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11高考复习指导讲义


高考复习指导讲义 第十一章 参数方程、极坐标
一、考纲要求 1.理解参数方程的概念, 了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义, 掌握参 数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化 .会正确将极坐标方程 化为 直角坐标方程, 会根据所给条件建立直线、 圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的 参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点 Po(x0,y0),倾斜角为α 的直线 l(如图)的参数方程是

? x ? x0 ? t cos a ? ? y ? y 0 ? t sin a

(t 为参数)

(2)一般式 过定点 P0(x0,y0)斜率 k=tgα =

b 的直线的参数方程是 a

? x ? x 0 ? at (t 不参数) ? ? y ? y 0 ? bt


2 2

在一般式②中,参数 t 不具备标准式中 t 的几何意义,若 a +b =1,②即为标准式,此 2 2 时, | t|表示直线上动点 P 到定点 P0 的距离;若 a +b ≠1,则动点 P 到定点 P0 的距离是

a 2 ? b 2 |t|.
直线参数方程的应用 设过点 P0(x0,y0),倾斜角为α 的直线 l 的参数方程是

? x ? x0 ? t cos a ? ? y ? y 0 ? t sin a

(t 为参数)

若 P1、P2 是 l 上的两点,它们所对应的参数分别为 t1,t2,则 (1)P1、P2 两点的坐标分别是(x0+t1cosα ,y0+t1sinα ) (x0+t2cosα ,y0+t2sinα ); (2)|P1P2|=|t1-t2|;(3)线段 P1P2 的中点 P 所对应的参数为 t,则 t= t1 ? t 2 中点 P
2

到定点 P0 的距离|PP0|=|t|=| t1 ? t 2 |(4)若 P0 为线段 P1P2 的中点, 则 t1+t2=0.
2

2.圆锥曲线的参数方程
x ? a ? r cos? (φ 是参数) (1)圆 圆心在(a,b),半径为 r 的圆的参数方程是 ? ? ? y ? b ? r sin ?

φ 是动半径所在的直线与 x 轴正向的夹角,φ ∈[0,2π ](见图)

? x ? a cos? x2 y2 (2)椭圆 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的参数方程是 ? y ? b sin ? ? a b

(φ 为参数)

椭圆

y2 y2 ? ? 1 (a > b > 0) 的 参 数 方 程 是 a2 b2
1

? x ? b cos? (φ 为参数) 椭圆 ? ? y ? a sin ?

( x ? x0 ) 2 ( y ? y 0 ) 2 ? ?1 a2 b2 (a

? b ? 0 )的参数方程是

? x ? x0 ? a cos? ? ? y ? y 0 ? b sin ?

( ? 为参数) ? 的几何

意义为“离心角” 3)双曲线的参数方程
? x ? a sec? x2 y2 ? ? ? 1 2 2 (ⅰ)双曲线 a b 的参数方程为 ? y ? btg?

( ? 为参数)

? x ? x0 ? a sec? ( x ? x0 ) 2 ( y ? y 0 ) 2 ? ? ?1 2 2 b (ⅱ)双曲线 a 的参数方程是 ? y ? y 0 ? btg?



? 为参数)? 的几何

意义为“离心角” 抛物线的参数方程 y ? 2 px (p>0) 的参数方程为
2

? x ? 2 pt 2 ? ? y ? 2 pt (t 为参数)其中 t 的几

何意义是抛物线上的点与原点连线的斜率的倒数(顶点除外). 3.极坐标 极坐标系 在平面内取一个定点 O, 从 O 引一条射线 Ox, 选定一个单位长度以及计算角 度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O 点叫做极点, 射线 Ox 叫 做极轴. ①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素, 缺一不可. 点的极坐标 设 M 点是平面内任意一点,用ρ 表示线段 OM 的长度,θ 表示射线 Ox 到 OM 的角度 ,那么ρ 叫做 M 点的极径,θ 叫做 M 点的极角,有序数对(ρ ,θ )叫做 M 点的极 坐标.(见图) 极坐标和直角坐标的互化前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与 x 轴的正半轴重 合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式
? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ? '
?? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? y ?tg? ? ( x ? 0) x ?

1.直线的极坐标方程:若直线过点 M ( ?0 ,?0 ) ,且极轴到此直线的角为 ? ,则它的方程为:

? sin(? ? ?) ? ?0 sin(?0 ? ?)
几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点 (2)直线过点 M(a,0) 且垂直于极轴 (3)直线过 M (b, ) 且平行于极轴 方程: (1) ? ? ? ( ? ? R ) 或写成 及 (2) ?cos? ? a (3)ρsinθ=b

? 2

2.圆的极坐标方程: 若圆心为 M ( ?0 ,?0 ) ,半径为 r 的圆方程为:

? 2 ? 2?0 ? cos(? ??0 ) ? ?02 ? r 2 ? 0
2

几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点,r 为半径

??r

过原点的圆(2)当圆心位于 C (a,0) (a>0),a 为半径 (3)当圆心位于 C ( a,

? ? 2acos?
? ? 2as i n ? =2acos(θ -π /2)
ρ =2acos(θ -α )

?
2

) (a ? 0) ,a 为半径

(4)当圆心位于 C(a,α ) ,a 为半径

7.在极坐标系中, ? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线;? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点 的一条直线. 三、知识点、能力点提示 (一)曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化 2 2 例 1 在圆 x +y -4x-2y-20=0 上求两点 A 和 B, 使它们到直线 4x+3y+19=0 的距离分别最 短和最长. 解: 将圆的方程化为参数方程:

? x ? 2 ? 5 cos? ( ? 为参数) ? ? y ? 1 ? 5 sin ?
则 圆 上 点 P 坐 标 为 (2+5cos ? , 1+5sin ? ) , 它 到 所 给 直 线 之 距 离 d=

120cos? ? 15sin ? ? 30 4 2 ? 32

故当 cos(φ -θ )=1,即φ =θ 时 ,d 最长,这时,点 A 坐标为

(6,4);当 cos(φ -θ )=-1,即θ =φ -π 时,d 最短,这时,点 B 坐标为(-2,2). (二)极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化 (三)综合例题赏析 例3 椭圆 ?

?x ? 3 ? cos? (?是参数)的两个焦点坐标是 ? y ? ?1 ? 5 sin ?





A.(-3,5),(-3,-3) B.(3,3),(3,-5) 应选 B.3+3cos 例 4 参数方程
? ? ? x ? cos ? sin ? ? 2 2 (0 ? ? ? 2? )表示 ? ? y ? 1 (1 ? sin ? ) ? 2 ?

C.(1,1),(-7,1) D.(7,-1),(-1,-1)

A.双曲线的一支,这支过点(1, C.双曲线的一支,这支过(-1, ∴应选 B. 例5 在方程 ?

1 1 ) B.抛物线的一部分,这部分过(1, ) 2 2
D.抛物线的一部分,这部分过(-1,

1 ) 2

1 ) 2

? x ? sin ? (θ 为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( ? y ? cos?
3

)

A.(2,-7)

B.(

1 2 , ) 3 3

C.(

1 1 , ) 2 2

D.(1, 0)

∴应选 C.cos2o 2 例 6 下列参数方程(t 为参数)与普通方程 x -y=0 表示同一曲线的方程是(

)

?x ? t A. ? ?y ? t
2

? x ? cos t B. ? 2 ? y ? cos t

? x ? tgt C? 1 ? cos2t ? y? ? 1 ? cos2t ?

? x ? tgt ? D. ? 1 ? cos2t y? ? 1 ? cos2t ?

解:普通方程 x -y 中的 x∈R,y≥0,A.中 x=|t|≥0,B.中 x=cost∈〔-1,1〕 ,故排 除 A.和 B.C.中 y=

2 cos2 t 1 1 2 2 =ctg t= 2 ? 2 =,即 x y=1,故排除 C.∴应选 D. 2 2 sin t tg t x
) D.(x+2) +y =4
2 2 2 2 2 2

例7 曲线的极坐标方程ρ =4sinθ 化 成直角坐标方程为( 2 2 2 2 2 2 A.x +(y+2) =4 B.x +(y-2) =4 C.(x-2) +y =4
2 2 解:将ρ = x ? y ,sinθ =

y x ?y
2 2

代入ρ =4sinθ ,得 x +y =4y,即 x +(y-2) =4.

例8

极坐标ρ =cos(

?
4

? ? )表示的曲线是(
B.椭圆

) C.抛物线 D.圆

A.双曲线 应选 D. 例 10 A.圆 线
2

?
) C.双曲线的一支 D. 抛 物 B.椭圆

4ρ sin 2 =5 表示的曲线是(

? cos ? ? 1 ? 2 ? ? 2 ? cos ? ? 5. 把ρ = x 2 ? y 2 解:4ρ sin 2 =5 ? 4ρ · 2
2

ρ cosθ

2 2 =x,代入上式,得 2 x ? y =2x-5.
2

平方整理得 y =-5x+ ) C.圆

2

25 . .它表示抛物线.∴应选 D. 4
D.抛物线

例 11 极坐标方程 4sin θ =3 表示曲线是( A.两条射线 B.两条相交直线 解:由 4sin θ =3,得 4· ∴应选 B.
2

y2 2 2 =3,即 y =3 x ,y=± 3x ,它表示两相交直线. x2 ? y2

4


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