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构造函数法证明不等式的八种方法


导数之构造函数法证明不等式 1、移项法构造函数 【例1】 已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? x ,求证:当 x ? ?1 时,恒有

1?

1 ? ln( x ? 1) ? x x ?1 1 x ?1 ? ? x ?1 x ?1

【解】 f ?( x) ?

∴当 ? 1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 x ? (?1,0) 上为增函数 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 x ? (0,??) 上为减函数 故函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (?1,0) ,单调递减区间 (0,??) 于是函数 f ( x ) 在 (?1,??) 上的最大值为 f ( x) max ? f (0) ? 0 ,因此,当 x ? ?1 时, , f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 ln(x ? 1) ? x ? 0 ∴ ln(x ? 1) ? x (右面得证) 现证左面,令 g ( x) ? ln( x ? 1) ?

1 1 1 x ? 1 , 则g ?( x) ? ? ? 2 x ?1 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

当 x ? (?1,0)时, g ?( x) ? 0;当x ? (0,??)时, g ?( x) ? 0 , 即 g ( x) 在 x ? (?1,0) 上为减函数,在 x ? (0,??) 上为增函数, 故函数 g ( x) 在 (?1,??) 上的最小值为 g ( x) min ? g (0) ? 0 ,

1 ?1 ? 0 x ?1 1 1 ? 1 ? ln( x ? 1) ? x ∴ ln( x ? 1) ? 1 ? ,综上可知,当 x ? ?1时, 有 x ?1 x ?1
∴ 当 x ? ?1 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ? 2、作差法构造函数证明 【例 2】已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ln x. 求证:在区间 (1, ? ?) 上,函数 f ( x) 的图象在函数 2

g ( x) ?

2 3 x 的图象的下方; 3 2 3 1 2 x ? x ? ln x , 3 2

【解】设 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ,即 F ( x) ?
2 则 F ?( x) ? 2 x ? x ?

1 ( x ? 1)(2 x 2 ? x ? 1) = x x

1

当 x ? 1 时, F ?( x) =

( x ? 1)(2 x 2 ? x ? 1) x
1 ?0 6

从而 F ( x) 在 (1, ? ?) 上为增函数,∴ F ( x) ? F (1) ? ∴当 x ? 1 时 g ( x) ? f ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) , 故在区间 (1, ? ?) 上,函数 f ( x) 的图象在函数 g ( x) ? 3、换元法构造函数证明 【例 3】证明:对任意的正整数 n,不等式 ln(

2 3 x 的图象的下方。 3

1 1 1 ? 1) ? 2 ? 3 都成立. n n n

只需令

1 ?x n
3 2

【解】令 h( x) ? x ? x ? ln(x ? 1) , 则 h?( x) ? 3x ? 2 x ?
2

1 3x 3 ? ( x ? 1) 2 ? 在 x ? (0,??) 上恒正, x ?1 x ?1

所以函数 h( x) 在 (0,??) 上单调递增,∴ x ? (0,??) 时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0, 即 x ? x ? ln(x ? 1) ? 0 ,∴ ln(x ? 1) ? x ? x
3 2 2 3

对任意正整数 n,取 x ?

1 1 1 1 ? (0,?? ),则有 ln( ? 1) ? 2 ? 3 n n n n

4、从条件特征入手构造函数证明 【例 4】若函数 y= f ( x) 在 R 上可导且满足不等式 x f ?( x) >- f ( x) 恒成立,且常数 a,b 满 足 a>b,求证: .a f ( a ) >b f (b) 【解】由已知 x f ?( x) + f ( x) >0 ∴构造函数 F ( x) ? xf ( x) , 则 F ( x) ? x f ?( x) + f ( x) >0, 从而 F ( x) 在 R 上为增函数。
'

? a ? b ∴ F (a) ? F (b) 即 a f (a ) >b f (b)
5、构造二阶导数函数证明导数的单调性
x 例.已知函数 f ( x ) ? ae ?

1 2 x 2

(1)若 f(x)在 R 上为增函数,求 a 的取值范围; (2)若 a=1,求证:x>0 时,f(x)>1+x x 解:(1)f′(x)= ae -x, ∵f(x)在R上为增函数,∴f′(x)≥0对x∈R恒成立, -x 即a≥xe 对x∈R恒成立
2

记g(x)=xe ,则g′(x)=e -xe =(1-x)e , 当x>1时,g′(x)<0,当x<1时,g′(x)>0. 知g(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,+ ∞)上为减函数, ∴g(x)在 x=1 时,取得最大值,即 g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e, 即 a 的取值范围是[1/e, + ∞)
x (2)记 F(X)=f(x) -(1+x) = e ?
x

-x

-x

-x

-x

1 2 x ? 1 ? x ( x ? 0) 2

则 F′(x)=e -1-x, x x 令 h(x)= F′(x)=e -1-x,则 h′(x)=e -1 当 x>0 时, h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上为增函数, 又 h(x)在 x=0 处连续, ∴h(x)>h(0)=0 即 F′(x)>0 ,∴F(x) 在(0,+ ∞)上为增函数,又 F(x)在 x=0 处连续, ∴F(x)>F(0)=0,即 f(x)>1+x. 6.对数法构造函数(选用于幂指数函数不等式) 例:证明当 x ? 0时, (1 ? x)
1? 1 x

?e

1?

x 2

7.构造形似函数 例:证明当 b ? a ? e, 证明a ? b
b a

例:已知 m、n 都是正整数,且 1 ? m ? n, 证明: (1 ? m) ? (1 ? n)
n

m

强化训练: 2 1、设 a ? 0, f ( x) ? x ? 1 ? ln x ? 2a ln x 求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1

3

2 、已知定义在正实数集上的函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2ax , g ( x) ? 3a 2 ln x ? b, 其中 a>0,且 2

b?

5 2 a ? 3a 2 ln a , 求证: f ( x) ? g ( x) 2 x ,求证:对任意的正数 a 、 b , 1? x

3、已知函数 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ? 恒有 ln a ? ln b ? 1 ?

b . a

4、 f ( x) 是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf ?( x) ? f ( x) ≤0,对任意正 数 a、b,若 a < b,则必有 (A)af (b)≤bf (a) (C)af (a)≤f (b)
mx 2

( (B)bf (a)≤af (b) (D)bf (b)≤f (a)



5.设函数 f(x)=e +x ﹣mx. (1)证明:f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (2)若对于任意 x1,x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求 m 的取值范围.

6、已知函数

.(1)讨论函数

的单调性;

(2)设

,证明:对任意

.

7.已知函数 f(x)=x +ax﹣lnx,a∈R. (1)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; 2 (2)令 g(x)=f(x)﹣x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自然常数)时,函数 g (x)的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (3)当 x∈(0,e]时,证明: .

2

8.已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 若函数 y=f (x) 的图象在点 (2, f (2) ) 处的切线的倾斜角为 45°, 对于任意的 t∈[1, 2],函数 范围; (Ⅲ)求证: . 在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值

4

9.设函数 f(x)=(1+x) ﹣2ln(1+x) (1)若关于 x 的不等式 f(x)﹣m≥0 在[0,e﹣1]有实数解,求实数 m 的取值范围. (2)证明不等式: (n∈N ) .
*

2

10.已知函数

,其中 a 为实数.

(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)≥0 对定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:对任意的正整数 m,n,不等式 恒成立.

11.设函数 f(x)=lnx﹣

﹣bx

(Ⅰ)当 a=b= 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)令 F(x)=f(x)+ <x≤3) ,其图象上任意一点 P(x0,y0)处切线

的斜率 k≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围;

12.已知函数 f(x)= x +2ax﹣a lnx﹣1 (1)a≠0时,讨论函数 f(x)的单调性; (2)若不等式2xlnx≤xf′(x)+a +1恒成立,其中 f′(x) f(x)是 f(x)的导数,求 实数 a 的取值范围.
2

2

2

13.已知函数 f(x)=ln

1? x . 1- x

(Ⅰ)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

x3 (Ⅱ)求证:当 x∈(0,1)时,f(x)≥2(x+ ); 3
(Ⅲ)设实数 k 使得 f(x)>k(x+

x3 )对 x∈(0,1)恒成立,求 k 的最大值. 3
5

14.设函数 f(x)=a e x lnx+

be x ?1 ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为 y=e(x-1)+2. x

(Ⅰ)求 a,b; (Ⅱ)证明:f(x)>1.利用导数求函数单调性

15.已知函数 f(x)=

e x - e -x -2x.

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性 (Ⅱ)设 g(x)=f(2x)-4bf(x),当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值;

16.函数 f(x)=ln(x+1)-

ax (a>1)讨论 f(x)的单调性 x ?a

17.已知函数 f(x)=xcosx-sinx,x∈[0,

π ],求证:f(x)≤0; 2

18、已知函数

,

,其中

R .

(1)讨论

的单调性;

(2)若

在其定义域内为增函数,求正实数

的取值范围;

(3) 设函数 总有

, 当 成立,求实数

时, 若存在

, 对于任意的



的取值范围.

19、已知函数

.
6

(Ⅰ)求函数

的单调区间;

(Ⅱ) 设 恒成立,求实数 的取值范围.

, 若对任意



, 不等式

20、设函数

表示

的导函数,

, (其



)(1)求 成立,求实数

的单调区间(2)若对任意的 的取值范围

,都有

21、已知函数 的单调性;(Ⅱ)若 ,当 求实数 的取值范围.

,

,其中

R.(Ⅰ)讨论

在其定义域内为增函数,求正实数 时,若 ,

的取值范围;(Ⅲ)设函数 ,总有 成立,

22、已知函数

.

(Ⅰ)若

,求曲线 ,若对任意



处切线的斜率;(Ⅱ)求 ,均存在

的单调区间;(Ⅲ)设 ,使得 ,求

的取值范围。

7


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