,而 h( x) ? 3x ? x 2 ? ?( x ? ) 2 ? 在 x ?[2,??) 上是减函数 2 4

∴ h( x) max ? h(2) ? 2 ,∴ a ? 2 20. 解: (1)直线 AB 的方程是 y ? 2 2( x ?

p ), 与 y 2 ? 2 px 联立,从而有 2

4 x 2 ? 5 px ? p 2 ? 0.
所以: x1 ? x2 ?

5p ,由抛物线定义得: AB ? x1 ? x2 ? p ? 9 ,所以 p=4, 4
2

抛物线方程为: y ? 8 x (2) 由 p=4, 4 x ? 5 px ? p ? 0 化简得 x ? 5x ? 4 ? 0 ,从而 x1 ? 1, x2 ? 4,
2 2

2

y1 ? ?2 2 , y2 ? 4 2 ,从而 A:(1, ? 2 2 ),B(4, 4 2 )
设 OC ? ( x3, y3 ) ? (1,?2 2 ) ? ? (4,4 2 ) = (1 ? 4? ,?2 2 ? 4 2? ) , 又 y3 ? 8x3 , 即
2

?

?2

2 ?2? ? 1? ? 8(4 ? ? 1) (2? ? 1) 2 ? 4? ? 1 ,解得 ? ? 0, 或? ? 2 ,即
2

?

21. 解:(1) f ?( x) ? 2mx ? (2m2 ? 4m ? 1) ? 因为函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 0 所以, ?

m ? 2 (2mx ? 1)[ x ? (m ? 2)] ? x x

? f ?(1) ? 2m ? (2m 2 ? 4m ? 1) ? m ? 2 ? ?2m 2 ? m ? 1 ? 0 ? 解 m ? ?1 2 2 ? f (1) ? m ? (2m ? 4m ? 1) ? ?2m ? 3m ? 1 ? 0 ?

(2)由(Ⅰ)知 f ?( x) ?

(?2 x ? 1)( x ?1) 1 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? ? (舍去) x 2

在 (0,1) 上函数 f ( x) 单调递增,在 (1, ??) 上函数 f ( x) 单调递减 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递 减,所以,当 x ? 1 时,函数 f ( x) 取得最大值, f (1) ? ln1 ? 1 ? 1 ? 0
2

当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1), 即 f ( x) ? 0 所以,当 k ? 0 时,函数 f ( x) 的图象与直线 y ? k 有两个交点, (3)设 F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ? 2 x 2 ? 2ln x ? px ?

p?2 x

2 p ? 2 ? px 2 ? 2 x ? ( p ? 2) F ( x) ? ? p ? 2 ? x x x2
'

当 p ? 0 时, F ' ( x) ?

2x ? 2 (舍) ? 0 , F ( x) 在 [1, 2] 递增, F (1) ? ?2 ? 0 不成立, x2
p?2 ) p

? p( x ? 1)( x ?
当 p ? 0 时 F ' ( x) ? 当1 ?

x2

2 ? ?1 ,即 ?1 ? p ? 0 时, F ( x) 在 [1, 2] 递增, F (1) ? ?2 p ? 2 ? 0 ,不成立 p 2 ? 1 ,即 p ? ?1 时, F ( x) 在 [1, 递增,所以 F (1) ? ?2 p ? 2 ? 0 ,解得 2] p

当 ?1 ? 1 ?

p ? ?1 ,所以,此时 p ? ?1
当 p ? ?1 时, F ( x) 在 [1, 递增,成立; 2] 当 p ? 0 时, F (1) ? ?2 p ? 2 ? 0 不成立 , 综上, p ? ?1


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