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上海市松江区2015届高三一模数学(理)试卷


上海市松江区 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若复数 z 满足 |=0,则 z 的值为__________.
﹣1 ﹣1

2.已知 f(x)=logax(a>0,a≠1) ,且 f (

﹣1)=2,则 f (x)=__________. 3.在等差数列{an}中,a2=6,a5=15,则 a2+a4+a6+a8+a10=__________.

4.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则

=__________.

5.在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,BC1 与平面 ABCD 所成的角为 60°,则 BC1 与 AC 所 成的角为__________(结果用反三角函数表示) .

6.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x﹣3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准 方程是__________. 7.按如图所示的流程图运算,则输出的 S=__________.

8.已知函数 f(x)=sin(ωx+ 平移 φ 个单位长度(0<φ<

) (x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,将 y=f(x)图象向左 )所得图象关于 y 轴对称,则 φ=__________.

9.已知双曲线

的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其

2

渐近线的距离等于__________. 10.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 5 的 概率为__________. cos2x+1,若 f(x)≥log2t 对 x∈R 恒成立,则 t 的取值范

11.已知函数 f(x)= sin2x﹣ 围为__________. 12.某同学为研究函数

的性质,构造了如

图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC,点 P 是边 BC 上的一个动点,设 CP=x, 则 AP+PF=f(x) .请你参考这些信息,推知函数 f(x)的值域是__________.

13.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(x+2) ,且当 x∈[﹣2, 0]时,f(x)= .若函数 g(x)=f(x)﹣loga(x+2) (a>1)在区间(﹣2,6]

恰有 3 个不同的零点,则 a 的取值范围是__________. 14.在正项等比数列{an}中,已知 a1<a2015=1,若集 A={t|(a1﹣ ﹣ )≤0,t∈N },则 A 中元素个数为__________.
*

)+(a2﹣

)+…+(at

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须 在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 p,q∈R,则“q<p<0”是“| |<1”的( A.充分非必要条件 C.充要条件 ) B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

16.若二项式 ( ) A.5

展开式中含有常数项,则 n 的最小取值是

B.6

C .7

D.8

17.设 P 是△ ABC 所在平面内的一点, A.
2

,则( C.

) D.
2 2

B.
2

18.已知满足条件 x +y ≤1 的点(x,y)构成的平面区域面积为 S1,满足条件[x] +[y] ≤1 的点(x,y)构成的平面区域的面积为 S2,其中[x]、[y]分别表示不大于 x,y 的最大整数, 例如:[﹣0.4]=﹣1,[1.6]=1,则 S1 与 S2 的关系是( ) A.S1<S2 B.S1=S2 C.S1>S2 D.S1+S2=π+3

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,且满足 a<b<c,b=2asinB. (1)求 A 的大小; (2)若 a=2,b=2 ,求△ ABC 的面积. 20.已知函数 f(x)=a (a>0,a≠1,b∈R) . (1)若 f(x)为偶函数,求 b 的值; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试求 a、b 应满足的条件. 21. 沙漏是古代的一种计时装置, 它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成, 开始时细沙全部在上部容器中, 细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙 漏的一个沙时.如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为 8cm,细沙全 部在上部时,其高度为圆锥高度的 (细管长度忽略不计) . (1)如果该沙漏每秒钟漏下 0.02cm 的沙,则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到 1 秒)? (2)细沙全部漏入下部后,恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,求此锥形沙堆的高 度(精确到 0.1cm) .
3 |x+b|

22. (16 分)已知数列{an}的首项为 1,设 f(n)=a1Cn +a2Cn +…+akCn +…+anCn (n∈N ) . (1)若{an}为常数列,求 f(4)的值; (2)若{an}为公比为 2 的等比数列,求 f(n)的解析式; n * (3)数列{an}能否成等差数列,使得 f(n)﹣1=2 ?(n﹣1)对一切 n∈N 都成立?若能, 求出数列{an}的通项公式;若不能,试说明理由. 23. (18 分)对于曲线 C:f(x,y)=0,若存在最小的非负实数 m 和 n,使得曲线 C 上任 意一点 P(x,y) ,|x|≤m,|y|≤n 恒成立,则称曲线 C 为有界曲线,且称点集{(x,y)||x|≤m, |y|≤n}为曲线 C 的界域. 2 2 (1)写出曲线(x﹣1) +y =4 的界域; (2)已知曲线 M 上任意一点 P 到坐标原点 O 与直线 x=1 的距离之和等于 3,曲线 M 是否 为有界曲线,若是,求出其界域,若不是,请说明理由; (3)已知曲线 C 上任意一点 P(x,y)到定点 F1(﹣1,0) ,F2(1,0)的距离之积为常 数 a(a>0) ,求曲线的界域.

1

2

k

n

*

上海市松江区 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若复数 z 满足 |=0,则 z 的值为±2i.

考点:二阶行列式的定义;复数代数形式的乘除运算. 专题:矩阵和变换. 2 分析:由已知得 z +4=0,由此能求出 z=±2i. . 解答: 解:∵
2

=0,

∴z +4=0, 解得 z=±2i. 故答案为:±2i. 点评:本题考查复数的求法,是基础题,解题时要注意二阶行列式性质的合理运用.
﹣1 ﹣1

2.已知 f(x)=logax(a>0,a≠1) ,且 f (﹣1)=2,则 f (x)=



考点:对数函数图象与性质的综合应用. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:由题意可得 f(2)=loga2=﹣1;从而得到 a= ;再写反函数即可.

解答: 解:由题意,∵f (﹣1)=2, ∴f(2)=loga2=﹣1; 故 a= ; 故 f (x)= 故答案为:
﹣1

﹣1

; .

点评:本题考查了反函数的应用及指数对数函数的应用,属于基础题. 3.在等差数列{an}中,a2=6,a5=15,则 a2+a4+a6+a8+a10=90. 考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由已知条件,利用等差数列的前 n 项和公式求出首项和公差,由此能求出结果. 解答: 解:∵在等差数列{an}中,a2=6,a5=15, ∴ ,解得 a1=3,d=3,

∴a2+a4+a6+a8+a10=5a1+25d=90. 故答案为:90. 点评:本题考查数列的若干项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性 质的合理运用.

4.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则

=2.

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:根据两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,可得要求的式子为( ( ) ,再根据两个向量垂直的性质,运算求得结果. =0, ﹣ + )?

解答: 解:∵已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 故 ﹣ = ( =4+0﹣0﹣ ) ? ( =2, ) = ( ) ? ( ) =

故答案为 2. 点评:本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量垂直的性质,属 于中档题.

5.在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,BC1 与平面 ABCD 所成的角为 60°,则 BC1 与 AC 所 成的角为 arccos (结果用反三角函数表示) .

考点:异面直线及其所成的角. 专题:计算题;空间位置关系与距离;空间角. 分析:连接 A1C1,A1B,则 AC∥A1C1,∠BC1A1 即为 BC1 与 AC 所成的角.由于 CC1⊥平 面 ABCD,则∠C1BC=60°,设正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中的底面边长为 a,侧棱长为 b, 即 b= a,再由余弦定理,即可得到. 解答: 解:连接 A1C1,A1B,则 AC∥A1C1,∠BC1A1 即为 BC1 与 AC 所成的角. 设正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中的底面边长为 a,侧棱长为 b, 则由于 CC1⊥平面 ABCD,则∠C1BC=60°, 即有 tan60°= ,即 b= a, =2a,A1C1= a,

在△ BA1C1 中,BC1=BA1=

cos∠BC1A1=

=



则 BC1 与 AC 所成的角为 arccos 故答案为:arccos .



点评:本题考查空间的直线和平面所成的角,异面直线所成的角的求法,考查运算能力,属 于基础题. 6.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x﹣3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准 2 2 方程是(x﹣2) +(y﹣1) =1. 考点:圆的标准方程;圆的切线方程. 专题:计算题.

分析:依据条件确定圆心纵坐标为 1,又已知半径是 1,通过与直线 4x﹣3y=0 相切,圆心 到直线的距离等于半径求出圆心横坐标,写出圆的标准方程. 解答: 解:∵圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x﹣3y=0 和 x 轴都相切, ∴半径是 1,圆心的纵坐标也是 1,设圆心坐标(a,1) , 则 1= ,又 a>0,∴a=2,
2 2

∴该圆的标准方程是 (x﹣2) +(y﹣1) =1; 2 2 故答案为(x﹣2) +(y﹣1) =1. 点评:本题考查利用圆的切线方程求参数,圆的标准方程求法. 7.按如图所示的流程图运算,则输出的 S=20.

考点:循环结构. 专题:阅读型. 分析:根据流程图,先进行判定条件,不满足条件则运行循环体,一直执行到满足条件即跳 出循环体,输出结果即可. 解答: 解:第一次运行得:S=5,a=4,满足 a≥4,则继续运行 第二次运行得:S=20,a=3,不满足 a≥4,则停止运行 输出 S=20 故答案为:20 点评:本题主要考查了当型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结 构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,在近两年的新课标地区 2015 届高考都考查到了,属于基础题. ) (x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,将 y=f(x)图象向左 )所得图象关于 y 轴对称,则 φ= .

8.已知函数 f(x)=sin(ωx+ 平移 φ 个单位长度(0<φ<

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析:根据函数的周期为 π,结合周期公式可得 ω=2.得到函数的表达式后,根据函数 y=f (x+φ)是偶函数,由偶函数的定义结合正弦的诱导公式化简整理,即可得到实数 φ 的值.

解答: 解:∵函数 f(x)=sin(ωx+ ∴ω=

) (x∈R,ω>0)的最小正周期为 π, ) , )]关于 y 轴对称,

=2,函数表达式为:f(x)=sin(2x+

又∵y=f(x)图象向左平移 φ 个单位长度所得图象为 y=sin[2(x+φ)+ ∴2φ+ = +kπ,k∈Z, ,所以取 k=0,得 φ= . ,

因为 0<φ< 故答案为:

点评:本题给出 y=Asin(ωx+φ)的图象左移 φ 个单位后得到偶函数的图象,求 φ 的值.着 重考查了函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质和正弦的诱导公式等知识,属于基本知识的考 查.

9.已知双曲线 渐近线的距离等于 .

的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其

2

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题. 分析: 可求得抛物线 y =12x 的焦点坐标, 从而可求得 b 及双曲线 利用点到直线间的距离公式即可. 解答: 解:∵抛物线 y =12x 的焦点坐标为(3,0) , 2 依题意,4+b =9, 2 ∴b =5. ∴双曲线的方程为: ﹣ =1, x, = .
2 2 2



=1 的右焦点坐标,

∴其渐近线方程为:y=±

∴双曲线的一个焦点 F(3,0)到其渐近线的距离等于 d=

故答案为: . 2 点评:本题考查双曲线的简单性质,求得 b 的值是关键,考查点到直线间的距离公式,属 于中档题.

10.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 5 的 概率为 .

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:由题意知,七个数的中位数是 5,说明 5 之前 5 个数中取 3 个,5 之后 4 个数中取 3 个,根据概率公式计算即可. 解答: 解:5 之前 5 个数中取 3 个,5 之后 4 个数中取 3 个,P= = .

故答案为: . 点评:本题主要考查了古典概率和中位数的问题,关键是审清题意,属于基础题. cos2x+1,若 f(x)≥log2t 对 x∈R 恒成立,则 t 的取值范

11.已知函数 f(x)= sin2x﹣ 围为(0,1].

考点:两角和与差的正弦函数. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:先化简函数解析式,f(x)≥log2t 恒成立,只需求出 f(x)的最小值大于 log2t,求出 t 的范围即可. 解答: 解:f(x)= sin2x﹣ 函数 f(x)=sin(2x﹣ cos2x+1=sin(2x﹣ )+1,

)+1 的最小值为:0,若 f(x)≥log2t 恒成立,只需 0≥log2t 恒成

立,所以 t∈(0,1]. 所以 t 的取值范围: (0,1]. 故答案为: (0,1]. 点评:本题是基础题,考查三角函数的基本性质,三角函数的化简,恒成立问题的应用,考 查计算能力,逻辑推理能力,属于常考题型、基本知识的考查.

12.某同学为研究函数

的性质,构造了如

图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC,点 P 是边 BC 上的一个动点,设 CP=x, 则 AP+PF=f(x) .请你参考这些信息,推知函数 f(x)的值域是[ , ].

考点:函数的值域.

专题:计算题;函数的性质及应用. 分析: 分别在 Rt△ PCF 和 Rt△ PAB 中利用勾股定理, 得 PA+PF= + . 运

动点 P,可得 A、P、B 三点共线时,PA+PF 取得最小值;当 P 在点 B 或点 C 时,PA+PF 取 得最大值.由此即可得到函数 f(x)的值域. 解答: 解:Rt△ PCF 中,PF= 同理可得,Rt△ PAB 中,PA= ∴PA+PF= + =

∵当 A、B、P 三点共线时,即 P 在矩形 ADFE 的对角线 AF 上时,PA+PF 取得最小值 = 当 P 在点 B 或点 C 时,PA+PF 取得最大值 +1 ∴ ≤PA+PF≤ +1,可得函数 f(x)=AP+PF 的值域为[ , ]. 故答案为:[ , ]. 点评:本题以一个实际问题为例,求函数的值域,着重考查了勾股定理和函数的值域及其求 法等知识点,属于基础题. 13.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(x+2) ,且当 x∈[﹣2, 0]时,f(x)= .若函数 g(x)=f(x)﹣loga(x+2) (a>1)在区间(﹣2,6] , 2) .

恰有 3 个不同的零点,则 a 的取值范围是(

考点:根的存在性及根的个数判断;函数的周期性. 专题:计算题;压轴题;数形结合. 分析:由题意中 f(x﹣2)=f(2+x) ,可得函数 f(x)是一个周期函数,且周期为 4,又由 函数为偶函数,则可得 f(x)在区间(﹣2,6]上的图象,结合方程的解与函数的零点之间 的关系,可将方程 f(x)﹣logax+2=0 恰有 3 个不同的实数解,转化为两个函数图象恰有 3 个不同的交点,数形结合即可得到实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵对于任意的 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(2+x) , ∴函数 f(x)是一个周期函数,且 T=4 又∵当 x∈[﹣2,0]时,f(x)= ,且函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,

故函数 f(x)在区间(﹣2,6]上的图象如下图所示: 若在区间(﹣2,6]内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0 恰有 3 个不同的实数解 则 loga4<3,loga8>3, 解得: <a<2, ,2) ;

即 a 的取值范围是( 故答案为( ,2) .

点评: 本题考查根的存在性及根的个数判断, 关键是根据方程的解与函数的零点之间的关系, 将方程根的问题转化为函数零点问题. 14.在正项等比数列{an}中,已知 a1<a2015=1,若集 A={t|(a1﹣ ﹣ )≤0,t∈N },则 A 中元素个数为 4029.
*

)+(a2﹣

)+…+(at

考点:等比数列的性质. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:设公比为 q,利用 a1<a2015=1,确定 q>1,a1=q 结合不等式,即可求出 A 中元素个数. 解答: 解:设公比为 q 2014 ∵a1<a2015=a1q =1 ∴0<a1<1,q>1, ﹣2014 ∴a1=q , ∴(a1﹣ )+(a2﹣ )+…+(at﹣
﹣2014

,利用等比数列的求和公式,

)=(a1+a2+…+at)﹣(

+

+…+



=
﹣t


t﹣4029

≤0

∴(1﹣q ) (q ﹣1)≤0 t﹣4029 ∴q ﹣1≤0 t﹣4029 ∴q ≤1 ∴t≤4029 故答案为 4029. 点评:本题考查等比数列的求和公式,考查学生的计算能力,正确求和是关键. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须 在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 p,q∈R,则“q<p<0”是“| |<1”的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. )

分析:根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:∵“q<p<0”, ∴0< <1,则| |<1 成立,即充分性成立, 若当 q=2,p=﹣1 时,满足| |<1,但 q<p<0 不成立,即必要性不成立, 故“q<p<0”是“| |<1”充分不必要条件, 故选:A 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的性质是解决本题的关键.

16.若二项式 ( ) A.5

展开式中含有常数项,则 n 的最小取值是

B.6

C .7

D.8

考点:二项式定理的应用. 专题:计算题. 分析:利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令 x 的指数为 0 方程有解.由于 n, r 都是整数求出最小的正整数 n. 解答: 解:展开式的通项为 Tr+1=3 令 2n﹣ ∴n= =0,据题意此方程有解 ,当 r=6 时,n 最小为 7.
n﹣r

(﹣2) Cn x

r

r 2n﹣

故选 C. 点评:本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题,属于中档题.

17.设 P 是△ ABC 所在平面内的一点, A. B. C.

,则(

) D.

考点:向量的加法及其几何意义;向量的三角形法则. 专题:平面向量及应用. 分析:根据所给的关于向量的等式,把等式右边二倍的向量拆开,一个移项一个和左边移来 的向量进行向量的加减运算,变形整理,得到与选项中一致的形式,得到结果. 解答: 解:∵ ∴ ∴ , ,

∴ ∴ 故选 B. 点评:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,可以借助图形解答.向量是数形结合 的典型例子,向量的加减运算是用向量解决问题的基础,要学好向量的加减运算. 18.已知满足条件 x +y ≤1 的点(x,y)构成的平面区域面积为 S1,满足条件[x] +[y] ≤1 的点(x,y)构成的平面区域的面积为 S2,其中[x]、[y]分别表示不大于 x,y 的最大整数, 例如:[﹣0.4]=﹣1,[1.6]=1,则 S1 与 S2 的关系是( ) A.S1<S2 B.S1=S2 C.S1>S2 D.S1+S2=π+3 考点:二元一次不等式(组)与平面区域. 专题:计算题;不等式的解法及应用;直线与圆. 2 2 2 2 分析:先把满足条件 x +y ≤1 的点(x,y)构成的平面区域,满足条件[x] +[y] ≤1 的点(x, y)构成的平面区域表达出来,然后看二者的区域的面积,再求 S1 与 S2 的关系. 2 2 解答: 解:满足条件 x +y ≤1 的点(x,y)构成的平面区域为一个圆; 其面积为:π 2 2 当 0≤x<1,0≤y<1 时,满足条件[x] +[y] ≤1; 2 2 当 0≤x<1,1≤y<2 时,满足条件[x] +[y] ≤1; 2 2 当 0≤x<1,﹣1≤y<0 时,满足条件[x] +[y] ≤1; 2 2 当﹣1≤x<0,0≤y<1 时,满足条件[x] +[y] ≤1; 2 2 当 0≤y<1,1≤x<2 时,满足条件[x] +[y] ≤1; 2 2 ∴满足条件[x] +[y] ≤1 的点(x,y)构成的平面区域是五个边长为 1 的正方形,其面积为:5 综上得:S1 与 S2 的关系是 S1<S2, 故选 A.
2 2 2 2

点评:本题类似线性规划,处理两个不等式的形式中,第二个难度较大,[x] +[y] ≤1 的平面 区域不易理解. 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,且满足 a<b<c,b=2asinB. (1)求 A 的大小;

2

2

(2)若 a=2,b=2

,求△ ABC 的面积.

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析: (1)已知等式利用正弦定理化简,根据 sinB 不为 0 求出 sinA 的值,根据 A 为锐角求 出 A 的度数即可; (2)由 a,b,cosA 的值,利用余弦定理求出 c 的值,根据 b,c,sinA 的值,利用三角形 面积公式即可求出三角形 ABC 面积. 解答: 解: (1)∵b=2asinB, ∴由正弦定理化简得:sinB=2sinAsinB, ∵sinB≠0,∴sinA= , ∵a<b<c, ∴A 为锐角, 则 A= ; ,cosA=
2 2 2

(2)∵a=2,b=2



∴由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA, 即 4=12+c ﹣2×2
2 2

×c×



整理得:c ﹣6c+8=0, 解得:c=2(舍去)或 c=4, 则 S= bcsinA= ×2 ×4× =2 .

点评:此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的 关键. 20.已知函数 f(x)=a (a>0,a≠1,b∈R) . (1)若 f(x)为偶函数,求 b 的值; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试求 a、b 应满足的条件. 考点:函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)因为 f(x)为偶函数,得到对任意的 x∈R,都有 f(﹣x)=f(x) ,求出 b; (2)记 h(x)=|x+b|= ,讨论 a 值得到 b 的范围.
|x+b|

解答: 解: (1)因为 f(x)为偶函数,∴对任意的 x∈R,都有 f(﹣x)=f(x) , 即 a =a 得 b=0.
|x+b| |﹣x+b|

,所以|x+b|=|﹣x+b|

(2)记 h(x)=|x+b|=



①当 a>1 时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,即 h(x)在区间[2,+∞)上是增函数, ∴﹣b≤2,b≥﹣2 ②当 0<a<1 时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,即 h(x)在区间[2,+∞)上是减函 数 但 h(x)在区间[﹣b,+∞)上是增函数,故不可能 ∴f(x)在区间[2,+∞)上是增函数时,a、b 应满足的条件为 a>1 且 b≥﹣2 点评:本题考查了函数奇偶性的运用以及讨论思想的运用,属于中档题. 21. 沙漏是古代的一种计时装置, 它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成, 开始时细沙全部在上部容器中, 细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙 漏的一个沙时.如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为 8cm,细沙全 部在上部时,其高度为圆锥高度的 (细管长度忽略不计) . (1)如果该沙漏每秒钟漏下 0.02cm 的沙,则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到 1 秒)? (2)细沙全部漏入下部后,恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,求此锥形沙堆的高 度(精确到 0.1cm) .
3

考点:根据实际问题选择函数类型;函数的最值及其几何意义. 专题:计算题;应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高为 H= ×8= 从而求时间; (2)细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径 4,设高为 H′,从而得 V= π×4 ×H′= 从而求高. 解答: 解: (1)开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高 为 H= ×8=
2 2

,底面半径为 r= ×4= ;

π;

,底面半径为 r= ×4= ;
2

V= πr H= π×( ) ×

=

π≈39.71;

V÷0.02≈1986(秒) 所以,沙全部漏入下部约需 1986 秒. (2)细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径 4,设高为 H′, V= π×4 ×H′=
2

π;

H′=

≈2.4;

锥形沙堆的高度约为 2.4cm.

点评:本题考查了函数在实际问题中的应用,属于中档题. 22. (16 分)已知数列{an}的首项为 1,设 f(n)=a1Cn +a2Cn +…+akCn +…+anCn (n∈N ) . (1)若{an}为常数列,求 f(4)的值; (2)若{an}为公比为 2 的等比数列,求 f(n)的解析式; n * (3)数列{an}能否成等差数列,使得 f(n)﹣1=2 ?(n﹣1)对一切 n∈N 都成立?若能, 求出数列{an}的通项公式;若不能,试说明理由. 考点:二项式定理的应用;等差数列的性质;等比数列的性质. 专题:综合题;转化思想. 1 2 k n * 分析: (1) {an}为常数列, a1=1, 可求 an=1, 代入 ( f n) =a1Cn +a2Cn +…+akCn +…+anCn(n∈N ) 可求 f(4)的值; (2)根据题意可求 an=2 (n∈N ) ,f(n)=Cn +2Cn +4Cn +…+2 Cn ,两端同时 2 倍, n 配凑二项式(1+2) ,问题即可解决; n * (3)假设数列{an}能为等差数列,使得 f(n)﹣1=(n﹣1)2 对一切 n∈N 都成立,利用倒 序相加法求得
n﹣1 * n﹣1 * 1 2 3 n﹣1 n 1 2 k n *

,最终转化为

(d﹣2)+(d﹣2) (n+2)2 =0 对 n∈N 恒成立,从而求得 d=2,问题解决. * 解答: 解: (1)∵{an}为常数列,∴an=1(n∈N ) . 1 2 3 4 ∴f(4)=C4 +C4 +C4 +C4 =15. (2)∵{an}为公比为 2 的等比数列, n﹣1 * ∴an=2 (n∈N ) . 1 2 3 n﹣1 n ∴f(n)=Cn +2Cn +4Cn +…+2 Cn , 1 2 2 3 3 n n n n ∴1+2f(n)=1+2Cn +2 Cn +2 Cn +…+2 Cn =(1+2) =3 , 故 .
n *

(3)假设数列{an}能为等差数列,使得 f(n)﹣1=(n﹣1)2 对一切 n∈N 都成立,设公差 为 d, 则 f(n)=a1Cn +a2Cn +…+akCn +…+an﹣1Cn +anCn , n n﹣1 k 2 1 且 f(n)=anCn +an﹣1Cn +…+akCn +…+a2Cn +a1Cn , 1 2 k n﹣1 相加得 2f(n)=2an+(a1+an﹣1) (Cn +Cn +…+Cn +…+Cn ) ,
1 2 k n﹣1 n

∴ = =1+(n﹣1)d+[2+(n﹣2)d](2 ﹣1) . n﹣1 n * ∴f(n)﹣1=(d﹣2)+[2+(n﹣2)d]2 =(n﹣1)2 对 n∈N 恒成立, ﹣ n 1 * 即(d﹣2)+(d﹣2) (n+2)2 =0 对 n∈N 恒成立,∴d=2. n * 故{an}能为等差数列, 使得 f (n) ﹣1= (n﹣1) 2 对一切 n∈N 都成立, 它的通项公式为 an=2n ﹣1. 点评:本题重点考查二项式定理的应用,解决的方法有倒序相加法求 f(n) ,难点在于综合 分析,配凑逆用二项式定理,属于难题. 23. (18 分)对于曲线 C:f(x,y)=0,若存在最小的非负实数 m 和 n,使得曲线 C 上任 意一点 P(x,y) ,|x|≤m,|y|≤n 恒成立,则称曲线 C 为有界曲线,且称点集{(x,y)||x|≤m, |y|≤n}为曲线 C 的界域. 2 2 (1)写出曲线(x﹣1) +y =4 的界域; (2)已知曲线 M 上任意一点 P 到坐标原点 O 与直线 x=1 的距离之和等于 3,曲线 M 是否 为有界曲线,若是,求出其界域,若不是,请说明理由; (3)已知曲线 C 上任意一点 P(x,y)到定点 F1(﹣1,0) ,F2(1,0)的距离之积为常 数 a(a>0) ,求曲线的界域. 考点:曲线与方程. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 2 2 2 2 分析: (1)由已知得(x﹣1) ≤4,y ≤4,由此能求出曲线(x﹣1) +y =4 的界域. (2)设 P(x,y) ,则 +|x﹣1|=3,从而得到﹣1≤x≤2,﹣2 ,由此得
n﹣1

到曲线 M 为有界曲线,并能求出求出其界域. (3)由已知得: × 进而得到|y|≤ =a, 从而得到|x| ,由此能求出曲线 C 界域.
2 2

=a, , ,

解答: 解: (1)∵曲线(x﹣1) +y =4, 2 2 ∴(x﹣1) ≤4,y ≤4, ∴﹣1≤x≤3,﹣2≤y≤2, ∴界域为{(x,y)||x|≤3,|y|≤2}. (2)设 P(x,y) ,则
2

+|x﹣1|=3,

化简,得:y = ∴﹣1≤x≤2,﹣2 , ∴界域为{(x,y)||x|≤2,|y|



}.

(3)由已知得: × ∴(x +y +1) ﹣4x =a ,∴ ∵y ≥0,∴
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=a, = , ,∴(x +1) ≤4x +a , ,
2 2 2 2

=a,

∴(x ﹣1) ≤a ,∴1﹣a≤x ≤a+1,∴|x| ,

令 t=







当 t=2,即 若 0<a≤2,1﹣ ∴|y|≤ , 若 a>2,1﹣ ∴|y|≤ <0,

时,等号成立. [1﹣a,1+a], 时, ,

,∴x=0 时,

=a﹣1,

,∴曲线 C 界域为: ,|y|≤ }. ,|y|≤ }.

①0<a≤2 时,{(x,y)|x|≤ ②a>2 时,{(x,y)||x|

点评:本题考查曲线的界域的求法,考查曲线是否为有界曲线的判断与界域的求法,解题时 要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.


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