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正弦函数余弦函数的图像


1.4.1正弦函数、余弦函数的图像

授课人:魏同花

物理中把简谐运动的图像叫做“正弦曲线” 物理中把简谐运动的图像叫做“正弦曲线”或“余弦曲 线”
沙漏单摆实验

知识探究:正弦函数y=sinx y=sinx的图象 知识探究:正弦函数y=sinx的图象

思考1 作函数图象最原始的方法是什么? 思考1:作函数图象最原始的方法是什么?
答:列表、描点、连线 列表、描点、

7π 4π 3π 5π 11 π 让 取 , , , , , ,π, , , , , , 2π等值来列表 x 0 6 3 2 3 6 6 3 2 3 6
x sinx
0

思考2 用描点法作正弦函数y=sinx在[0, 思考2:用描点法作正弦函数y=sinx在[0, y=sinx 2π]内的图象 可取哪些点? 内的图象, 2π]内的图象,可取哪些点?
π π π 2π 5π
π
6

π
3

π
2

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11 π 6



sin a ,cos a , tan a 的几何意义是什么?
y
T

1

P
A

正弦线MP sinα=MP α 余弦线OM cosα=OM α

o

M

1

x

正切线AT tanα=AT α

既然作与单位圆有关的三角函数线可得相应的角的 三角函数值,那么通过描点( x, sin x ) ,连线即可得到函数 y = sin x, x ∈[0,2π ] 的图象

问题:如何作出正弦、余弦函数的图象? 问题:如何作出正弦、余弦函数的图象? 途径:利用单位圆中正弦、余弦线来解决。 途径:利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
B
y 1

描图: 描图:用光滑曲线 将这些正弦线的 终点连结起来 终点连结起来

O1

A O
-1

π
3

2π 3

π

4π 3

5π 3



x

y=sinx ( x ∈[0, 2π ] )
5

我们在作正弦函数y=sinx x∈[0,2 π]的图象时,描 的图象时, 我们在作正弦函数 ∈ 的图象时 出了12个点,但其中起关键作用的点是哪些? 12个点 出了12个点,但其中起关键作用的点是哪些?分 别说出它们的坐标。 别说出它们的坐标。 y π 五点法
1
π
2
(0,0) o (0,0) ( ,1) 2π ( 2 ,1) π ( 2 ,1) ( π ,0)

?

π

五个关键点— 五个关键点
x
sinx

( ,1) ( 2π ,0) 2 (0,0) π -1 ( π ,0) (3π ,-1) ( ,1) ( 2π ,0) 3π 2 (0,0) π π3π ( π ,0)2 3,1) (2 ( 2π ,0) ( 2 ,1) ( π ,0) ( 2 ,1)π ( 3 ,1) ( 2π ,0) (0,0) π 2( 3,1) π (0,0) ( π ,0) ( 2π ,0) 2 3π π ( 2 ,1) (0,0) 3π ( 2 ,-1) ( 2π ,0) (π ,1) ( π ,0) (2 (0,0) 3π ( ,-1),-1) 2 2 ( 2π ,0) ( π ,0) ( 2 ,-1) ( 2 ,1) (0,0)

2

π

π

( π ,0) ( π ,0)

3π 2

( 2π ,0) ( 2π ,0)



x

0 0

π
2

π 0

3π 2

1

-1

2π 0
6

y=sinx x∈[0,2π]

终边相同角的三角函数值相等 即: sin(x+2kπ)=sinx, k∈Z
f ( x + 2 kπ ) = f ( x ) 利用图象平移

y

y=sinx x∈R

1

π -4

π -3

π -2


-1

o

π/2 π 3π/2 2 π

3 π

4 π

x

函数y=sinx, x∈R的图象 函数 ∈ 的图象

正弦曲线

正弦、 正弦、余弦函数的图象
y
1 -4π -3π -2π -π

o
-1

π











x

正弦函数的图象 正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x∈R
2

π

正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同

余弦函数的图象 余弦函数的图象

y
(0,1) 1
3π ( ,0) 2

( 2π ,1) 2π 3π 4π

余弦曲 线
5π 6π
8

-4π

-3π

-2π



π (o ,0) 2 -1

π

( π ,-1)

x

像作二次函数图象那样为了快速用描点法 作出正弦曲线与余弦曲线。下面我们通过观察 函数图象寻找图象上起关键作用的点:

? 图象与x轴的交点( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0) y = sin x, x ∈[0,2π ] ? ? 图象的最低点( ? 1)
,1 )
3π 2,

图象的最高点 ( π 2

? π y = cos x, x ∈ [0,2π ] ? 图象与x轴的交点( 2 , 0 ) ( ? 图象的最低点(π ,?1)

图象的最高点 0 ,1 ) (2π ,1) (

3π 2

,0)
9

2π 例1:(1)画出y=1+sinx , x∈[0,π ]的简图 :(1 画出y=1+sinx x∈[0,

x
sinx
1 + sinx

0 0 1

π
2

π
0 1

3π 2

2π 0 1

1

-1 0

2 y 1. o -1

.
π 2

2

y = 1 + sinx, x ∈ [0,2π]

.
π

. . 3π
2

2π π

x

y = sinx, x ∈ [0,2π]

(2)画出y=-cosx , x∈[0,2π]的简图
x 0 π 2 π 3π 2 2π

cosx

1

0

- 1

0

1

- cosx
y 1

- 1

0

1

0

- 1

y = ? cosx , x ∈ [0,2π]
π 2 3π 2

O

π



x

-1

y = cosx , x ∈ [0,2π]

练习:在同一坐标系内,用五点法分别画出函数 练习:在同一坐标系内, y= sinx,x∈[0, 2π] 和 y= cosx,x∈[ ? 2 , , ∈ π , ∈
π
3π 2

]的简图: 的简图: 的简图
3π 22π

x
cosx sinx

?0

π
2

π

0 2

π2 0 -1

π

3π 2π

0 1 1 0 π y 向左平移 个单位长度 2 2
1

-1 0

0 1

y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π
?

π
2

o -1

π
2

π
3π ] 2 2

3π 2



x

y= cosx,x∈[? π , , ∈

12

思考:如何画出函数
解:按关键点列表
x sinx 0 0

y = sin x , x ∈ R 的简图
π
2

π
0 0

-1 1

3π 2 1


0 0

y = sin x 0
描点并将它们用光滑曲线连 接起来

1

y y = sin x , x ∈ R 1

? 2π

?

3π 2



?

π
2

o

π
2
-1

π

3π 2



x

y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π
13

正弦、余弦函数的图象 正弦、
小 结
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系 注意与诱导公式、 注意与诱导公式
y 1
π
2

1. 正弦曲线、余弦曲线 正弦曲线、

几何画法 五点法

y=cosx,x∈[0, 2π] , ∈ π
π
2 3π 2

?

o -1

π



x

y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π

14


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