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《平面向量》测试题及答案 45


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第二章 平面向量
一、选择题 1.若三点 P(1,1) ,A(2,-4) ,B(x,-9)共线,则( A.x=-1 B.x=3 C.x= )

9 2

D.x=51

2.与向量 a=(-5,4)平行的向量是( A.(-5k,4k) B.(-




5 4 ,- ) C.(-10,2) D.(5k,4k) k k 3 3.若点 P 分 AB 所成的比为 ,则 A 分 BP 所成的比是( ) 4 3 7 7 3 A. B. C.D.7 3 3 7
4.已知向量 a、b,a?b=-40,|a|=10,|b|=8,则向量 a 与 b 的夹角为( A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|= 41 ? 20 3 ,|a|=4,|b|=5,则向量 a?b=( A.10 3 B.-10 3 C.10 2 ) D.10 )

6.(2009 年浙江)已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b), 则 c=( ) 7 7 7 7? 7 7? ? ?7 7? A.? B.? D.? ?9,3? ?-3,-9? C.?3,9? ?-9,-3? 7.已知向量 a=(3,4),b=(2,-1),如果向量 a+x?b 与 b 垂直,则 x 的值为( ) A.

23 3

B.

3 23

C.2

D.-

2 5

8.设点 P 分有向线段 P 1P 2 的比是λ ,且点 P 在有向线段 P 1P 2 的延长线上,则λ 的取值 范围是( ) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-

A.(-∞,-1)

1 ) 2


9.设四边形 ABCD 中,有 DC =

1 AB ,且| AD |=| BC |,则这个四边形是( 2

A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将 y=x+2 的图像 C 按 a=(6,-2)平移后得 C′的解析式为( ) A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 2 2 11.将函数 y=x +4x+5 的图像按向量 a 经过一次平移后,得到 y=x 的图像,则 a 等于 ( ) A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的 3 个顶点为 A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第 4 个顶点 D 的坐 标是( ) A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题
1 为了孩子的未来----温新堂教育

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13.设向量 a=(2,-1), 向量 b 与 a 共线且 b 与 a 同向, b 的模为 2 5 , 则 b= 14.已知:|a|=2,|b|= 2 ,a 与 b 的夹角为 45°,要使λ b-a 垂直,则λ = 15.已知|a|=3,|b|=5,如果 a∥b,则 a?b= 16.在菱形 ABCD 中, ( AB + AD ) ? ( AB - AD )= 三、解答题 17.如图,ABCD 是一个梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N 分 别是 DC、AB 的中点,已知 AB =a, AD =b,试用 a、b 分别表示 。 。

。 。

DC 、 BC 、 MN 。

18.设 a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2), (1)求证 a 与 b 不共线,并求 a 与 b 的夹角的余弦值;(2)求 c 在 a 方向上的投影; (3)求 λ1 和 λ2,使 c=λ1a+λ2b.

19.设 e1 与 e2 是两个单位向量,其夹角为 60°,试求向量 a=2e1+e2,b=-3e1+2e2 的夹角θ 。

20.以原点 O 和 A (4, 2) 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB, ∠B=90°, 求点 B 的坐标和 AB 。

21. 已知 | a |? 2 | b |? 3 , a与b 的夹角为 60o, c ? 5a ? 3b , d ? 3a ? kb ,当当实数 k 为何 值时,⑴c ∥d ⑵c ? d

22.已知△ABC 顶点 A(0,0) ,B(4,8) ,C(6,-4) ,点 M 内分 AB 所成的比为 3,N 是 AC 边上的一点,且△AMN 的面积等于△ABC 面积的一半,求 N 点的坐标。

2

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参考答案 1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B 11.A 12.C 13.(4,-2) 14.2 15.±15 16.0 17.[解] 连结 AC

1 1 1 AB = a,…… AC = AD + DC = b+ a,…… 2 2 2 1 1 BC = AC - AB = b+ a-a= b- a,…… 2 2 1 NM = ND + DM = NA + AD + DM = b- a,…… 4 1 MN =- NM = a-b。…… 4

DC =

18. 【解析】 (1)∵a=(-1,1),b=(4,3),且-1?3≠1?4,∴a 与 b 不共线. 又 a· b=-1?4+1?3=-1,|a|= 2,|b|=5, 2 a· b -1 ∴cos〈a,b〉= = =- . |a||b| 5 2 10 7 a· c -7 (2)∵a· c=-1?5+1?(-2)=-7∴c 在 a 方向上的投影为 = =- 2. |a| 2 2 (3)∵c=λ1a+λ2b, ∴(5,-2)=λ1(-1,1)+λ2(4,3) =(4λ2-λ1,λ1+3λ2), 23 λ1=- ?4λ2-λ1=5 7 ? ∴? ,解得 . 3 ? ?λ1+3λ2=-2 λ2= 7

? ? ?

19.[解] ∵a=2e1+e2,∴|a| =a =(2e1+e2) =4e1 +4e1?e2+e2 =7,∴|a|= 7 。
2 2 2 2 2

同理得|b|= 7 。又 a?b==(2e1+e2) ?(-3e1+2e2,)=-6e1 + e1?e2+2e2 =2 2

7 , 2

7 a·b 2 =- 1 ,∴θ =120°. ∴ cosθ = = | a |·| b | 7? 7 2 ?
20.[解] 如图 8,设 B(x,y),

则 OB =(x,y), AB =(x-4,y-2)。

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∵∠B=90°,∴ OB ⊥ AB ,∴x(x-4)+y(y-2)=0,即 x +y =4x+2y。① 设 OA 的中点为 C,则 C(2,1), OC =(2,1) , CB =(x-2,y-1) ∵△ABO 为等腰直角三角形,∴ OC ⊥ CB ,∴2(x-2)+y-1=0,即 2x+y=5。② 解得①、②得 ?

2

2

? x1 ? 1 ? x 2 ? 3 或? ? y1 ? 3 ? y 2 ? ?1

∴B(1,3)或 B(3,-1),从而 AB =(-3,1)或 AB =(-1,-3) 21. ⑴若 c ∥ d 得 k ? 9 22.[解] 如图 10,

5

⑵若 c ? d 得 k ? ? 29

14

S △ AMN S △ ABC

1 | AM |·| AN |·sin ?BAC | AM |·| AN | 2 = = 。 1 | AB | · | AC | | AB |·| AC |·sin ?BAC 2
| AM | 3 = ,则由题设条件得 | AB | 4

∵M 分 AB 的比为 3,∴

| AN | 2 | AN | 1 4 | AN | = ,∴ = ,∴ =2。 2 3 | AC | | AC | 3 | AC |

0 ? 2?6 ? xN ? ? 4, ? ? 1? 2 由定比分点公式得 ? ? y ? 0 ? 2 ? (?4) ? ? 8 . N ? 1? 2 3 ?
∴N(4,-

8 )。 3

文科数学 [平面向量]单元练习题
一、选择题 1.(2009 年全国Ⅰ)设非零向量 a、b、c、满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=( ) A.150 B.120° C.60° D.30° 2.(2008 年四川高考)设平面向量 a=(3,5),b=(-2,1),则 a-2b 等于( ) A.(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3) → → → → → → 3.如图,已知AB=a,AC=b,BD=3DC,用 a,b 表示AD,则AD等于( ) 3 1 3 1 1 3 1 A.a+ b B. a+ b C. a+ b D. a+ b 4 4 4 4 4 4 4 4.(2009 年浙江)已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c=( )

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7 7? A.? ?9,3?

7 7? B.? ?-3,-9?

7 7? C.? ?3,9?

7 7? D.? ?-9,-3?

5.(2009 年启东)已知向量 p=(2,x-1),q=(x,-3),且 p⊥q,若由 x 的值构成的集合 A 满足 A?{x|ax=2},则实数 a 构成的集合是( ) 2 2 A.{0} B.{ } C.? D.{0, } 3 3 6.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A、B、C 的对边,如果 2b=a+c,B=30° ,△ABC 的 3 面积为 ,则 b 等于( ) 2 1+ 3 2+ 3 A. B.1+ 3 C. D.2+ 3 2 2 7.(2008 年银川模拟)已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在 观察站 C 的北偏东 20° ,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° ,则灯塔 A 与 B 的距离为( ) A.2a km B.a km C. 3a km D. 2a km → → → → → → → 8.在△ABC 中,若BC2=AB· BC+CB· CA+BC· BA,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 9.已知等腰△ABC 的腰为底的 2 倍,则顶角 A 的正切值是( ) 3 15 15 A. B. 3 C. D. 2 8 7 → → → 10. 已知 D 为△ABC 的边 BC 的中点, 在△ABC 所在平面内有一点 P, 满足PA+BP+CP= → |PA| 0,设 =λ,则 λ 的值为( ) → |PD| 1 1 A.1 B. C.2 D. 2 4 二、填空题 11.设向量 a=(1,2),b=(2,3),若向量 λ a+b 与向量 c=(-4,-7)共线,则 λ________. |a| 12.(2009 年皖南八校联考)已知向量 a 与 b 的夹角为 120° ,若向量 c=a+b,且 c⊥a,则 |b| =________. 13.已知向量 a=(tanα,1),b=( 3,1),α∈(0,π),且 a∥b,则 α 的值为________. 14.(2008 年烟台模拟)轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 O,两船航行方向的夹角 为 120° ,两船的航行速度分别为 25 n mile/h、15 n mile/h,则下午 2 时两船之间的距离是 ________n mile. 15. (2008 年江苏高考)满足条件 AB=2,AC= 2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是 ________. 三、解答题 16.设 a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2), (1)求证 a 与 b 不共线,并求 a 与 b 的夹角的余弦值; (2)求 c 在 a 方向上的投影; (3)求 λ1 和 λ2,使 c=λ1a+λ2b.

17.如图,已知 A(2,3),B(0,1),C(3,0),点 D,E 分别在 AB,AC 上,DE∥BC,且 DE 平 分△ABC 的面积,求点 D 的坐标.

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18.(2009 年厦门模拟)已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα), π 3 ? α∈? ?2,2π?. → → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2sin2α+sin2α → → (2)若AC· BC=-1,求 的值. 1+tanα

π 19.(2009 年南充模拟)在△ABC 中,已知内角 A= ,边 BC=2 3,设内角 B=x,周长为 3 y. (1)求函数 y=f(x)的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值及取得最大值时△ABC 的形状.

20.(2008 年福建高考)已知向量 m=(sinA,cosA),n=( 3,-1),m· n=1,且 A 为锐角. (1)求角 A 的大小; (2)求函数 f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈R)的值域.

21.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,且(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC. → → (1)若 a=3,b=4,求|CA+CB|的值; π → → → → → → (2)若 C= ,△ABC 的面积是 3,求AB· BC+BC· CA+CA· AB的值. 3

答案
一、选择题
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c2 1.B 【解析】 ∵(a+b)2=c2,∴a· b=- , 2 1 a· b cos〈a,b〉= =- , 〈a,b〉=120° .故选 B. |a||b| 2 2.A 【解析】 a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3). 3→ → → → 3.B 【解析】 AD=AB+BD=a+ BC 4 3 → → 3 1 3 =a+ (AC-AB)=a+ (b-a)= a+ b. 4 4 4 4 4.D 【解析】 设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2),a+b=(3,-1). ∵(c+a)∥b,c⊥(a+b), ∴2(y+2)=-3(x+1),3x-y=0. 7 7 ∴x=- ,y=- ,故选 D. 9 3 5.D 【解析】 ∵p⊥q,∴2x-3(x-1)=0, 即 x=3,∴A={3}.又{x|ax=2}?A, ∴{x|ax=2}=?或{x|ax=2}={3}, 2 ∴a=0 或 a= , 3 2 ∴实数 a 构成的集合为{0, }. 3 1 3 6.B 【解析】 由 ac sin 30° = 得 ac=6, 2 2 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB =(a+c)2-2ac-2accos30° , 即 b2=4+2 3, ∴b= 3+1. 7.C 【解析】 如图,△ABC 中, AC=BC=a,∠ACB=120° . 由余弦定理, 得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos120° 1 2 2 2 =a +a -2a ?(- )=3a2, 2 ∴AB= 3a. → → → → → → 8.B 【解析】 ∵AB· BC+CB· CA+BC· BA → → → → → → → =BC· (AB+BA)+CB· CA=CB· CA, → → → → → → → → ∴BC2-CB· CA=BC· (BC+CA)=BC· BA=0, π ∴∠B= ,∴△ABC 为直角三角形. 2 9.D 【解析】 设底边长为 a,则腰长为 2a, 4a2+4a2-a2 7 15 ∴cos A= = ?sin A= . 8 2?2a?2a 8 15 ∴tan A= ,故选 D. 7 → → → 10.C 【解析】 ∵PA+BP+CP=0, → → → → → 即PA-PB+CP=0,即BA+CP=0, → |PA| 故四边形 PCAB 是平行四边形,∴ =2. → |PD| 二、填空题
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11. 【解析】 ∵a=(1,2),b=(2,3), ∴λ a+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3). ∵向量 λ a+b 与向量 c=(-4,-7)共线, ∴-7(λ+2)+4(2λ+3)=0,∴λ=2. 【答案】 2 12. 【解析】 由题意知 a· b=|a||b|cos120° 1 =- |a||b|. 2 又∵c⊥a,∴(a+b)· a=0, ∴a2+a· b=0, 1 |a| 1 即|a|2=-a· b= |a||b|,∴ = . 2 |b| 2 1 【答案】 2 13. 【解析】 ∵a∥b,∴tanα- 3=0,即 tanα= 3, π 又 α∈(0,π),∴α= . 3 π 【答案】 3 14.【解析】 如图,由题意可得 OA=50,OB=30. 而 AB2=OA2+OB2-2OA?OB cos120° 1 =502+302-2?50?30?(- ) 2 =2 500+900+1 500=4 900,∴AB=70. 【答案】 70 15. 【解析】 设 BC=x,则 AC= 2x, 1 根据面积公式得 S△ABC= AB· BCsinB 2 1 = ?2x 1-cos2B, 2 AB2+BC2-AC2 根据余弦定理得 cosB= 2AB· BC 2 2 2 4+x -( 2x) 4-x = = , 4x 4x 代入上式得 4-x2 2 128-(x2-12)2 S△ABC=x 1-( )= , 4x 16 由三角形三边关系有?

? 2x+x>2 , ?x+2> 2x

解得 2 2-2<x<2 2+2. 故当 x=2 3时,S△ABC 取得最大值 2 2. 【答案】 2 2 三、解答题 16. 【解析】 (1)∵a=(-1,1),b=(4,3),且-1?3≠1?4,∴a 与 b 不共线. 又 a· b=-1?4+1?3=-1,|a|= 2,|b|=5, 2 a· b -1 ∴cos〈a,b〉= = =- . |a||b| 5 2 10 (2)∵a· c=-1?5+1?(-2)=-7, 7 a· c -7 ∴c 在 a 方向上的投影为 = =- 2. |a| 2 2
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(3)∵c=λ1a+λ2b, ∴(5,-2)=λ1(-1,1)+λ2(4,3) =(4λ2-λ1,λ1+3λ2),
?4λ2-λ1=5 ? ∴? ,解得 ? ?λ1+3λ2=-2

?λ =- 7 ? 3 ?λ =7
1 2

23 .

→ 17. 【解析】 要求点 D 坐标, 关键是求得点 D 分AB所成比 λ 的值, 求 λ 值可由已知条件△ADE 是△ABC 面积一半入手,利用三角形面积比等于三角形相似比的平方关系求得. ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, S△ADE ?AD?2 ∴ = . S△ABC ? AB ? AD?2 1 AD 1 由已知,有? ? AB? =2,即 AB = 2. → 设点 D 分AB所成的比为 λ,利用分点定义, 1 得 λ= = 2+1. 2-1 2 ∴得点 D 的横、纵坐标为 x= =2- 2, 1+ 2+1 3+ 2+1 y= =3- 2. 1+ 2+1 则点 D 坐标为(2- 2,3- 2). → 18. 【解析】 (1)∵AC=(cosα-3,sinα), → → → BC=(cosα,sinα-3)且|AC|=|BC|, ∴(cosα-3)2+sin2α=cos2α+(sinα-3)2, 整理,得 sinα=cosα,∴tanα=1. π 3 5 又 <α< π,∴α= π. 2 2 4 → → (2)∵AC· BC=cosα(cosα-3)+sinα(sinα-3)=-1, ∴cos2α-3cosα+sin2α-3sinα=-1, 2 5 即 sinα+cosα= ,∴2sinαcosα=- , 3 9 2 2 2sin α+sin 2α 2sin α+2sinαcosα ∴ = sinα 1+tanα 1+ cosα 5 =2sinαcosα=- . 9 19. 【解析】 (1)△ABC 的内角和 A+B+C=π, π 2 由 A= ,B>0,C>0 得 0<B< π, 3 3 BC 2 3 应用正弦定理知 AC= sin B= sin x sin A π sin 3 =4sin x. 2 BC ? AB= sin C=4sin? ?3π-x?, sin A ∵y=AC+AB+BC, 2 2 ? ? ? ∴y=4sinx+4sin? ?3π-x?+2 3?0<x<3π?.
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(2)∵y=4?sinx+

? π ? =4 3sin?x+6? ?+2 3,

3 1 ? cosx+ sinx +2 3 2 2 ?

π π 5 且 <x+ < π, 6 6 6 π π π ∴当 x+ = 即 x= 时,y 取得最大值 6 3, 6 2 3 此时△ABC 为等边三角形. 20. 【解析】 (1)由题意得 m· n= 3sinA-cosA=1, π π 1 2sin(A- )=1,sin(A- )= . 6 6 2 π π π 由 A 为锐角得 A- = ,A= . 6 6 3 1 (2)由(1)知 cosA= , 2 所以 f(x)=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx 1 3 =-2(sinx- )2+ . 2 2 因为 x∈R,所以 sinx∈[-1,1], 1 3 因此,当 sinx= 时,f(x)有最大值 , 2 2 当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3, 3 所以所求函数 f(x)的值域是[-3, ]. 2 2 2 21. 【解析】 由(a +b )sin(A-B)=(a2-b2)sinC,得 2 (a +b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), 由两角和与差的正弦公式展开得: 2b2sin Acos B=2a2cos Asin B. 根据正弦定理有:2sin Bcos B=2sin Acos A, 即 sin 2B=sin 2A, ∵A、B 为三角形的内角, π ∴A=B 或 A+B= . 2 π π → → (1)若 a=3,b=4,则 A≠B,∴A+B= ,C= ,CA⊥CB, 2 2 → → →2 →2 → →) ∴|CA+CB|=( CA +CB +2CA· CB 2 2 = a +b =5. π π (2)若 C= ,则 C≠ ,∴A=B,a=b,三角形为等边三角形. 3 2 1 2 由 S△ABC= a sin C= 3,解得 a=2, 2 → → → → → → ∴AB· BC+BC· CA+CA· AB 2π =3?2?2cos =-6. 3 8 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,向量 m ? (cos A,sin A) ,

n ? ( 2 ? sin A,cos A) ,若 | m ? n |? 2 .
(1) 求角 A 的大小;
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(2)若 b ? 4 2 , c ? 2a ,求 ?ABC 的面积. 9. 已知 | a |? 4 , | b |? 2 ,且 a 与 b 夹角为 120°求 ⑴ (a ? 2b) ? (a ? b) ; ⑵ | 2a ? b | ; ⑶ a 与 a ? b 的夹角

10. 已知向量 a = (1,2) , ⑴求 | a ? b | 与 | a ? b | ; ⑵ 当 k 为何值时, 向量 k a ? b b = (?3,2) 。 与 a ? 3b 垂直?⑶ 当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行?并确定此时它们是同向还 是反向? 11 设 D 、 E 、 F 分别是 ?ABC 的边 BC 、 CA 、 AB 上的点,且 AF ?

1 AB 2

BD ?

1 1 BC , CE ? CA ,若记 AB ? m , CA ? n ,试用 m , n 表示 DE 、 EF 、 FD 。 3 4

11

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第二章 平面向量一、选择题 1.若三点 P(1,1) ,A(2,-4) ,B(x,-9)...已知:|a|=2,|b|= 2 ,a 与 b 的夹角为 45°,要使λ b-a 垂直,则...
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