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直线方程222


解析几何

直线方程

1、直线的点斜式方程:
已知直线l经过已知点P1(x1,y1),并且它的斜率 是k,求直线l的方程。

设点P(x,y)是直线l上 不同于P1的任意一点。 根据经过两点的直线斜率 公式,得 y ? y1 k ? x ? x1

y

. .

/>l

P

P1

可化为y ? y1 ? k ?x ? x1 ?

O

x

由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程,叫 直线的点斜式方程。

点斜式方程
y
l

①倾斜角α≠90°
x

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
②倾斜角α=0°

y y0 y l x l

y ? y0 ? 0或y ? y0
③倾斜角α=90°

O

x0

x

x ? x0 ? 0或x ? x0

直线 l经过点 P0 (?2,3) ,且倾斜 0 角 ? ? 45,求直线 l的点斜式方 程,并画出直线 l。
解:直线经过点 P (?2,3) , 0 ? 斜率 k ? tan 45 ? 1 ,代入 点斜式方程得
y

P1

y ?3 ? x ? 2
画图时,只需取直线上的另 一点 P ( x1 , y1 ), 例如 1 取 x1 ? ?1, y1 ? 4 ,得 P1 的 坐标为(-1,4)过点 P , P 0 1 的直线即为所求。

P0

4 3 2 1

-3 -2

-1 O

x

点斜式方程的应用:
例1:一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角 α=450,求这条直线的方程,并画出图形。
解:这条直线经过点P1(-2,3), 斜率是 k=tan450=1 代入点斜式得 y-3 = x + 2
y
5 P1 ° ° ° O -5

x

答案:
1、写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(3,-1),斜率是 2 ; (2)经过点B( ? 2 ,2),倾斜 角是 30 0 (3)经过点C(0,3),倾斜角是

(1)

y ? 1 ? 2( x ? 3)
y?2 ? 3 ( x ? 2) 3

(2)
0
0
0

(3)

y?3

(4)经过点D(-4,-2),倾斜角是 120

(4)

y ? 2 ? ? 3( x ? 4)

你都作对了吗?

2、填空题


1)已知直线的点斜式方程是 y ? 2 ? x ? 1

1 那么此直线的斜率是_______,倾斜角是 0 __________。 45
(2)已知直线的点斜式方是 y ? 2 ? 3( x ? 1)

3 那么此直线的斜率是__________,倾斜 0 角是____________。 60

2、直线的斜截式方程:
已知直线l的斜率是k,与y轴的交点是P(0, y b),求直线方程。

代入点斜式方程,得l的直线方程: y - b =k ( x - 0) (2) 即 y = kx + b。

.(0,b)

O

x

直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴 上的截距。 方程(2)是由直线的斜率k与它在y轴上的截距b 确定,所以方程(2)叫做直线的斜截式方程,简 称斜截式。

斜截式方程的应用:
斜截式方程:y = k x + b 几何意义:k 是直线的斜率,b是直线 在y轴上的截距 例2:斜率是5,在y轴上的截距是4的 直线方程。
解:由已知得k =5, b= 4,代入 斜截式方程 y= 5x + 4

练习
? 求下列直线的斜率k和截距b ? (1) y-2x+1=0 ? (2) 2y-6x-3=0

把 y ? kx ? b (k ? 0, b 是常数)叫做一次函数。 把下列点斜式方程化为一次函数形式: (1) (2)

y ? 2 ? x ?1

y ? x ?1
y ? x?5

y ?3 ? x ? 2 (3) y ? 2 ? 3( x ? 1)
3 ( x ? 2) (4) y ? 2 ? 3

y ? 3x ? 3 ? 2

3 6 y? x? ?2 3 3

练习
判断下列各直线是否平行或垂直
1 (1) l1 : y ? 2 x ? 3 1 l2 : y ? x ? 2 2 (2) 5 l1 : y ? x 3 3 l2 : y ? ? x 5

练习
求过点(1,2)且与两坐标轴组成一等腰直角 三角形的直线方程。 解:∵直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 ∴k=±1 直线过点(1,2)代入点斜式方程得 y- 2 = x - 1 或y-2=-(x-1) 即x-y+1=0或x+y-1=0

例.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程. 一般做法: 解:设直线方程为:y=kx+b. 由已知得:

?

3? k ?b 4? 2 k ?b
k ?1 b?2

解方程组得:

?

所以,直线方程为: y=x+2

3、直线方程的两点式
引例:已知直线l经过两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 1 求直线l的方程. y ?y
解: ? x1 ? x2 ,? 直线l斜率
? y1 ? y2

k?

2

1

y2 ? y1 y ( x ? x1 ) 代入点斜式,得:? y1 ? x2 ? x1
y ? y1 x ? x1 ? ? y2 ? y1 x2 ? x1

x2 ? x1

( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

说明:(1)两点式适用范围:x1 ? x2 , y1 ? y2

即:不能表示倾斜角为 0? 和 90?的直线方程 即两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线. (2)两点式变形为( y ? y1 )( x2 ? x1 ) ? ( x ? x1 )( y2 ? y1 ) ? 0 可表示过任意两点的直线方程.

y ? y1 x ? x1 ? 两点式方程: y2 ? y1 x2 ? x1

记忆特点:

左边全为y,右边全为x 两边的分母全为常数 分子,分母中的减数相同

4、直线方程的截距式
引例:已知直线l与x轴的交点(a,0),与y轴的交点 为(0,b),其中 a ? 0, b ? 0 ,求直线l的方程。 y ?0 b?0 ? 解:由两点式得 x?a 0?a

x y ? a ? 0, b ? 0? ? ?1 a b 说明:(1)截距式适用范围: a ? 0, b ? 0
即不能表示过原点和与坐标轴垂直的直线. (2)截距式的结构特征: 加号连接,右边为1

截距式直线方程:

x y ? ? 1. a b

直线与x轴的交点(o,a)的横坐标a叫做直 线在x轴上的截距
直线与y轴的交点(b,0)的纵坐标b叫做直 线在y轴上的截距 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 注意: ②截距可是正数,负数和零

例3: ⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相 等的直线有几条? 解: ⑴ 两条 设 直线的方程为: 把(1,2)代入得: a=3 所以直线方程为:x+y-3=0
x y ? ?1 a a

1 2 ? ?1 a a

那还有一条呢? y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)

⑵ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截 距的绝对值相等的直线有几条?
解:三条 设

? ? ?

x y ? ?1 a b a ?b

解得:a=b=3或a=-b=-1 直线方程为:y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x

典型例题

例1、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3) C(0,2),如图,求这个三角形三边所 y 在直线的方程.
C 2

点评:直线AC,截距式较好; 直线BC,斜截式较好; 直线AB,两点式较好.

A ?5

3

o
?3

x

B

AC边上中线所在直线的方程怎么求呢?

点P ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ), 则线段P P2的中点M 的坐标为 1 1 坐标是

x1 ? x2 y1 ? y2 ( , ) 2 2

例1:已知角形的三个顶点是A(-5,0),
B(3,-3),C(0,2),求BC边所在的直线 方程,以及该边上中线的直线方程。 解:过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为:
y?2 x?0 ? ?3 ? 2 3 ? 0

整理得:5x+3y-6=0
这就是BC边所在直线的方程。

中点坐标公式:
若P1 ,P2坐标分别为( x1 ,y1 ), (x2 ,y2) 且中点M的坐标为(x,y).



? ? ?

x1 ? x2 x? 2 y1 ? y2 y? 2

∵B(3,-3),C(0,2) ? 3 ? 0 ?3 ? 2 ? ∴M? 2 , 2 ? ? ?

BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连 线段,由中点坐标公式可得点M的坐标为:
? 3 ? 0 ?3 ? 2 ? , ? ? 2 ? ? 2



?3 1? ? ,? ? ?2 2?

过A(-5,0),M

?3 1? ? ,? ? ?2 2?

的直线方程

整理得:x+13y+5=0 这就是BC边上中线所在的直线的方程。

y?0 x?5 ? 1 3 ? ?0 ?5 2 2

x ? x0
名 称 几 何 条 件 方程 局限性 不垂直于x 轴的直线 不垂直于x 轴的直线

点斜式 点P(x0,y0)和斜率k 斜截式 斜率k,y轴上的 纵截距b

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

y ? kx ? b

y ? y1 x ? x1 不垂直于x、 ? 两点式 P1(x1,y1),P2(x2,y2) y ? y x1 ? x2 y轴的直线 1 2
在x轴上的截距a, 截距式 在y轴上的截距b

x y ? ?1 a b

不垂直于x、y 轴的直线,不 过原点的直线

②上述四种直线方程,能否写成如下统一形式?
? x+ ? y+ ? =0

y ? y1? k ( x ? x1 )

kx ? (?1) y ? y1 ? kx1 ? 0
kx ? (?1) y ? b ? 0
( y2 ? y1 ) x ? ( x1 ? x2 ) y ? x1 ( y1 ? y2 ) ? y1 ( x2 ? x1 ) ? 0

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b

bx ? ay ? ( ?ab) ? 0

上述四式都可以写成直线方程的一般形式:

Ax+By+C=0, A、B不同时为0。

①直角坐标系中,任何一条直线的方程都是关于x,y的一 次方程。

⑴直线和Y轴相交时:此时倾斜斜角α≠π/2,直线的斜 率k存在,直线可表示成y =k x+b(是否是二元一次方程?)

⑵直线和Y轴平行(包括重合)时:此时倾斜角α=π/2, 直线的斜率k不存在,不能用y =kx+b表示,而只能表 示成x=a(是否是二元一次方程?) 结论:任何一条直线的方程都是关于x,y的二元一次方程。 ②任何关于x,y的一次方程Ax+By+c=0(A,B不同时为零) 的图象是一条直线
⑴B≠0时,方程化成 这是直线的斜截 式,

它表示为斜率为 – A/B,纵截距为- C/B的直线。

5、直线方程的一般式
⑵B=0时,由于A,B不同时为零所以A≠0,此时,Ax+By+ C=0可化为x= -C / A,它表示为与Y轴平行(当C=0时)或重合 (当C=0时)的直线。

思考:直线与二元一次方程具有什么样的关系?

结论:(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 (2)关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。 我们把方程Ax+By+c=0(A,B不同时为零)叫做 直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是 一一对应。

.

深化探究

在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表 示的直线: (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合; (4)与y轴重合; (5)过原点;(6)与x轴和y轴相交; y

(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
0
x

深化探究
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表 示的直线: (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合; (4)与y轴重合; (5)过原点;(6)与x轴和y轴相交; y

(2) B=0 , A≠0 , C≠0;
0

x

深化探究
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表 示的直线: (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合; (4)与y轴重合; (5)过原点;(6)与x轴和y轴相交; y

(3) A=0 , B≠0 ,C=0;
0 x

深化探究
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表 示的直线: (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合; (4)与y轴重合; (5)过原点;(6)与x轴和y轴相交; y

(4) B=0 , A≠0, C=0;
0
x

.

深化探究

在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表 示的直线: (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合; (4)与y轴重合; (5)过原点;(6)与x轴和y轴相交; y

(5) C=0,A、B不同时为0;
0 x

深化探究
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表 示的直线: (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合; (4)与y轴重合; (5)过原点;(6)与x轴和y轴相交; y

(6)A≠0,B≠0;
0
x

4 例1 已知直线过点A(6,-4),斜率为 ? ,求直线的点斜式、 3 斜截式、一般式和截距式方程. 4 解:经过A(6,-4),并且斜率为 ? 直线的点斜式方程为: 3 4 y ? 4 ? ? ( x ? 6) 3 4 化为斜截式,得到: y ? ? x ? 4 3
化为一般式,得到:

4 x ? 3 y ? 12 ? 0 x y ? ?1 化为截距式,得到: 3 4

例2:把直线L的方程x –2y+6= 0化成斜截式, 求出直线L的斜率和它在x轴与y轴上的截距, 并画图。 y
3

解:将原方程移项,得2y = x+6, 两边除以2,得斜截式

-6

o

x

因此,直线L的斜率k=1/2,它在y轴上的截距是3 ,

令y=0,可得 x= -6即直线L在x轴上的截距是- 6

1.(教材习题改编)直线 3x-y+a=0(a为常数)的倾斜角 为 A.30° C.150° B.60° D.120° ( )

解析:∵k= 3=tanα而0° ≤α<180° ,∴α=60° .

答案:B

巩固训练 1、若直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾 斜角为450,则m的值是 ( B ) (A)3 (B) 2 (C)-2 (D)2与3

2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截 -6 距为3,则m的值是__________

3 设直线 l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6 根据下列条件确定m的值 (1) l 在x轴上的截距为-3; (2) l 的斜率为1. 2m ? 6 解:(1)将y=0代入原方程,得x ? 2 m ? 2m ? 3 2m ? 6 5 ? ?3 m ? ? 或m ? 3(舍去) 解得 所以 2
m ? 2m ? 3 3

5 m ? ? 时, 故当 3
(2)直线 l

l 在x轴上的截距为-3

m 2 ? 2m ? 3 2m ? 6 x? 的方程可化为 y ? ? 2 2m ? m ? 1 2m 2 ? m ? 1

m 2 ? 2m ? 3 4 k ?? ? 1, 解得m ? 或m ? ?(舍) 1 所以 2 2m ? m ? 1 3

注意:解答本题时验算是必不可少的,即Ax+By+C=0 表示直线的条件是: A,B不同时为零

4 m ? 时, l 的斜率为1. 故当 3

直线 l 经过点 P(3,2)且与 x,y 轴的正半轴分别交于 A、B,△OAB 的面积为 12,求直线 l 的方程.

直线 l 经过点 P(3,2)且与 x,y 轴的正半轴分别交于 A、B,△OAB 的面积为 12,求直线 l 的方程.

x y 【解析】 方法 1:设直线 l 的方程为a+b=1(a>0,b>0),
?ab=24 ? 所以 A(a,0),B(0,b),所以?3 2 ?a+b=1 ? ?a=6 ,解得? . ?b=4

x y 所以所求直线 l 的方程为6+4=1,即 2x+3y-12=0.

方法 2:设直线 l 的方程为 y-2=k(x-3). 2 令 y=0, 得直线 l 在 x 轴的正半轴上的截距 a=3-k ; 令 x=0, 得直线 l 在 y 轴的正半轴上的截距 b=2-3k,
2 2 所以(3- k )(2-3k)=24,解得 k=-3. 2 所以所求直线 l 的方程为 y-2=-3(x-3), 即 2x+3y-12=0.

例:利用直线方程的一般式,求过点(0,3) 并且与坐标轴围 成三角形面积是6的直线方程。
解:设直线为Ax+By+C=0, ∵直线过点(0,3)代入直线方程 得3B= -C, B= -C/3 又直线与x,y轴的截距分别为x= -C/A ,y= -C/B 由三角形面积为6得
3

y x O

∴A=±C/4 ∴方程为

所求直线方程为3x-4y+12=0或3x+4y-12=0

1、若直线L1:ax+2y+6=0与

直线L2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,
则求a的值。 2、若直线L1:ax+2y+6=0与 直线L2:x+a2y+a2-1=0垂直, 则求a的值。

一般式方程

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0
l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
A1 B1 C1 l1 // l2 ? ? ? A2 B2 C2

l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0

判断两直线的关系
l1 : 2x ? 3 y ? 5 ? 0 l2 : 4 x ? 6 y ? 7 ? 0
2 3 5 ? ? 4 6 7
? 所以两条直线平行

作业:
书P100---A组4、5、9、11

思考题:
已知直线l 2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的 直线l 1的方程。

解:当x=0时,y=3. (0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对称点 为(2,7).

当x=-2时,y=1. (-2,1)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(4,3).

那么,点 (2,7) ,(4,3)在l 1上

因此,直线l 1的方程为: y ? 7 ? x ? 2
3?7 4?2

化简得: 2x + y -11=0

还有其它的方法吗?
∵ l ∥l

1,所以l

与l 1的斜率相同,

kl1=-2

经计算,l 1过点(4,3) 所以直线的点斜式方程为:y-3=-2(x-4) 化简得: 2x + y -11=0


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