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函数题型方法总结(包括函数三要素、基本性质与图像问题)(教师用)


§函数题型方法总结
第一部分:必考内容与要求
函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数) (1)函数 ① 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. ② 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数. ③ 了解简单的分段函数,并能简单应用. ④ 理解函数单调性、最大(小)值及其几何意义;

结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. ⑤ 会运用函数图像理解和研究函数的性质. (2)指数函数 ① 了解指数函数模型的实际背景. ② 理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. ③ 理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点. ④ 知道指数函数是一类重要的函数模型. (3)对数函数 ① 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了 解对数在简化运算中的作用. ② 理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性,掌握函数图像通过的特殊点. ③ 知道对数函数是一类重要的函数模型; ④ 了解指数函数 (4)幂函数 ① 了解幂函数的概念. 与对数函数 互为反函数( ).

② 结合函数

的图像,了解它们的变化情况.

(5)函数与方程 ① 结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的 个数. ② 根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解. (6)函数模型及其应用 ① 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函 数类型增长的含义. ② 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模 型)的广泛应用.

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第二部分:题型方法总结
题型一:函数求值问题
★(1)分段函数求值→“分段归类”
例 1. (2010 湖北)已知函数 f ( x) ? ? A.4 B.

?log3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) ? (

1 9

)

1 4

C.-4

D-

1 4


例 2.若 f ( x ? 2) ? ? A. ?1

?tan x, x ? 0 ? ,则 f ( ? 2) ? f (?2) ? ( 4 ?log2 (? x), x ? 0
C.2 D. ?2

B.1

例 3.(2009 年山东)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? f(2009)的值为( ) A.-1

x?0 ?log2 (4 ? x), ,则 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
C.1 D. 2

B. -2

★(2)已知某区间上的解析式求值问题→“利用周期性、奇偶性、对称性向已知区间上进行转 化”
? f ( x) 例 4. (2009 年江西)已知函数 f ( x ) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2)
且当 x ? [0, 2) 时, f ( x) ? log2 ( x ? 1 , f (?2008) ? f (2009) 的值为( ) A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2 )

例 5. (2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x ) 满足:x≥4,则 f ( x ) = ( ) ;当 x<4 时

1 2

x

f ( x) = f ( x ? 1) ,则 f (2 ? log2 3) =(
(A)



1 24

( B)

1 12

(C)

1 8

(D)

3 8

x 例 6. (2010 山东理) (5)设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 2x ? b

( b 为常数) ,则 f (?1) ? ( (A)-3 (B)-1

) (C)1 (D)3

★(3)抽象函数求值问题→“反复赋值法”
例 7. (2009 四川卷文)已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是( 2 1 A. 0 B. C. 1 2

) D.

5 2

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例 8. (2010 重庆理)若函数 f ? x ? 满足: f ?1? ? 则 f ? 2010? =_____________.

1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? 4

题型二:函数定义域与解析式
(1)函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础,即处理函数问题必须树立“定义域优先” 这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理解充分体现. (2)求定义域问题本质转化为结不等式,故需掌握常见不等式解法。 (3)掌握求函数解析式的三种常用方法:待定系数法、配凑法、换元法,能将一些简单实际问题中的 函数的解析式表示出来;掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用. 例 1. (2009 江西卷理)函数 y ? A. (?4, ? 1) B. (?4, 1)

ln( x ?1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为(



C. (?1, 1)

D. (?1,1] )

例 2. (2010 湖北文)函数 y ?

1 的定义域为( log 0.5 (4 x ? 3)
C(1,+∞) D. (

A.(

3 ,1) 4

B(

3 ,∞) 4

3 ,1)∪(1,+∞) 4


例 3. (2008 安徽卷)函数 f ( x) ?

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

的定义域为

例 4.求满足下列条件的 f ( x ) 的解析式: (1)已知 f ( x ? ) ? x ?
3

1 x

1 ,求 f ( x ) ; x3

(2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x ) ;

2 x

(3)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x ) ;

(4)已知 f ( x ) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) .
2 例 5. (2009 安徽卷理) 已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8x ? 8 , 则曲线 y ? f ( x) 在

1 x

点 (1, f (1)) 处的切线方程是 (
(()

) (C) y ? 3x ? 2 (D) y ? ?2 x ? 3

(A) y ? 2 x ? 1

(B) y ? x

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题型四:函数值域与最值
关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的,常用的方法有:1.利用基本函数求值域(观 察法)2.配方法;3.反函数法;4.判别式法;5.换元法;6.函数有界性(中间变量法)7.单调性法; 8.不等式法;9.数形结合法;10.导数法等。 例 1.(2010 重庆) (4)函数 y ? 16 ? 4 x 的值域是( (A) [0, ??) (C) [0, 4) ) (B) [0, 4] (D) (0, 4)

x 例 2.(2010 山东)(3)函数 f ? x ? ? log 2 3 ? 1 的值域为(

?

?

)

A.

? 0, ???

B.

? ?0, ?? ?

C.

?1, ???

D. ? ?1, ?? ?

例 3.(2010 天津) (10)设函数 g ( x) ? x2 ? 2( x ? R) , 域是( (A) ? ? )

( x )? x?4, x? g ( x ), f ( x) ? {g g ( x )? x, x? g ( x ). 则 f ( x ) 的值

9 ? 9 ? ? 9 ? , 0 ? ? (1, ??) (B) [0, ??) (C) [? , ??) (D) ?? ,0? ? (2, ??) 4 ? 4 ? ? 4 ?

例 4.(2010 重庆)(12)已知 t ? 0 ,则函数 y ?

t 2 ? 4t ? 1 的最小值为____________ . t
m 的值为( M

例 5.(2008 重庆)已知函数 y= 1 ? x ? x ? 3 的最大值为 M,最小值为 m,则

)

(A)

1 4

(B)

1 2

(C)

2 2

(D)

3 2

例 6.(2008 江西)若函数 y ? f ( x) 的值域是 [ , 3] ,则函数 F ( x) ? f ( x) ?

1 2

1 的值域是( f ( x)

)

A. [

1 , 3] 2

B. [2,

10 ] 3

C. [

5 10 , ] 2 3

D. [3,

10 ] 3

第 4 页 共 4 页

题型五:函数单调性
(一)考纲对照 理科大纲版 内容 函数的单调性、奇偶性 理科课标版 函数的单调性、最值、奇偶性 理解函数的单调性、最大(小)值及其几 了解函数的单调性、奇偶性 何意义;结合具体函数,了解函数奇 的概念, 掌握判断一些简单 偶性的含义. 函数的单调性、 奇偶性的方 会运用函数图像理解和研究函数的性 法. 质.

要求

(二)归纳总结
1、函数单调性的定义 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I : 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、 x2, 当 x1 < x2 都有 f(x1) < f(x2). 那么就说 f(x) 在 这个区间上是增函数。 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ,当 x1 < x2 时都有 f(x1) > f(x2). 那么就是 f(x) 在这个区间上是减函数。 2、定义的等价命题: 设 x1 , x2 ? ?a, b?
(1)◆如果

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则函数在 ? a, b? 是增函数 ? 0 ( x1 ? x 2 ) x1 ? x2

? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ◆ ? x1 ? x2 ? ? ? ? 0 则函数在 ? a, b? 是增函数
◆对于任意的 m,都有 f (m ? 1) ? f (m) ,则函数在 ? a, b? 为增函数。
(2)◆如果

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则函数在 ? a, b? 是减函数 ? 0 ( x1 ? x 2 ) x1 ? x2

◆ ? x1 ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? 0 ? f ( x) 在 ? a, b? 是减函数。 ◆对于任意的 m,都有 f (m ? 1) ? f (m) ,则函数在 ? a, b? 减函数。 3、定义引申的三种题型:

?x1 , x2 ? D
(1)判断函数的单调性

x1 ? x2 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 是增函数
(2)比较自变量的大小

f ( x) 是增函数且 f ( x1 ) ? f ( x2 ), 则 x1 ? x2
(3)比较函数值的大小

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f ( x) 是增函数且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 )
4、有关单调性的几个结论:
(1)y=f(x)与 y=kf(x)

当 k>0 时,单调性相同;当 k<0 时,单调性相反
(2)如果函数 f(x)为增函数 g(x)也为增函数,则有:

f(x)+ g(x)也为增函数,-g(x)为减函数,

1 为减函数。 f ( x)

(3)如果函数 f(x)为增函数 g(x)为减函数,则有:f(x) -g(x)也为增函数 (4)若 f(x)(其中 f(x)>0)在某个区间上为增函数,则
n

f ( x)与f n ( x)

(5)复合函数 f[g(x)]的单调性由 f(x)和 g(x)的单调性共同决定.(同则增异则减)

▲【典型例题】
例 1. (2009 陕西卷理 ) 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足:对任意的 x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) ,有
* .则当 n ? N 时,有 ( x2 ? x1 )( f ( x2 )? f ( x ? 0 1 ))

(A) f (?n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) (C) f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1)

(B) f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1) (D) f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (?n)

例 2.下列函数 f ( x ) 中,满足“对任意 x1 , x2 ? (0, ?? ),当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) 的是 A. f ( x ) =

1 x
x

B. f ( x ) = ( x ? 1)

2

C . f ( x) = e

D. f ( x) ? ln( x ? 1)
1

例 3. (2010 北京)给定函数① y ? x 2 ,② y ? log 1 ( x ?1) ,③ y ?| x ?1| ,④ y ? 2x?1 ,其中在区间
2

(0,1)上单调递减的函数序号是 (A)①② (B)②③ (C)③④

(D)①④

例 4.(2009 高考(福建文))定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 的部分图像如右图所示,则在 ? ?2,0 ? 上,下列函 数中与 f ? x ? 的单调性不同的是 A. y ? x ? 1
2

B. y ?| x | ?1

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C. y ? ?

?2 x ? 1, x ? 0
3 ? x ? 1, x ? 0

D. y ? ?

?e x , x ? o ? ?x ? ?e , x ? 0
1 3

例 5. (2009 高考(辽宁理)) 已知偶函数 f ( x ) 在区间 ?0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取 值范围是 (A)(

1 2 , ) 3 3

(B) [

1 2 , ) 3 3

(C)(

1 2 , ) 2 3

(D) [

1 2 , )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 3

例 6.(2009 高考(海南宁夏理))用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值设 f(x)=min{ x 2 , x+2,10-x} (x ? 0),则 f(x)的最大值为 A.4 B.5

C.6

D.7

例 7. (2009 天津)设函数 f ( x) ? ? A. (?3,1) ? (3,??) C. (?1,1) ? (3,??)

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ) ? x ? 6, x ? 0

B. (?3,1) ? (2,??) D. (??,?3) ? (1,3)

? ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 例 8. (2008 全国)设奇函数 f ( x ) 在 (0,
解集为( )

f ( x) ? f (? x) ? 0的 x

, 0) A. (?1

(1, ? ?)

? 1) B. (??,

(0, 1)

? 1) C. (??,

(1, ? ?)

, 0) D. (?1

(0, 1)

例 9.定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足条件:① [ f ( x1 ) ? f ( x2 )]( x1 ? x2 ) ? 0,( x1 , x2 ? R? , x1 ? x2 ) ; ② f ( x) ? f (? x) ? 0 ( x ? R ) ; ③ f (?3) ? 0 .则不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集是( A. ?x | ?3 ? x ? 0或x ? 3? C. ?x | x ? ?3或x ? 3? 例 10.已知函数 f ( x ) ? ? B. x | x ? ?3或0 ? x ? 3 )

?

?

D. ?x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3?

?a x , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ( x ? 0) ?0 .满足对任意的 x1 ? x 2 都有 x1 ? x 2 ?(a ? 3) x ? 4a, ( x ? 0)
) C. [ ,1)

成立,则 a 的取值范围是( A. ( 0 , ]

1 4

B. (0,1)

1 4

D. ( 0,3)

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题型六:函数奇偶性与周期性

【考点解读】
一、函数奇偶性的定义 (1)定义的解读与理解 【注】:(1)定义域关于原点对称;
(2)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:

f ( x) ? f ( ? x) ? 0 ,

f ( x) ? ?1 f (? x)

(3)判断函数奇偶性的方法:一求二看三化简四比较五得结论

(建议学生画出判断函数奇偶性的算法框图) (2) 、定义的引申:函数的对称性 ◆偶函数关于 y(即 x=0)轴对称,偶函数有关系式 f (? x) ? f ( x) ◆奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式 f ( x) ? f (? x) ? 0 引申 1:函数的线对称 ◆函数 y ? f ( x) 关于 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x)

f (a ? x) ? f (a ? x) 也可以写成 f ( x) ? f (2a ? x) 或 f (? x) ? f (2a ? x)
引申 2:函数的点对称 ◆函数 y ? f ( x) 关于点 ( a, b) 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b

上述关系也可以写成 f (2a ? x) ? f (? x) ? 2b 或 f (2a ? x) ? f ( x) ? 2b
2、奇偶函数的性质: (1)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称;
(2)奇函数在对称区间上单调性相同,偶函数在对称区间上单调性相反; (3)

f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (| x |) ; f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 。

(4)若奇函数

3、函数奇偶性的有关结论:
(1)设

f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:

奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 (2)定义域关于原点对称的任意一个函数 f ( x ) 都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和. 即 f ( x) =

1 [F(x)+G(x)] 其中 F(x) = f ( x ) + f (? x) , G(x) = f ( x ) - f (? x) 2

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二、函数的周期性 1、定义:对于函数 y ? f ( x) ,如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都 有 f ( x ? T ) ? f ( x) 成立,那么就把函数 y ? f ( x) 叫做周期函数,不为零的常数 T 叫做这个函数的 周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、定义的变形和引申
(1)函数

y ? f ( x) 满足如下关系式,则 f ( x)的周期为 2T
B、 f ( x ? T ) ?

A、 f ( x ? T ) ? ? f ( x) C、 f ( x ?

k k 或f ( x ? T ) ? ? f ( x) f ( x)

T 1 ? f ( x) T 1 ? f ( x) )? 或 f (x ? ) ? (等式右边加负号亦成立) 2 1 ? f ( x) 2 1 ? f ( x)

D、其他情形
(2)函数

y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) 且 f (b ? x) ? f (b ? x) ,则可推出

f ( x) ? f (2a ? x) ? f [b ? (2a ? x ? b)] ? f [b ? (2a ? x ? b)] ? f [ x ? 2(b ? a)] 即可以得到
y ? f ( x) 的周期为 2(b-a),即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于 x 轴两条直线对称,则
函数一定是周期函数”
(3)◆如果奇函数满足

f ( x ? T ) ? ? f ( x) 则 可 以 推 出 其 周 期 是 2T , 且 可 以 推 出 对 称 轴 为

x?

T ? 2kT (k ? z ) , 0) (k ? z )(以上 T ? 0 ) 根据 f ( x) ? f ( x ? 2T ) 可以找出其对称中心为 (kT, 2

◆ 如 果 偶 函 数 满 足 f ( x ? T ) ? ? f ( x) 则 亦 可 以 推 出 周 期 是 2T , 且 可 以 推 出 对 称 中 心 为

(

T ? 2kT ,0) (k ? z ) ,根据 f ( x) ? f ( x ? 2T ) 可以推出对称轴为 x ? T ? 2kT (k ? z ) 2
y ? f ( x) 满足 f (T ? x) ? f (T ? x) ( T ? 0 ) ,则函数 y ? f ( x) 是以 4T 为周期的

(以上 T ? 0 )
(4) ◆如果奇函数

周期性函数。 ◆如果偶函数 y ? f ( x) 满足 f (T ? x) ? f (T ? x)( T ? 0 ) ,则函数 y ? f ( x) 是以 2T 为周期的周期性 函数。 ☆两个函数的图象对称性

y ? f ( x) 与 y ? ? f ( x) 关于 x 轴对称。
换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? ? g ( x) ,即它们关于 y ? 0 对称。

y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 关于 y 轴对称。
换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g (? x) ,即它们关于 x ? 0 对称。

y ? f ( x) 与 y ? f (2a ? x) 关于直线 x ? a 对称。
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换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g (2a ? x) ,即它们关于 x ? a 对称。

y ? f ( x) 与 y ? 2a ? f ( x) 关于直线 y ? a 对称。
换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g ( x) ? 2a ,即它们关于 y ? a 对称。

y ? f ( x)与y ? 2b ? f (2a ? x) 关于点(a,b)对称。
【换种说法】 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g (2a ? x) ? 2b ,即它们关于点(a,b) 对称。

y ? f (a ? x) 与 y ? f ( x ? b) 关于直线 x ?

a?b 对称。 2

【典型例题】
1 ? a 是奇函数,则 a ? ____________. 2 ?1 3 例 2. (2008 福建文科高考试题)函数 f ( x) ? x ? sin x ? 1( x ? R) ,若 f (?a) ? 2 ,则 f ( a ) 的值为
例 1. (2009 高考(重庆理))若 f ( x) ?
x

A.3

B.0

C.-1
x -x

D.-2

例 3. (2010 江苏卷)设函数 f(x)=x(e + ae )(x ? R)是偶函数,则实数 a=__________ 例 4. (2009 高考(江西文))已知函数 f ( x) 是 (??,??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 ,且当 x ? [0,2) 时, f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,则 f (?2008 f ( x ? 2) ? f ( x) ) ? f (2009 ) 值为( A. ? 2 B. ? 1 C.1 D.2 例 5. (安徽省合肥八中 2008-2009 学年高三第二次月考)设定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 ) f ( x) ? f ( x ? 2) ? 13 ,若 f (1) ? 2 ,则 f (99) ? ( A.13 B.2
x
-x



C.

13 2
x
-x

D.

2 w.k.s.5.u.c.o.m 13


例 6. (2010 广东理数)3.若函数 f(x)=3 +3 与 g(x)=3 -3 的定义域均为 R,则( A.f(x)与 g(x)均为偶函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 D. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数

例 7. (江苏省海门市 2009 届高三第一次诊断性)已知函数 y ? f ( x) 的图象与函数

g ( x) ? log2 ( x2 ? x ? 2) 的图象关于直线 x ? 2 对称,则 f (3) ? __________.
例 8. (江苏省扬州中学 2008-2009 学年高一第一学期 10 月份月考) 已知定义在 R 上的函数 y ? f ? x ? 满 足 f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? . ,若方程 f ?x ? ? 0 有且仅有三个根,且 x ? 0 为其一个根,则其它两根为 ___________。 例 9. (安徽省宣城中学 2008-2009 学年第一学期高三理科期中)对于定义在 R 上的函数 f ( x ) ,有下述 四个命题: ①若 f ( x ) 是奇函数,则 f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0)对称;

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②若对 x ? R,有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,则 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称; ③若函数 f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,则 f ( x ) 为偶函数; ④函数 y ? f (1 ? x) 与函数 y ? f (1 ? x) 的图象关于直线 x ? 1 对称。 其中正确命题的序号为__________(把你认为正确命题的序号都填上) 例 10. (2009 全国卷Ⅱ文)函数 y= y ? log 2 (A) 关于原点对称 (C) 关于 y 轴对称

2? x 的图像( 2? x

)

(B)关于主线 y ? ? x 对称 (D)关于直线 y ? x 对称

例 11.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ?1) ? ? f ( x), 且f ( x)在?-1, 0? 上是增函数,下列五个关 于 f ( x ) 的命题中 ① f ( x ) 是周期函数; ② f ( x ) 的图象关于 x ? 1 对称;

③ f ( x ) 在[0,1]上是增函数 ④ f ( x ) 在[1,2]上是减函数; ⑤ f (2) ? f (0) 正确命题的个数是( A.1 个 ) B.2 个

C.3 个

D.4 个

例 12. (2010 北京文数)⑷若 a,b 是非零向量,且 a ? b , a ? b ,则函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) 是( ) (A)一次函数且是奇函数 (C)二次函数且是偶函数

(B)一次函数但不是奇函数 (D)二次函数但不是偶函数 )

例 13. (2009 全国卷Ⅰ理)函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( (A) f ( x ) 是偶函数 (C) f ( x) ? f ( x ? 2) (B) f ( x ) 是奇函数 (D) f ( x ? 3) 是奇函数

x 例 14. (2008 安徽)若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? e ,

则有(

) B. g (0) ? f (3) ? f (2) D. g (0) ? f (2) ? f (3)

A. f (2) ? f (3) ? g (0) C. f (2) ? g (0) ? f (3)

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题型七:函数图像 ☆具体要求:
1.掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法. 2.会利用函数图象,进一步研究函数的性质,解决方程、不等式中的问题. 3.用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题. 4.掌握知识之间的联系,进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力. 例 1. (2009 山东卷理)函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为( e x ? e? x
y

).

y 1 O 1 x 1

y

y 1 x O D 1 x

1 O1 x O 1

A

B

C

例 2.(2009 安徽卷理)设 a <b,函数 y ? ( x ? a)2 ( x ? b) 的图像可能是(

).

例 3.(2010 山东文数)函数 y ? 2 ? x 的图像大致是(
x 2



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例 4.函数 y ? e|ln x| ? | x ? 1 | 的图象大致是(



例 5. (2009 江西)如图所示,一质点 P( x, y ) 在 xOy 平面上沿曲线运动,速度大小不 变,其在 x 轴上 的投影点 Q ( x, 0) 的运动速度 V ? V (t ) 的图象大致为
y

P ( x, y )

V (t )
O

V (t )
Q( x, 0)
O
x

V (t )

V (t )

O

t

t

O

t O

t

A

B

C

D
)

例 6. (2008 山东卷 3)函数 y=lncosx(-

π ? <x< ) 的图象是( 2 2

题型八:函数性质的综合应用
高考对这部分内容考查的重点有:①函数的奇偶性、单调性和周期性;②函数与不等式结合;③函 数与方程的综合;④函数与数列综合;⑤函数与向量的综合;⑥函数类型的应用题等.

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例 1. 一给定函数 y ? f ( x) 的图象在下列图中,并且对任意 a1 ? (0,1) ,由关系式 an?1 ? f (an ) 得到的 数列 {an } 满足 an?1 ? an (n ? N * ) ,则该函数的图象是

1

y

y

1
O

y

1
O

y

1
O (D) 1 x

O (A) 1

x

1 (B)

x

(C)1

x

例 2.已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的单调函数,实数 x1 ? x 2 , ? ? ?1, a ? 若 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f (? ) ? f (? ) | ,则( (A) ? ? 0 (B) ? ? 0 ) (C) 0 ? ? ? 1

x1 ? ?x 2 x ? ?x1 ,?? 2 , 1? ? 1? ?

(D) ? ? 1

例 3. (2009 江西卷理) 设函数 f ( x) ?

若所有点 (s, f (t ))(s, t ? D) ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的定义域为 D , ) C. ? 8 D.不能确定
21 世纪教育网

构成一个正方形区域,则 a 的值为( A. ?2 B. ?4

例 4. 56.(2009 湖南卷理)设函数 y ? f ( x) 在( ?? ,+ ? )内有定义。对于给定的正数 K,定义函数

? f ( x), f ( x) ? K f k ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K
fk ( x) = f ( x) ,则 (
A.K 的最大值为 2 C.K 的最大值为 1 )

取 函 数 f ( x) = 2 ? x ? e

?1

。 若 对 任 意 的 x ? (??, ??) , 恒 有

B. K 的最小值为 2 D. K 的最小值为 1

x 2 例 5.在 y ? 2 , y ? log2 x, y ? x , y ? cos2 x 这四个函数中,当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时,使

f(

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 恒成立的函数的个数是( )? 2 2
B.2 C.3 D.4



A.1

例 6.(2009 福建卷理)函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 x ? ?
2

b 对称。据此可推测, 2a

对任意的非零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m ? f ( x) ? ? nf ( x) ? p ? 0 的解集都不可能是 A. ?1, 2? B ?1, 4? C ?1,2,3,4? D ?1,4,16,64?

第 14 页 共 14 页

二.函数与方程的思想方法
函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关 系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组) , 然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达 到解决问题的目的。 例 1.(2009 山东卷理)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增 函 数 , 若 方 程 f(x)=m(m>0) 在 区 间 ?? 8,8? 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.
例 2.(2008 湖北理)已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? a , f (bx) ? 9 x2 ? 6 x ? 2 ,其中 x ? R , a , b 为常数,则 方程 f (ax ? b) ? 0 的解集为
x

.

例 3.(2010 天津文数) (4)函数 f(x)= e ? x ? 2的零点所在的一个区间是 (A)(-2,-1) (B) (-1,0) (C) (0,1) (D) (1,2)
2

例 4. ( 2010 全国卷 1 理数) (15) 直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围 是 .

2 例 5.(2009 江西卷文)若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x3 和 y ? ax ?

A. ? 1 或 -

25 64

B. ? 1 或

21 4
x

C. ?

7 25 或4 64

15 x ? 9 都相切,则 a 等于 4 7 D. ? 或 7 4


例 6.(2009 辽宁卷理)若 x1 满足 2x+ 2 =5, x2 满足 2x+2 log 2 (x-1)=5, x1 + x2 =( (A)

5 2

(B)3

(C)

7 2

(D)4

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