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湖北省八校2011届高三第一次联考(理科数学)试题及参考答案


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2011 届湖北八校第一次联考数学试题(理科) 参考答案
题号 答案

1

2
A

3
B

/>
4
A

5
C

6
A

7

8
C

9
C

10
B

D

D

11 .

3 3

12 . ?3
?

13.

?9

14 . 1 ? (n ?1)2n

15 .

13 9

? ? ? 16 . (Ⅰ)? p // q

12 cos 2 A ? (1 ? sin A) ? 2sin A , 7

?6(1 ? 2sin 2 A) ? 7sin A(1 ? sin A) , 5sin 2 A ? 7sin A ? 6 ? 0 ,
? sin A ? 3 . (sin A ? ?2舍) 5 1 (Ⅱ)由 S ?ABC ? bc sin A ? 3, b ? 2 ,得 c ? 5 , 2 4 2 又 cos A ? ? 1 ? sin A ? ? , 5
6分

? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5cos A ? 29 ? 20cos A ,

4 2 时, a ? 13, a ? 13 ; 5 4 2 当 cos A ? ? 时, a ? 45, a ? 3 5 . 5
当 cos A ?

10 分 12 分

17 .(Ⅰ)? f ( x) 是偶函数, ? f (? x) ? f ( x) ,
1 ? mx mx ? 1 ? log 2 (1 ? x 4 ) ? , 2 1? x 1 ? x2 ? mx ? 0 ,? m ? 0 . 2分 1 ? f ( x) ? log 2 (1 ? x 4 ) ? , f ( x ) 的递增区间为 [0, ??) ,递减区间为 ( ??, 0] . 1 ? x2 ? log 2 (1 ? x 4 ) ?
4分 (Ⅱ)? f ( x) 是偶函数 ,? f ( x ? k ) ? f ( x ? k ) , 不等式即 f ( x ? k ) ? f ( 3x ?1) ,由于 f ( x ) 在 [0, ??) 上是增函数,

? x ? k ? 3x ?1 , ? x2 ? 2kx ? k 2 ? 9 x2 ? 6 x ? 1 ,
即 8x ? (6 ? 2k ) x ? (1 ? k ) ? 0 ,? ( x ?
2 2

k ?1 k ?1 )( x ? )?0, 2 4

7分

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?

k ?1 k ? 1 3k ? 1 ? (? )? , 2 4 4 1 ? k ? 时,不等式解集为 ? ; 3 1 k ?1 k ?1 k ? 时,不等式解集为 ( ? , ); 3 4 2 1 k ?1 k ?1 k ? 时,不等式解集为 ( ,? ). 3 2 4

12 分

18 . (Ⅰ)? C , D 关于直线 l 对称? C 点坐标为 (2 ? 34 ? 44, 16) 即 (24, 16) ,

把 A 、 B 、 C 的坐标代入解析式,得

? ? 22 ? a sin ? ? b ? ? ? ?19 ? a sin( ? ? ) ? b 6 ? ? ? ?16 ? a sin( 3 ? ? ) ? b ?

① ② ③

② ? ①,得 ③ ? ①,得

a[sin( ? ? ) ? sin ? ] ? ?3 , 6 a[sin( ? ? ) ? sin ? ] ? ?6 , 3

? ?

3 3 ? ? ? 2sin( ? ? ) ? 2sin ? ? sin( ? ? ) ? sin ? ,? cos ? ? 3s in ? ? cos ? ? sin ? , 6 3 2 2 ? (1 ? 3 3 3 ) cos ? ? ( ? 3)sin ? ? 3( ? 1)sin ? , 2 2 2 3 ,? 0 ? ? ? ? 3
?? ? ? ?

? tan ? ? ?

?
6

?

5? , 代入②,得 b ? 19 , 6
5? . 6
7分

再由①,得 a ? 6 ,

? a ? 6, b ? 19 , ? ?

于是, ABC 段的解析式为 y ? 6sin(

?
72

x?

5? ) ? 19 , 6

由对称性得, DEF 段的解析式为 y ? 6sin[

?

?

?

72 ? 当 x ? 92 时,股价见顶.

(68 ? xF ) ?

5? ? ? , 解得 xF ? 92 , 6 2

72

(68 ? x) ?

5? ] ? 19 , 6

10 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, yF ? 6 ? 19 ? 25 ,故这次操作老张能赚 5000 ? (25 ?16) ? 45 000 元. 12 分

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19 . (Ⅰ)? l 与圆相切,?1 ?

m 1? k
2

? m2 ? 1 ? k 2

………… ①

由?

? y ? kx ? m 2 2 2 , 得 (1 ? k ) x ? 2mkx ? (m ? 1) ? 0 , 2 2 ?x ? y ? 1

? ? 1? k 2 ? 0 ? ? ? ?? ? 4m2 k 2 ? 4(1 ? k 2 ) (m 2 ? 1) ? 4(m 2 ? 1 ? k 2 ) ? 8 ? 0 , ? 2 ? x1 ? x2 ? m2 ? 1 ? 0 ? k ?1 ?

? k 2 ? 1, ??1 ? k ? 1 ,故 k 的取值范围为 (?1,1) .
由于 x1 ? x2 ?

2mk 2 2 2 2 ? x2 ? x1 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? , 2 2 1? k 1? k 2 1? k

?0 ? k 2 ? 1

? 当 k 2 ? 0 时, x2 ? x1 取最小值 2 2 .

6分

(Ⅱ)由已知可得 A , A2 的坐标分别为 (?1, 0), (1, 0) , 1

? k1 ?

y1 y y1 y2 (kx ? m)(kx2 ? m) , k2 ? 2 , ? k1 ? k2 ? ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
k2 ? m2 ? 1 2mk ? mk ? 2 ? m2 2 k ?1 k ?1 2 m ?1 2 2 ? ?1 k 2 ?1 k 2 ?1

?

k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? 1
2 2

?

m2 k 2 ? k 2 ? 2m2 k 2 ? m2 k 2 ? m2 k 2 ? m2 , ? 2 m2 ? 1 ? 2 2 ? k 2 ? 1 m ? k2 ? 2 ? 2 2
m2 ? k 2 ? 1, ? k1 ? k2 ?
?1 ? ?(3 ? 2 2) 为定值. 3? 2 2
12 分

由①,得

20 . (Ⅰ)? an?1 ? f (n ? 1) ? 3[an ? f (n)] ? an?1 ? 3an ? f (n ? 1) ? 3 f (n) ,
所以只需 f (n ? 1) ? 3 f (n) ? 2
n?1

? 8n ,

? f (n ? 1) ? 3 f (n) ? ? A ? 2n?1 ? 2Bn ? ( B ? 2C) ,?? A ? 1, ?2B ? ?8, B ? 2C ? 0 ,
? A ? ?1, B ? 4, C ? 2 .故李四设想的 f (n) 存在, f (n) ? ?2n?1 ? 4n ? 2 .

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?an ? f (n) ? 3n?1[a1 ? f (1)] ? 3n?1 (7 ? 5) ? 2 ? 3n?1 , ?an ? 2 ? 3n?1 ? f (n) ? 2 ? 3n?1 ? 2n?1 ? 2(2n ? 1).
(Ⅱ) Sn ? 2(1 ? 3 ? 3 ? ?? 3
2 n?1

5分

) ? (1 ? 2 ? ?? 2n?1 )
7分

?2[3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1)] ? 3n ? 2n ? 2n2 ? 4n. ? Sn ? 2n2 ? 3n ? 2n ? 4n ,
由 Sn ? 2n ? p ? 3 ,得
2 n

3n ? 2n ? 4n 2n ? 4n . p? ? 1? 3n 3n

设 bn ?

3n ? 2n ? 4n ,则 3n 2n ?1 ? 4(n ? 1) 2n ? 4n 2n ? 8n ? 4 2n ? 4(2n ? 1) , ?1 ? ? ? 3n ?1 3n 3n ?1 3n ?1
n ?2 1 2 n?3 n ?2 ? (1 ?1)n?2 ? 1 ? Cn?2 ? Cn?2 ? ?? Cn?2 ? Cn?2

b n ?1 ? bn ? 1 ?
当 n ? 6 时, 2

(n ? 2)(n ? 3) ? 2n ? 2 ? 2(n ? 3) ? 4n ? 8 ? 2n ? 1 , 用数学归纳法证也行) ( 2 689 ? n ? 6 时, bn?1 ? bn . 容易验证 , 1 ? n ? 5 时, bn|?1 ? bn , ? p ? (bn )min ? b6 ? , 729 689 ? p 的取值范围为 ( ??, ). 13 分 729 ? 2(1 ? n ? 2) ?

a2 ? 2 1 2ax( x ? ) a 2a . 21 . f ?( x) ? 2 ? 2x ? a ? 1 1 1 ? ax ? ax 2 2
(Ⅰ)由已知,得 f ?( ) ? 0 且

1 2

a2 ? 2 ? 0 ,? a 2 ? a ? 2 ? 0 ,? a ? 0 ,? a ? 2 . 2a
2分

(Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,?

a 2 ? 2 1 a 2 ? a ? 2 (a ? 2)(a ? 1) 1 a2 ? 2 , ? ? ? ? 0 ,? ? 2a 2 2a 2a 2 2a

1 2ax 1 a2 ? 2 ? 0 ,? f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 [ , ? ?) 上是 ? 0 .又 ? 当 x ? 时, x ? 2 1 ? ax 2 2a
增函数. 5分

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(Ⅲ)a ? (1, 2) 时,由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 [ ,1] 上的最大值为 f (1) ? ln( ? 于是问题等价于: 对任意的 a ? (1, 2) , 不等式 ln( ? 记 g (a) ? ln( ?

1 2

1 2

1 a) ? 1 ? a , 2

1 2

1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) ? 0 恒成立. 2

1 1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) , 1 ? a ? 2 ) ( 2 2 1 a ? 1 ? 2ma ? [2ma ? (1 ? 2m)] , 则 g ?(a ) ? 1? a 1? a ?a ? 0 , ? g (a) 在区间 (1, 2) 上递减,此时, g (a) ? g (1) ? 0 , 当 m ? 0 时, g ?(a) ? 1? a
由于 a ? 1 ? 0 ,? m ? 0 时不可能使 g (a) ? 0 恒成立,故必有 m ? 0 ,
2

? g ?(a ) ?


2ma 1 [a ? ( ? 1)] . 1? a 2m

1 1 1} ? 1 ? 1 , 可 知 g (a) 在 区 间 ( 1 , m i n { 2 , ? 上 递)减 , 在 此 区 间 上 , 有 2m 2m 1 ?1 ? 1, g (a) ? g (1) ? 0 , g (a ? 恒成立矛盾, ) 0 与 故 这时,g ?(a ) ? 0 ,g (a ) 在 (1, 2) 2m

?m ? 0 1 ? 上递增,恒有 g (a) ? g (1) ? 0 ,满足题设要求,? ? 1 ,即 m ? , 4 ? 2m ? 1 ? 1 ?
所以,实数 m 的取值范围为 [ , ? ?) .

1 4

14 分

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