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高一数学必修一课件3.2.2函数模型的应用实例


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知识回顾
前面学习了一次函数、二次函数、指数函数、 对数函数以及幂函数,且它们与生活有着密切的联

系,有着广泛的应用.

y = kx + b (k ? 0 ) 1.一次函数的解析式为_______________ , 其 直 图像是一条____线, 当______时,一次函数在 (- ? , + ? )

____________上为增函数,当_____时,一次函数在 (- ? , ______ _____+ ? ) 上为减函数.
2 二次函数为生活中最常见的一种数学模型, y ? ax ? bx ? c (______) 2.二次函数的解析式为_____________ a ? 0 , 因二次函数可求其最大值(最小值),故常常最 其图像是一条______线,当______时,函数有最 a ? 0 抛物 4 ac ? b 小值为______,当______时,函数有最大值为 a ? 0 优、最省等最值问题是二次函数的模型. 4a 4 ac ? b ______.
2 2

4a

y ? a (a ? 0, a ? 1) 3.指数函数的关系式为_____________________,
x

(0,1) 当a_____时,它在R上是增函数;当a∈____时,它在R >1 (0,+∞) 上是减函数.它的定义域为_____,值域为________. R

下面来看几个实例.

3.2.2 函数模型的

应用举例

学习目标
知识与能力
能够找出简单实际问题中的函数关系式,初步 体会应用一次函数、二次函数模型等解决实际题,能 够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决 实际问题.

过程与方法
感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体 会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的 重要性,进一步感受运用函数概念建立函数模型的 过程和方法,对给定的函数模型进行简单的分析评 价.

情感态度与价值观
体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的 简单问题的实用价值.

教学重难点
重点
运用一次函数、二次函数模型等处理实际问 题.利用给定的函数模型或建立确定性质函数模 型解决实际问题.

难点
将实际问题转化为数学模型,并对给定的函 数模型进行简单的分析评价.

例 某农家旅游公司有客房300间,每间日房租为 20元,每天都客满.公司欲提高档次,并提高租金, 如果每间客房每日增加2元,客房出租数就会减少 10间.若不考虑其他因素,旅社将房间租金提高到 多少时,每天客房的租金总收入最高? 思考:本例涉及到哪些数量关系?应用如何选 取变量,其取值范围又如何?应当选取何种函数模 型来描述所选变量的关系?“总收入最高”的数学 含义如何理解?

解:设客房日租金每间提高x个2元,则每天客房出 租数为300-10x, 由x>0,且300-10x>0得,0<x<30, 设客房租金总收入y元,则有:
y = (2 0 + 2 x)(3 0 0 - 1 0 x)
= -2 0 (x - 1 0 ) + 8 0 0 0 (0<x<30)
2

由二次函数性质可知当x=10时,
y m ax = 8 0 0 0

所以当每间客房日租金提高到20+10×2=40元时,客 户租金总收入最高,为每天8000元.

例 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与是时间 的关如图所示. (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积 的实际含义; (2)假设这辆车汽车的历程表在汽车行驶这段 路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程 时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式, 并作出相应的图像.

v / (km g h )
90 70

-1

50
30 10

能根据此图 画出汽车行驶路 程关于时间变化 的图像吗?

0

1

2

3

4

5

t/h

解:(1)阴影部分的面积为 50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.

阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路 程为360km.

(2)根据上面的图,有
?50t + 2004, ? 8 0 (t - 1 ) + 2 0 5 4 , ? ? s = ? 9 0 (t - 2 ) + 2 1 3 4 , ? 7 5 (t - 3 ) + 2 2 2 4 , ? ? 6 5 (t - 4 ) + 2 2 9 9 , ?

0 ? t < 1, 1 ? t < 2, 2 ? t < 3, 3 ? t < 4, 4 ? t < 5.

函数图像为 y
2400 2300 2200 2100 2000 1 2

注意这是分段函数, 分段函数是刻画现实 问题的重要模型.

x
3 4 5

例 人口问题是当今世界各国普遍关注的问
题.认识人口数量的变化规律,可以为有效控制 人口增长提供依据.早在1798年,英国经济学家 马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型:

y = y 0e

rt

其中t表示经过的时间,y表示t=0时的人口数,r 0 表示人口的年平均增长率.

下面表1是1950~1959年我国的人口数据资料:
年 份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959

人数 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 /万 人

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时 期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长 模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检 验所得模型与实际人口数据是否相符;
(2)如果按表中数据的增长趋势,大约在哪一年我国 的人口达到13亿?

分析:
每年的增长率是多少 这几年的平均增长率是多少 马尔萨斯的人口增模型

如何检测此模型与实际人口数据相符

哪一年我国人口达到13亿

解:(1)设1951 ~1959年的人口增长率分别为 r1 , r 2 , ..., r9 .
由 5 5 1 9 6 1 + r1 = 5 6 3 0 0 , ( )

可得1951年的人口增长率 r1 ? 0 .0 2 0 0 . 同理可得,
r 2 ? 0 .0 2 1 0 , r 3 ? 0 .0 2 2 9 , r 4 ? 0 .0 2 5 0 , r 5 ? 0 .0 1 9 7 , r 6 ? 0 .0 2 2 3 , r 7 ? 0 .0 2 7 6 , r 8 ? 0 .0 2 2 2 , r 9 ? 0 .0 1 8 4 .

所以,1951 ~1959年的人口平均增长率为
r = (r1 + r2 + ... + r9 ) ? 9 ? 0 .0 2 2 1

如何检测此模型与实际人 口数据相符? 马尔萨斯人口增长模型:
令 y 0 = 55196, 则 我 国 在 1951 - 1959年 期 间 的 人 口 模 型 为 y = 55196e
0 .0 2 2 1 t

,t ? N.

根据已知的表格数据作出散点图并作出函数 0 .0 2 2 1 t 由图我们看出所得的模型与1950y = 55196e (t ? N ) 的图像. 1959年实际人口数据基本吻合
y
70000 65000 60000 55000 50000

1

2 3

4 5 6

7

8

9

t

(2)将y=130000代入
y = 55196e
0 .0 2 2 1 t

,

由计算器可得
t ? 3 8 .7 6

所以,按照表1的增长趋势,那么大约在1950年 后的第39年(即1989年)我国的人口就达到13亿, 由此看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然 生长,今天中国将面临难以承受的人口压力.

建立函数模型的全过程:
抽象概括 实际问题

数学模型 推理 演算

实际问题的解

还原说明

数学模型的解

思考
对于模型的结果与实际存在的情况 有什么看法吗? 注意在用已知的函数模型刻画 实际问题时候,由于实际问题的条 件与已知模型的条件不同,所以往 往需要对模型进行修正. 面对实际问题我们怎么样才能解 决它呢?我们能不能通过自己建立函 数模型来解决实际问题呢?

例 某家电企业根据市场调查分析,决定调整产品 生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空凋、 彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台.已知生 产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表: 家电名称
每台所需工时 每台产值(千元)

空调
1/2 4

彩电
1/3 3

冰箱
1/4 2

问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台,才能 使周产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位)

解:设每周应制作空调x台,彩电y台,则每周 制作冰箱(360-x-y)台,本周的产值设为w千 元.于是
w = 4? = 3 2 x+ 1 2 1 2
1 3 1 4

x+

1 3

? 3y +

1 4

? 2 ? (3 6 0 - x - y )

y + 180

(1)

又因为
1 2 x+ y+ (3 6 0 - x - y ) = 1 2 0

6x + y = 360

(2)

由(2)式得到y=360-6x.则代入(1)式得到
w = 3 2 x+ 1 2 (3 6 0 - 6 x) + 1 8 0 = 3 2 x + 360

又因为

x ? 6 0,根据一次函数的单调性可以知道

在x=60时,w取得最大值为270.此时y=0,即每 周生产空调60台,彩电0台,冰箱300台,这时周 产值最高,为270千元.

例 某地区不同身高的未成年男性的体重平均 值如表2
身 60 高 /cm 体 重 /kg
6.13

70

80

90

100

110

120

130

140

150 160

170

7.90

9.99

12.15

15.02

17.50

20.92

26.86

31.11

38.8 5

47.25 55.05

(1)根据表中提供的数据,能否建立恰当的函数模型, 使它能比较近视地反映这个地区未成年男性体重 ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的 解析式.

(2)若体重超过相同身高男性体重平均的1.2倍为 偏胖,低于0.8倍偏瘦,那么这个地区一名身高为 175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常? 分析:由图表2的数据不能看出身高与体重的 关系,可以画出散点图. 解:(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标, 画出散点图.
体重(kg)

o

身高(cm)

根据点的分布特征,可以考虑以 y = a ?b 作为刻画这个地区未成年人男性的体重与身高的 关系的函数模型. 选取数据(60,⒍13),(70,⒎90),代入 y = a ?b 得到
? 6 .1 3 = a ?b ? ? 70 7 .9 0 = a ?b ? ?
60

x

x

可得到a≈1.338,b ≈ 1.026,函数模型 y=1.338· 1.026x 由函数图像与散点图比较,发现散点图上的好多 点都偏离函数图像,所以此函数不能较好地刻画 出该地区未成年人体重与身高的关系.

选取 (70, ⒎90), (160,47.25) x y = 2 ? 1 .0 2 算出a ≈ 2,b ≈ 1.02,函数模型
体重(kg)

o

身高(cm)

由此发现这个函数模型与已知数据的拟合程度 较好,这说明它能较好的反应这个地区未成年男性 体重与身高的关系. x (2)将x=175代入 y = 2 ? 1 .0 2 得y ≈63.98.由 于78÷63.98 ≈1.22>1.2,所以这个男生偏胖.

函数应用的基本过程 1、收集数据; 2、作出散点图; 3、通过观察图象判断问题所适用的函数模型; 4、用计算器或计算机的数据拟合功能得出具体的 函数解析式; 5、用得到的函数模型解决相应的问题.

收集数据 画散点图
选择函数模型
待定系数法

求函数模型 验证 检验模型
好 不好

用函数模型解决实际问题

课堂小结
建立函数模型的全过程:
抽象概括 实际问题

数学模型 推理 演算

实际问题的解

还原说明

数学模型的解

收集数据 画散点图
选择函数模型
待定系数法

求函数模型 验证 检验模型
好 不好

用函数模型解决实际问题

注意在用已知的函数模型刻画实际问题时 候,由于实际问题的条件与已知模型的条件 不同,所以往往需要对模型进行修正.

高考链接
1.(2007 江西)四位好朋友在一次聚会上,他们 按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、 杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示.盛满酒后 他们约定:先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的 高度从左到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们的 大小关系正确的是 ( )

A.

B.

C.

D.

解析:因为 酒杯内高度相等、杯口半径相等, 故第4个杯子剩余酒的高度正好是杯高的一半, 而前三个都高于一半,排除B D,在第1个杯 子和第2个杯子的比较,我们可以画体积和高 度的函数关系图像。如图4所示,第2个杯子 的体积V随 高度h的变化快,故 第2个杯子的高度要 高于第1个杯子,故 选A

2.(2007 广东)客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1
小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80km/h的 速度匀速行驶1小时到达丙地,下列描述客车从甲地出 发,经过乙地,然后到达丙地所经过的路程s与时间t之 间的图像中,正确的是( )

解析:解决本题的关键是分析路程s与时间t之 间关系的图象中所过的特殊点。
由题可知,路程s与时间t之间关系的图象过点 (1,60)(1.5,60)(2.5,140)只有B项符 合条件,故选B

课堂练习
1.一家旅社有100间相同的客房,经过一段时间 的经营实践,旅社经理发现,每间客房每天的价格 与住房率之间有如下关系:
每间每天房价 20元 18元 16元 住房率 65% 75% 85%

14元
95%

要使每天收入达到最高,每间定价应为( C ) A.20元 B.18元 C.16元 D.14元

2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时, 能卖出400个,已知这种商品每个涨价1元,其销售 量就减少20个,为了取得最大利润,每个售价应定 为( ) A
A.95元 B.100元 C.105元 D.110元

3.要建一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖 水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元 和80元,试求应当怎样设计,才能使水池总造价最 低?并求此最低造价. 解:设池底宽为xm,则池底长4/xm,令水池总 造价为w元,则 W=480+2x×80×2+4/x×2×80×2 =480+320x+1280/x =480+320(x+4/x) 又因为x+4/x≥4,所以w在(x+4/x)=4时取得最小值即在 x=2时w取得最小值,也就是池底宽与长都为2m时, 造价最低为1760元.

4.某蔬菜菜基地种植西红柿,由历年市场行情得 知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上 市时间关系用图1的一条折线表示;西红柿的种植成 本与上市时间的关系用图2的抛物线表示: (1)、写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式
P = f(t)

,写出图2表示的种植成本与时间的函数关系

式 Q = g (t) (2)、认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何 时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价和种 植成本的单位:元 1 0 k g ,时间单位:天)
2

P
300

Q
250 150 100

100 0 200

t
300 0 50 150 250 300

t

解(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为:
? 3 0 0 - t, 0 ? t ? 2 0 0 f(t) = ? ?2t - 300, 200 < t ? 300

由图2可得种植成本与时间的函数关系式为:
g (t) = 1 200 (t - 1 5 0 ) + 1 0 0 , 0 ? t ? 3 0 0
2

(2)设 t 时刻的纯收益为
h (t) = f(t) - g (t),
? ? ? h (t) = ? ?? ? 1 200 1 200 t +
2

h (t) ,则由题意得

t +

2

1 2 7 2

t+

175 2

, 0 ? t ? 200 , 200 < t ? 300
1 200 (t - 5 0 ) + 1 0 0 ,
2

t-

1025 2



0 ? t ? 200

时,配方整理得

h (t) = -

所以当t=50时,h(t)取[0,200]上的最大值100. 当 200 <
t ? 300

时,配方整理得 h (t) = -

1 200

(t - 3 5 0 ) + 1 0 0

2

所以当t=300时,h(t)取得(200,300] 上的最大值87.5. 综上,由100>87.5可知,h(t)在[0,300]上可 以取得最大值100,此时t=50,即二月一日开始的

第50天时,上市的西红柿纯收益最大.

教材习题答案
1.(1)已知人口模型为
y = y 0e
n

其中y 0表示t=0时的人口数,r表示人口的年增长率.

若按1650年世界人口5亿,年增长率为0.3%估计,有
y = 5e
0 .0 0 3 t

当y=10时,解得t≈231. 所以,1881年世界人口数约为1650年的2倍. 同理可知,2003年世界人口数约为1970年的2倍.

2.由题意有
7 5 t - 4 .9 t = 1 0 0
2

解得
t =

7 5 ? 6 0 .5 2 ? 4 .9

即 t 1 ? 1 .4 8 0 , t 2 ? 1 3 .8 2 7 . 所以子弹保持在100m以上的时间为 t = t 2 - t 1 ? 1 2 .3 5 在此过程中子弹的最大速率
v 1 = v 0 - 9 .8 t = 7 5 9 .8 ? 1 .4 8 0 = 6 0 .4 9 8 m / s.

答:子弹保持在100米以上高度的时间是12.35秒, 在此过程中子弹的速率的范围是 v ? (0 , 6 0 .4 9 8 ) .


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