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山东省烟台市2013届高三上学期期末考试 数学(理)试题


2012—2013 年度第一学期高三期末检测

数学(理)
注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.使用答题纸时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写,作图时,可用 2B 铅笔。要字迹 工整,笔迹清晰。超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效。 3.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 一、选择题:本大题

共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上。 1.设集合 U ? 0,1, 2,3, 4,5? , A ? 1, 2? , B ? x ? Z x ? 5 x ? 4<0? , 则 CU ( A ? B)
2

?

?

?

A.{0,1,2,3,} 【答案】D

B.{5}

C.{1,2,4}

D.{0,4,5}

【Ks5U 解析】B ? {x ? Z x ? 5 x ? 4<0? ? {x ? Z 1 ? x ? 4} ? {2,3} ,所以 A ? B ? {1, 2,3} ,
2

所以 ? ( A ? B) ? {0, 4,5},选 D. U
x 2.设 f ( x) ? 3 ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3 ? 3x ? 8 ? 0 在 x ? (1, 2) 内近似解的过程中得
x

f (1) ? 0, f (1.5) 0, (1.25) ,则方程的根落在区间 ? f ? 0
A.(1,1.25) 【答案】B 【Ks5U 解析】因为 f (1.5) ? 0, f (1.25) ? 0,所以根据根的存在定理可知方程的根落在区间 B.(1.25,1.5) C.(1. 5,2) D.不能确定

(1.25,1.5) 上,所以选 B.
2 2 3.若与向量 v ? (1,1) 平行的直线 l 与圆 x ? y ? 1交于 A、B 两点,则 A B 最大值为

A.2 【答案】A

B. 2 2

C.4

D. 4 2

【Ks5U 解析】 因为直线 l 与向量 v ? (1,1) 平行, 所以直线的斜率为 1, 当直线与圆相交时, A B 最大值为直径 2,所以选 A.

4.一个几何体的三视图如下所示,则该几何体的表面积是 A. 6 ? 8 3 【答案】C 【Ks5U 解析】由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,三棱柱的底面是一个腰长为 2,底 面上的高是 1 的等腰三角形,侧棱长是 3,所以该几何体的表面积为 B. 12 ? 7 3 C. 12 ? 8 3 D. 18 ? 2 3

1 2 ? ? 2 3 ?1 ? 3(2 ? 2 ? 2 3) ? 12 ? 8 3 ,选 C. 2

?x ? 2 y ? 4 ? 0 y?2 ? 5.若实数 x、 y 满足 ? x ? 0 ,则 z ? 的取值范围为 x ?1 ? y?0 ?
A. (??, ?4] ? [ , ?? ) 【答案】A

2 3

B. (??, ?2] ? [ , ??) C. [ ?2, ]

2 3

2 3

D. [ ?4, ]

2 3

【 Ks5U 解 析】 做 出不 等式 组 对应 的平 面区 域 OBC

.因为

z?

y?2 ,所以 z 的几何意义是区域内任意一点 ( x, y ) 与点 P(1, ?2) 两点直线的斜率。所以 x ?1

由图象可知当直线经过点 P, C 时,斜率最小,经过点 P, B 时,直线斜率最大。由题意知

B(0, 2), C (4,0) ,所以 k PB ?

?2 ? 2 ?2 ? 0 2 y?2 ? ?4 , k PC ? ? ,所以 z ? 的取值范围为 1? 0 1? 4 3 x ?1 2 2 z ? 或 z ? ?4 ,即 (??, ?4] ? [ , ??) ,选 A. 3 3

由?

?x ? y ? 4 ?x ? 2 3? 2 1 n?3 1 ? ,所以 z ? ,得 ? ,即 A(2, 2) ,此时 k AM ? 的最小值是 , 5?2 3 m?5 3 ?x ? y ? 0 ?y ? 2

选 D.

6.在△ABC 中,AB=3,AC=2, BD ? A. ?

uuu r

5 2

B.

5 2 uuu r

r uuu uuu r r 1 uuu BC , 则 AD ? BD 的值为 2 5 5 C. ? D. 4 4

【答案】C 【 Ks5U 解 析 】 因 为 BD ?

r ???? 1 ??? ???? ? 1 uuu BC , 所 以 点 D 是 BC 的 中 点 , 则 AD ? ( AB ? AC ) , 2 2 ??? 1 ??? 1 ???? ??? ? ? ? ???? ??? 1 ??? ???? 1 ???? ??? ? ? ? BD ? BC ? ( AC ? AB ) ,所以 AD ? BD ? ( AB ? AC ) ? ( AC ? AB ) 2 2 2 2 ? 1 ???? 2 ??? 2 1 2 2 5 ? ( AC ? AB ) ? (2 ? 3 ) ? ? ,选 C. 4 4 4

7.已知 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,给出下列命题: ① 若 ? ? ?, m / /?, 则 ? ? ? ; ② 若 m ? ? , n ? ? , 且 m ? n, 则 ? ? ? ; ③ 若

m ? ? , m / /? ,则 ? ? ? ;④若 m / /? , n / / ? ,且 m / / n ,则 ? / / ? 。其中正确命题的序
号是 A.①④ 【答案】B B.②③ C.②④ D.①③

? 【Ks5U 解析】 ①当 ? ? ? , m / /? 时, ? ? 不一定成立, 所以错误。 ②成立。 ③成立。 m / /? , ④
n / / ? ,且 m / / n , ? , ? 也可能相交,所以错误。所以选 B.
8.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A>0, ? <

?
2

)的图象如图所示,为了得到 g(x)=sin2x

的图象,则只需将 f ( x ) 的图象

? 个长度单位 6 ? C.向左平移 个长度单位 6
A.向右平移 【答案】A

? 个长度单位 3 ? D.向左平移 个长度单位 3
B.向右平移

T 7? ? ? 2? ? ? ? ,即 T ? ? ,又 T ? ? ? ,所以 ? ? 2 , 4 12 3 4 ? 7? 7? 7? ) ? sin(2 ? ? ? ) ? ?1 , 得 i n ( ? ? ) ? , 即 ? 1 ? 所 以 f ( x)? s i n (x2? ,)由 f ( 12 12 6 7? 3? ? ? ? ? ?? ? ? 2 k? , ? ? ? 2 k ? , 即 因为 ? ? , 所以 ? ? , 所以 f ( x) ? sin(2 x ? ) 。 6 2 3 2 3 3
【Ks5U 解析】由图象可知 A ? 1, 因为 g ( x ) ? sin 2x ? sin[2(x ?

?

6

)?

?

3

],所以只需将 f ( x) 的图象向右平移

? 个长度单位, 6

即可得到 g ( x) ? sin 2 x 的图象,所以选 A. 9.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? 3x ? m (m 为常数) ,则 f( ? 1og35) 的值为 A.4 【答案】B B. ? 4 C.6 D. ? 6

1 0 【Ks5U 解析】因为函数在 R 上是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 f (0) ? ? m ? ,所以 m ? ?1 ,
所以 x ? 0 时 f ( x) ? 3x ? 1。所以 f (? log3 5) ? ? f (log3 5) ? ?(3 B. 10.已知第一象限的点(a,b)在直线 2x+3y ? 1=0 上,则代数式 A.24 【答案】B 【 Ks5U 解 析 】 因 为 第 一 象 限 的 点 ( a,b ) 在 直 线 2x+3y ? 1=0 上 , 所 以 有 B.25 C.26 D.27
log3 5

?1) ? ?5 ? 1 ? ?4 ,选

2 3 ? 的最小值为 a b

2a ? 3b ? 1 ? 0, a ? 0, b ? 0





2a ? b ? 3



1





2 3 ? ?( ? a b a b
a?b?

2 3b a ? )b ? ? ? 2 ( ? ? a b

a ? 3

6 b 6 6b 6a a ,即 ? ) ? ,当且仅当 9 ? 4 a b a b

6

1

6

3

1 2 3 取等号,所以 ? 的最小值为 25,选 B. 5 a b

11.设函数 f ( x) ? x sin x ? cos x 的图像在点 (t , f (t )) 处切线的斜率为 k,则函数 k=g(t)的部分 图像为

【答案】B 【Ks5U 解析】函数的导数为 f '( x) ? x sin x ? cos x ? x cos x ,即 k ? g (t ) ? t cos t 。则函数

g (t ) 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除 A,C.当 0 ? t ?
排除 D,选 B. 12.方程

?
2

时, g (t ) ? 0 ,所以排除

xx y y ? ? ?1 的曲线即为函数 y ? f ( x) 的图像, 对于函数 y ? f ( x) , 有如下结论: 16 9

① f ( x ) 在 R 上单调递减;②函数 F ( x) ? 4 f ( x) ? 3x 不存在零点;③函数 y ? f ( x) 的值域是 R ; ④ 若 函 数 g ( x) 和 f ( x) 的 图 像 关 于 原 点 对 称 , 则 函 数 y ? g ( x) 的 图 像 就 是 方 程

y y xx ? ? 1 确定的曲线。其中所有正确的命题序号是 16 9
A.①② 【答案】D 【Ks5U 解析】当 x ? 0, y ? 0 ,方程为 B.②③ C.①③④ D.①②③

x2 y 2 ? ? ?1 ,此时方程不成立。当 x ? 0, y ? 0 ,方 16 9

程为

x2 y 2 x2 y 2 x2 ? ? ?1 , 即 ? ? 1 , 此 时 y ? ?3 ? 1 。 当 x ? 0 , y ? 0, 方 程 为 16 9 16 9 16
x2 y 2 x2 x2 ? ?1 ,即 y ? 3 ? 1 。当 x ? 0, y ? 0 ,方程为 ? ? ? 1 。做出函数的图 16 9 16 16

y ? ?3

象如图

由图象可知,函数在 R 上单调递减。所以①

3 x2 y 2 ? ? ?1 和 成 立 。 ② 由 F ( x ) ? 4 f ( x) ? 3 x ? 0 得 f ( x ) ? ? x 。 因 为 双 曲 线 4 16 9

?

3 x2 y 2 ? ? ?1 的渐近线为 y ? ? x ,所以 F ( x) ? 4 f ( x) ? 3x 没有零点,所以②正确。由 4 16 9

图象可函数的值域为 R,所以③正确。若函数 g ( x) 和 f ( x ) 的图像关于原点对称,则函数

y ? g ( x) 的图像就是方程

?x x ? y y xx y y ? ? ?1 ,即 ? ? 1 ,所以④错误,所以选 D. 16 9 16 9

二、填空题。本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在答题卡的相应的 位置。 13.若不等式 a x ? 2 <6 的解集为 (?1, 2) ,则实数 a 等于

【答案】4 【Ks5U 解析】因为不等式的解集为 (?1, 2) ,即 ?1, 2 是方程的两个根,所以 2a ? 2 =6 且

?a ? 2 =6 ,解得 a ? 4 。
14.由曲线 y ? 3 ? x2 和直线 y ? 2 x 所围成的面积为 【答案】

32 3
? y ? 3 ? x2 ? y ? 2x
得 x ? 1 或 x ? ?3 ,所以曲线 y ? 3 ? x2 和直线 y ? 2 x 所围成的

【Ks5U 解析】由 ? 面积为

?

1 (3 ? x 2 ? 2 x)dx ? (3x ? x3 ? x 2 ) ?3 3
1

1 ?3

?

32 。 3

15.设 F 是抛物线 C1: y 2 ? 4 x 的焦点, A 是抛物线与双曲线 C2: 点 一条渐近线的一个公共点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为 【答案】 5

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的 a 2 b2

b b x ,不妨取 y ? x ,因为 a a b AF ? x ,所以 xA ? 1 ,所以 yA ? ?2 ,不妨取 A(1, 2) ,又因为点 A(1, 2) 也在 y ? x 上,所 a b 2 2 2 2 2 2 2 以 ? 2 ,即 b ? 2a ,所以 b ? 4a ? c ? a ,即 c ? 5a ,所以 e ? 5 ,即 e ? 5 ,所以 a
【Ks5U 解析】抛物线的焦点为 F (1, 0) .双曲线的渐近线为 y ? ? 双曲线的离心率为 5 。 16.设直线 nx ? (n ? 1) y ? 2(n ? N*) 与两坐标轴围成的三角形的面积为 Sn,则 S1+S2+…+S2012 的值为 【答案】

2012 2013

【 Ks5U 解 析 】 当 x ? 0 时 , y ?

2 2 。当 y ? 0 时, y ? ,所以三角形的面积 n n ?1
, 所 以

Sn ?

1 2 2 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 n n? 1 n( n? 1) n n 1 ?

1 1 1 1 1 1 2012 S1 ? S2 ? ? ? S2012 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 。 2 2 3 2012 2013 2013 2013
三、解答题。本大题共 6 个小题,共 74 分,解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推

理步骤。 17.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 sin(? ? ? x ) ? sin( ? ? x )( >0 )的图像上两相邻最高点的坐标分别为 ? 2

?

?? ? 4? , 2? ? , 2? 和? ?3 ? 3
(1)求 ? 的值; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f ( A) ? 2 求 18.(本题满分 12 发) 设函数 f ( x) ? ax ? b , (其中 a≠0)若 f(3)=5,且 f (1), f (2), f (5) 成等比数列。 (1)求 f ( n) ; (2)令 bn ? f (n)g2n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn 19.(本题满分 12 分) 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,将四 条边对应的第腰三角形折起构成一个 正四棱锥 P-ABCD. (1)当 Q 为 PC 为中点时,证明 PA// 平面 BDQ; (2)当等腰三角形的腰长为多少时, 异面直线 PA 与 BC 所成的角为 60o; (3)当侧棱与底面所成的角为 60o 时,求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值。 20.(本题满分 12 分) 某幼儿园准备建一个转盘,转盘的外围是一个周长为 k 米的圆。在这个圆上安装座位,且每个 座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算,转盘上的每个座位与支点相连的钢管的 费用为 3k 元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为 x 米时,相邻两座位之间的钢管和其中一 个座位的总费用为 ? 2 ?

b ? 2c 的取值范围。 a

? ? ?

(128 x ? 20) x ? ? k 元。假设座位等距分布,且至少有两个座位,所有 25 ?

座位都视为点,且不考虑其他因素,记转盘的总造价为 y 元。 (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域;

(2)当 k=50 米时,试确定座位的个数,使得总造价最低? 21.(本题满分 13 分) 设函数 f ( x) ?

1 ( x>0且x ? 1) x1nx

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)已知 1n 2>a1nx 对任意 x ? (0,1) 成立,求实数 a 的取值范围。 22.(本小题满分 13 分) 已知椭圆

1 x

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, 直线 a 2 b2

x ? y ? b ? 0 是抛物线 y 2 ? 4x 的一条切线。
(1)求椭圆的方程; (2)过点 S (0, ? ) 的动直线 L 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定 点 T,使得以 AB 为直径圆恒过点 T?若存在求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由。

1 3


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