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高二下学期第一次月考理科数学试题+答案


高二下学期第一次月考理科数学试题
(满分:150 分 1. y ? x 2 在 x ? 1处的导数为( A. 2 x
2

时间:120 分钟

2014.3)

一、选择题:(每小题有且只有一个答案正确,每小题 5 分,共 40 分)

) C.2
) C.-1 ) . C. y ? 8 x ? 10 D. y ? 2 x ? 32 D.0

B.2 ? ?x

D.1

2. 已知函数 f ( x) ? ax ? c ,且 f ?(1) =2,则 a 的值为( A.1
3

B. 2

3.曲线 y ? x 在点 ( 2,8) 处的切线方程为( A. y ? 6 x ? 12 B. y ? 12 x ? 16

4..已知抛物线y 2 ? 4 x, 则焦点坐标为 (



A(1,0)
A.充分不必要条件

B.( ?1,0)
B.必要不充分条件

C.(0,1)
C.充要条件

D.(0,?1)
) D.既不充分也不必要条件

5.命题p : 可导函数f ( x)在x处的导数f ' ( x0 ) ? 0;命题q : 函数f ( x)在x ? x0处有极值; 则p是q的(

sin x 的导数为( ) x x cos x ? sin x x cos x ? sin x A. y ' ? B. y ' ? 2 x x2

6.函数 y ?

C. y ' ?

x sin x ? cos x x2
y

D. y ' ?

x sin x ? cos x x2


7.设函数 y ? f ( x) 在定义域内 可导, y ? f ( x) 的图象如图 1 所示,则导函数 y ? f ?( x) 可能为( y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

图1

A

B

C

D

8.设函数 y ? f ( x) 在( ?? ,+ ? )内有定义。对于给定的正数 K,定义函数 f k ( x) ? ? 取函数 f ( x) = 2 ? x ? e A.K 的最大值为 2
?x

? f ( x), f ( x) ? K ? K , f ( x) ? K


。若对任意的 x ? (??, ??) ,恒有 f k ( x) = f ( x) ,则 B. K 的最小值为 2 C.K 的最大值为 1



D. K 的最小值为 1

二、填空题:(每小题 5 分,共 30 分) 9.已知命题p : 对?x ? R,2 ? 0.则?p :
x

10.已知椭圆的标准方程为: ?

x2 16

y2 ? 1,则它的离心率为: 25
2

11.物体的位移 s和时间t 满足函数 s ? 1 ? t ? t ,物体在 3 秒末的瞬时速度为:
1

12.曲线 y ? x ? 3x ? 1 在点(1,-1)处的切线方程为:
3 2

13.函数 y ? ? x ? 3x 的单调减区间为:
3

14.已知 R 上可导函数 f ( x) 的图象如图所示,则不等式 ( x ? 2 x ? 3) f ?( x) ? 0 的解集
2

.

三、解答题:(共 80 分。)

15.(12分)已知函数f ( x) ?

1 2 x ? x ? 2 ln x, 求(1) f ( x)的单调区间; (2)求f ( x)的极值。 2

3 2 16.(12 分)函数 f ? x ? ? x ? 3ax ? 2bx 在 x ? 1 处有极小值 ? 1 ,求(1) a , b 的值, (2)求 f ? x ?

的单调区间及在区间 ? ?1, 2? 上的最值.

17.(14分)已知f ( x) ? ? x 3 ?

3 2 x ? 6 x ? 1, (1)求f ( x)的单调区间; (2) f ( x) ? m ? 0有1个根,求m的取值范围。 2
2x

18.(12 分)证明不等式: 1 ? 2 x ? e

? x ? 0? .

19.(14 分)已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F ( ? 3, 0) ,右顶点 为 D(2, 0) ,设点 A ? 1,

? 1? ?. ? 2?

(1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; (3)过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C ,求 ?ABC 面积的最大值。

20.(14 分)已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? nx ? 1 的一个极值点,其中 m, n ? R, m ? 0 ,
3 2

(I)求 m 与 n 的关系式; (II)求 f ( x) 的单调区间; (III)当 x ? ? ?1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围.

2

高二下学期第一次月考理科数学答题卷
四、选择题。

题号 答案
五、填空题。 B.

1

2

3

4

5

6

7

8

10.

21. 13. 三、解答题。 (2)解:

12. 14.

16 解:

3



号:

17.解:

18 解:

4

19 解:

5

20 解:

6

高二下学期第一次月考理科数学试题答案
一、选择题 二、填空题。
9. ?x ? R,2 x ? 0. 10. 3 5 11. 7 12 . 3x ? y ? 2 ? 0

C A B A

B B D

D

三、

13. (??, ? 1)和(1 , ? ?)

14. (??, ? 1) ? (?1 , 1) ? (3,? ?)

解答题。
15 .解: (1) f ( x )的定义域为(0, ? ?) 2 x2 ? x ? 2 ? ( x ? 0) x x x2 ? x ? 2 令 f ' ( x ) ? 0 ,即 ? 0( x ? 0) 得 x ? 1或x ? ?2(舍) x x2 ? x ? 2 令 f ' ( x ) ? 0 ,即 ? 0( x ? 0) 得 0 ? x ?1 x ? f ( x )的增区间为(1,?? ), f ( x )的减区间为(0,1) f ' ( x) ? x ? 1 ? ( 2)令f ' ( x ) ? 0,解得x ? 1或 ? 2(舍) 由(1)可列表得 x f ( x) f ( x)
'

(0,1) ? 单调递减

1 0 极小值

(1, ?? ) ? 单调递增

?当x ? 1时,f ( x )有极小值。 f ( x ) 极小值 ? f (1) ? 1 3 ? 1 ? 2 ln 1 ? 2 2

16.(1) f ' ( x) ? 3x 2 ? 6ax ? 2b,则由题意可知

?

f (1) ? ?1 即 f ' (1) ? 0

?

1 a? ? 1? 3 a ? 2 b ? ?1 3 3? 6 a ? 2 b ? 0 解得 ? 1 b?? ? 2

? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ( 2) f ' ( x ) ? 3 x 2 ? 2 x ? 1 令f ' ( x) ? 0, 即3 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 得到x ? 1或x ? ? 令f ' ( x) ? 0, 即3 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 得到 ? 1 ? x ?1 3 1 3

1 1 ? f ( x)的单调增区间为: (??,? )和(1,??); f ( x)的单调减区间为: (? ,1) 3 3
7

17 .解: (1) f ' ( x ) ? ?3 x 2 ? 3 x ? 6 令f ' (x) ? 0 ,即 ? 3 x 2 ? 3 x ? 6 ? 0 得 ? 1 ? x ? 2 令f ' (x) ? 0 ,即 ? 3 x 2 ? 3 x ? 6 (2)令f ' ( x) ? 0,解得x ? ?1或2 由(1)可列表得 x f ' ( x) f ( x) (??,?1) ? 单调递减 ?1 0 极小值 (?1,2) ? 2 0 (2, ??) ? 单调递增 得 x ? ?1 或 x ? 2 ? f(x)的增区间为(?1,2), f(x)的减区间为(??,?1)和(2,??)

单调递增 极小值

?当x ? ? 1时,f ( x)有极小值;当x ? 2时,f ( x)有极大值 f ( x) 极小值 ? f (?1) ? 1 ? f ( x) 极大值 3 5 ? 6 ?1 ? ? 2 2 ? f (2) ? ?8 ? 6 ? 12 ? 1 ? 11

? f ( x) ? m ? 0有一个根, ? f ( x) ? m有一个根 即只需f ( x)与y ? m有一个交点

?

?

f ( x ) 极小值 ? m f ( x ) 极大值 ? m

?

f ( x ) 极小值 ? m f ( x ) 极大值 ? m

?m ? ?5 即? 112?m ?

?m ? ?5 2 ? 11? m ?

? m ? 11或m ? ?

5 2

5? ? ? m的取值范围为: ?m | m ? 11或m ? ? ? 2? ?
18.令f ( x) ? 1 ? 2 x ? e 2 x f ' ( x) ? 2 ? 2e 2 x ? 2(1 ? e 2 x ) ?x ? 0 ? 2x ? 0 ? e2 x ? 1

?1 ? e 2 x ? 0 ? 2(1 ? e 2 x ) ? 0 即f ' ( x) ? 0 ? f ( x)在(0,??)上单调递减
? f ( x) ? f (0), f (0) ? 1 ? 0 ? 1 ? 0
8

? f ( x) ? 0 即1 ? 2 x ? e 2 x ? 0 ?1 ? 2 x ? e 2 x

19.(1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1.

又椭圆的焦点在 x 轴上,

x2 ? y2 ? 1 ∴椭圆的标准方程为 4

(3)设线段 PA 的中点为 M ( x, y ) , 点 P 的坐标是 ( x0,y0 )

由中点坐标公式可知

? x ?1 ? x? 0 2 ? 1 y ? y? 0 ? 2 2 ?

,

? x0 ? 2 x ?1 ?? 1 y0 ? 2 y ? 2 ?

1 2 1 2 (2 x ? 1) 2 1 ? (2 y ? ) 2 ? 1 , ∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? 4( y ? ) ? 1 . 2 4 4 2 (3)当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积 S△ABC=1.
因为点 P 在椭圆上,得 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,该直线方程为 y ? kx ,代入

x2 ? y2 ? 1, 4
),

解得 B(

2 4k 2 ? 1

,

2k 4k 2 ? 1

),C(-

2 4k 2 ? 1

,-

2k 4k 2 ? 1

则 BC ? 4

1? k

2

k?
, 又点 A 到直线 BC 的距离 d=

1 2

1 ? 4k 2

1? k 2

,

∴△ABC 的面积 S△ABC=

2k ? 1 1 AB ? d ? 2 1 ? 4k 2

于是 S△ABC=

4k 2 ? 4k ? 1 4k ? 1? 2 2 4k ? 1 4k ? 1



1 4k ≥-1,得 S△ABC≤ 2 ,其中,当 k=- 时,等号成立. 2 2 4k ? 1

∴S△ABC 的最大值是 2 .

20.解(I) f ?( x) ? 3mx 2 ? 6(m ? 1) x ? n
因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点, 所以

f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 ,所以 n ? 3m ? 6

? ? 2 ?? 2 (II)由(I)知, f ?( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ?1 ? ? ? ? ? m ??
9

当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?

2 ,当 x 变化时, f ( x) 与 f ?( x) 的变化如下表: m
1? 2 m
2 ? ? ? 1 ? ,1 ? ? m ?
?

x
f ?( x)

2? ? ? ??,1 ? ? m? ?
?

1 0 极大值

?1, ?? ?
单调递减

0 极小值

f ( x)

单调递减

单调递增

故有上表知,
2? 2 ? 当 m ? 0 时, f ( x) 在 ? ??,1 ? ? 单调递减,在 (1 ? ,1) 单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. m? m ?
2 (III)由已知得 f ?( x) ? 3m ,即 mx ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0

2 又 m ? 0 所以 x ?

2 2 2 2 (m ? 1) x ? ? 0 即 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? ① m m m m
1 2 ) x ? ,其函数开口向上, m m

设 g ( x) ? x 2 ? 2(1 ?

由题意知①式恒成立,

2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 ?? m m 所以 ? g (1) ? 0 ? ? ? ?1 ? 0
解之得 ?

4 ?m 3

4 又 m ? 0 所以 ? ? m ? 0 3

? 4 ? 即 m 的取值范围为 ? ? ,0 ? ? 3 ?

10


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