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2016山西工程职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 山西工程职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 50 分,第Ⅱ卷 100 分, 卷面共计 150 分,时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本题共有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分;在每小题给出的四个选项中 只有一项

是正确的 1、定义集合运算:A⊙B={ Z | Z ? xy ,x∈A,y∈B},设集合 A={ ? 1 ,0,1}, B=

{sin ? ,cos ?} ,则集合 A⊙B 的所有元素之和为
B 、0 C、 ? 1 D、 sin ? ? cos ?

A、1

2 ? bi 2、如果复数 1 ? 2i (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部都互为相反数,那么 b
等于

2 A、 2 B、 3

2 C、 3 ?

D、2

a 2 n?1 a n 3、若数列{an}满足 a1=5,an+1= 2an + 2 (n∈N+),则其{an}的前 10 项和为
A、50 B、100 C、150 D、200

4、设 f(x)=tan3x+ tan3x ,则 f(x)为

? A、周期函数,最小正周期为 3 ? C、周期函数,最小正周期为 6

2? B、周期函数,最小正周期为 3

D、非周期函数

2 2 5.动点 P(m,n)到直线 l : x ? ?5 的距离为λ m ? n ,点 P 的轨迹为双曲线(且原

点 O 为准线 l 对应的焦点),则λ 的取值为 A、λ ∈R B、λ =1 C、λ >1 D、0<λ <1

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?2 ? x ? 1( x ? 0) ? ? f ( x ? 1)( x? 0)

6.已知函数 f(x)=

,若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根,则

实数 a 的取值范围是 A、 (??,0] B、 [0,1] C、 (??,1) D、 [0,??)

7.四面体的一个顶点为 A,从其它顶点与棱的中点中任取 3 个点,使它们和点 A 在同 一平面上,不同的取法有 A、30 种 B、33 种 C、36 种 D、39 种

8、如图,直三棱柱 ABB1-DCC1 中,∠ABB1=90°,AB=4,BC=2,CC1=1,DC 上有 一动点 P,则Δ APC1 周长的最小值为 A、5+ 21 B、5- 21 C、4+ 21 D、4- 21

a 9、已知函数 f(x)= ? x ? 1 ,设 n =
A、a2<a3<a4 D、a3<a2<a1

f ( xn ) ? 2 xn

,若 ? 1 ≤x1<0<x2<x3,则 C、a1<a3<a2

B、a1<a2<a3

x 10、函数 y= x ? 1 的图象为双曲线,则该双曲线的焦距为
A、4 2 B、2 2 C、4 D、8

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上.

11、已知(x x 于

?

1 x 3 )n 的展开式中第二项与第三项的系数之和等于 27,则 n 等
项。 .

,系数最大的项是第

x 12、若不等式 1-loga (10 ? a ) <0 有解,则实数 a 的范围是

1 13、 n ? ? {n[(1+ n )2 ? 1 ]}=
lim

.

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14、三个好朋友同时考进同一所高中,该校高一有 10 个班,则至少有 2 人分在同一班 的概率为 .

1 1 1 ? 2 ? 2 2 a b ,如图,在 15、若 RtΔ ABC 中两直角边为 a、b,斜边 c 上的高为 h,则 h 1 2 正方体的一角上截取三棱锥 P-ABC,PO 为棱锥的高,记 M= PO ,N=
1 1 1 ? ? 2 2 PA PB PC 2 ,那么 M、N 的大小关系是
.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 16、(本题满分 12 分)

cos 3 x 已知函数 f(x)= cos x +2sin2x
(1)求函数 f(x)的最大值及此时 x 的值; (2)求函数 f(x)的单调递减区间。 17、(本题满分 12 分) 四个纪念币 A、B、C、D,投掷时正面向上的概率如下表所示(0<a<1) 纪念币 概率 A 1/2 B 1/2 C a D a

这四个纪念币同时投掷一次,设ξ 表示出正面向上的个数。 (1)求概率 p(ξ ) (2)求在概率 p(ξ ),p(ξ =2)为最大时,a 的取值范围。 (3)求ξ 的数学期望。 18、(本题满分 12 分)

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如图①在直角梯形 ABCP 中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2,E,F,G 分别是线段 PC、PD,BC 的中点,现将ΔPDC 折起,使平面 PDC⊥平面 ABCD(如图②) (1)求证 AP∥平面 EFG; (2)求二面角 G-EF-D 的大小; (3)在线段 PB 上确定一点 Q,使 PC⊥平面 ADQ,试给出证明。

19、(本题满分 12 分)
2 在平面直角坐标系中,已知 A1(-3,0),A2(3,0),P(x,y),M( x ? 9 ,

0),若实数λ 使向量

A1 P ,λ OM , A2 P 满足λ 2·( OM )2= A1 P · A2 P 。

(1)求点 P 的轨迹方程,并判断 P 点的轨迹是怎样的曲线;

3 (2)当λ = 3 时,过点 A1 且斜率为 1 的直线与此时(1)中的曲线相交的另一点为 B,
能否在直线 x=-9 上找一点 C,使ΔA1BC 为正三角形(请说明理由)。 20、(本题满分 13 分) 已知 f(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0)。 (1)讨论 f(x)的单调性。

1 1 1 4 4 4 (2)证明:(1+ 2 )(1+ 3 )…(1+ n )<e (n∈N*,n≥2,其中无理数
e=2.71828…) 21、(本题满分 14 分) 已知函数

f ?x ?

与函数

y ? a?x ? 1?

?a ? 0? 的图像关于直线 y ? x 对称.

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(1)试用含 a 的代数式表示函数 (2)数列

f ?x ? 的解析式,并指出它的定义域;

?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时, an ? a1 .数列 ?bn ? 中, b1 ? 2 ,
?n ? 1,2,3,??
在函数

S ? ? Pn ? an , n ? S n ? b1 ? b2 ? ?bn .点 ? n ?

f ?x ?

的图像上,求 a 的值;

? l l P (3)在(2)的条件下,过点 n 作倾斜角为 4 的直线 n ,则 n 在y轴上的截距为 1 ?bn ? 1? ?n ? 1,2,3,?? ?a ? 3 ,求数列 n 的通项公式.

参考答案:
一、选择题 1、当χ =-1,1,y∈B,所得元素之和为 0,放 A⊙B 所有元素之和为 0 选 B

2 ? bi (2 ? 2b) ? (4 ? b)i 5 2、 1 ? 2i 由题意知 2-2b=4+b

2 ∴b=- 3 选 C

2 an an ?1 2 2 2 a 3、由 an+1= n + 2 得 a n?1 -2anan+1+a n =0 ∴an+1= an

即{an}为常数列

S10=10a1=50

∴选 A

? ? ? 4、作出 f(x)的图象,当 0≤x< 6 时,f(x)=2tan3x,当 6 <x≤ 3 时,f(x)=0,由图象知 ? f(x)为周期函数,最小正周期为 3 ,故选 A。
2 2 5、D 由双曲线定义及点 P(m,n)到原点的距离为 m ? n 可得:

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m2 ? n2
2 2

1

e= ? m ? n = ? >1, ∴0<λ <1,故选 D。(也可直接用解析法推导) 6、作出函数 f(x)的图象,要使斜率为 1 的直线与 y=f(x),有两个不同的交点, 必须 a<1,故选 C。 7、四面体有四个顶点,6 条棱有 6 个中点,每个面上 6 个点共面。点 A 所在 的每个面中含 A 的 4 点组合有 C 5 个,点 A 在三个面内,共有 3C 5 ;点 A 在 6 条棱的 3 条棱上,每条棱上有 3 个点,这 3 个点与这条棱对棱的中点共面,∴符合条 件的个数有 3C 5 +3=33 个,选 B。
2 2 8、在直三棱柱 ABB1=DCC1 中,AC1= 4 ? 2 ? 1 ? 21

1 1 2 3

3

3

3

将△DCC1 展开与矩形 ABCD 在同一平面内,AP+PC1 最小,此时
2 2 AP+PC1 为 4 ? 3 ? 5 ,∴周长最小值为 5+ 21 ,故选 A。

9、画出函数 f(x)=- x ? 1 的图象,则 an=

f ( xn ) ? 2 xn

表示曲线上动点(xn、f(xn))与 故选 A

定点(0,2)所在直线的斜率,显然 a2<a3<0<a1

1 1 x x 10、D 由于 y= x ? 1 = x ? 1 +1,所以,双曲线 y= x ? 1 与双曲线 y= x 的形状与大小 1 完全相同,而等轴双曲线 y= x 的一条对称轴 y=x 和它的交点为(2,2),(-2,-2),
于是实半轴长为 2 2 ,由对称性知虚半轴长为 2 2 ,从而焦距为 8。 二、填空题
r Cn

11、Tr+1=

1 3 C1 C 2 (x x )n-r(- x )r,由题意知:- n + n =27 ?n=9

∴展开式共有 10 项,二项式系数最大的项为第五项或第六项,故项的系数最大的项为 第五项。 12、当 a>1 时,不等式化为 10-ax>a,要使不等式有解,必须 10-a>0

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∴1<a<10 当 0<a<1 时,不等式化为 0<10-ax<a ? 10-a<ax<10 不等式恒有解 故满足条件 a 的范围是(0,1)∪(1,10)

1 1 1 lim 2 13、 n ? ? [n( n + n )]= n ? ? ( n +2)=2
lim
3 7 A10 14、P=1- 10 ? 10 ? 10 = 25

15、如图,连 CO 交 AB 于 D 点,∵PC⊥面 APB,PO⊥底 ABC ∴AB⊥面 PDC,即 AB⊥PD,∵Δ CPD 为 RtΔ

P

1 1 1 2 2 2 故由已知得: PO = PD + PC 1 1 1 2 2 PD = PA + PB 2 ,故 M=N

A D O B

C

三、解答题

cos 3 x 16、解:(1)∵cos3x=4cos3x-3cosx,则 cos x =4cos2x-3=2cos2x-1
∴f(x)=2cos2x-1+2sin2x

? 2 =2 sin(2x+ 4 )-1

……………………4 分

? ? 在 2x+ 4 =2kπ+ 2 时,f(x)取得最大值 2 2 -1 ? 即在 x=kπ+ 8 (k∈Z)时,f(x)取得最大值 2 2 -1 ……………………6 分

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? (2)∵f(x)=2 2 sin(2x+ 4 )-1
3? ? ? 要使 f(x)递减,x 满足 2kπ+ 2 ≤2x+ 4 ≤2kπ+ 2 5? ? 即 kπ+ 8 ≤x≤kπ+ 8 (k∈Z)

? 又∵cosx≠0,即 x≠kπ+ 2 (k∈Z)

……………………10 分

5? ? ? ? ] ) 于是[kπ+ 8 ,kπ+ 2 ,(kπ+ 2 ,kπ+ 8 均为减区间 …………12 分
17、解: (1)p(ξ 个正面向上,4-ξ 个背面向上的概率,其中ξ 可能取值为 0,1,2,3,4。

1 1 0 ∴p(ξ =0)= C (1- 2 )2 C 2 (1-a)2= 4 (1-a)2
0 2

1 1 1 1 1 0 0 1 C C C C p(ξ =1)= 2 2 (1- 2 ) 2 (1-a)2+ 2 (1- 2 )2· 2 a(1-a)= 2 (1-a) 1 1 1 1 1 0 1 1 0 2 p(ξ =2)= C ( 2 )2 C 2 (1-a)2+ C 2 2 (1- 2 ) C 2 a(1-a)+ C 2 (1- 2 )2·C 2 a2= 4 (1+2a-2
2 2

a2)

1 1 1 a 1 1 2 p(ξ =3)= C ( 2 )2 C 2 a(1-a)+ C 2 2 (1- 2 ) C 2 a2= 2
2 2

1 1 2 p(ξ =4)= C ( 2 )2 C 2 a2= 4 a2
2 2

……………………………………5 分

(2) ∵0<a<1,∴p(ξ =1) <p(ξ =1),p(ξ =4) <p(ξ =3)

1 1? a 2a 2 ? 4a ? 1 4 则 p(ξ =2)- p(ξ =1)= 4 (1+2a-2 a2)- 2 =- ≥0

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?2 ? 2 2? 2 ? a ? ? ? ?2a ? 4a ? 1 ? 0 ? 2 2 ?? ? 2 ? ?? 2 ? a ? 2 ?2a ? 1 ? 0 ? 2 ? 2 由
2

2? 2 2 2? 2 2 ?a? , 2 2 ,即 a∈[ 2 2 ]
(3)由(1)知ξ 的数学期望为

……………………9 分

1 1 1 a a2 Eξ =0× 4 (1-a)2+1× 2 (1-a)+2× 4 (1+2a-2a2)+3× 2 +4× 4 =2a+1………………12
分 18、解:(1)∵EF∥CD∥AB,EG∥PB,根据面面平行的判定定理 ∴平面 EFG∥平面 PAB,又 PA ? 面 PAB,∴AP∥平面 EFG ……………………4 分 (2)∵平面 PDC⊥平面 ABCD,AD⊥DC ∴AD⊥平面 PCD,而 BC∥AD,∴BC⊥面 EFD 过 C 作 CR⊥EF 交 EF 延长线于 R 点连 GR,根据三垂线定理知 ∠GRC 即为二面角的平面角,∵GC=CR,∴∠GRC=45°, …………………8 分 故二面角 G-EF-D 的大小为 45°。 (3)Q 点为 PB 的中点,取 PC 中点 M,则 QM∥BC,∴QM⊥PC 在等腰 Rt△PDC 中,DM⊥PC,∴PC⊥面 ADMQ ……………………12 分

2 1P =(x+3,y), A2 P =(x-3,y), OM =( x ? 9 ,0), 19、解:(1)由已知可得, A
1P · A2 P ,∴ ? 2(x2-9)=x2-9+y2, ∵ ? 2( OM )2= A

即 P 点的轨迹方程(1- ? 2)x2+y2=9(1- ? 2)

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y2 x2 9(1 ? ?2 ) =1, 当 1- ? 2>0,且 ? ≠0,即 ? ∈(-1,0)时,有 9 + y2 9(1 ? ?2 ) >0,∴x2≤9。 ∵1- ? 2>0,∴
∴P 点的轨迹是点 A1,(-3,0)与点 A2(3,0) ………………………………3 分 当 ? =0 时,方程为 x2+y2=9,P 的轨迹是点 A1(-3,0)与点 A2(3,0)

y2 x2 9(1 ? ?2 ) =1,P 点的 当 1- ? 2<0,即入∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,方程为 9 轨迹是双曲线。 当 1- ? 2=0,即 ? =±1 时,方程为 y=0,P 点的轨迹是射线。……………………6 分 (2)过点 A1 且斜率为 1 的直线方程为 y=x+3,

3 x2 y2 当 ? = 3 时,曲线方程为 9 + 6 =1,
由(1)知,其轨迹为点 A1(-3,0)与 A2(3,0) 因直线过 A1(-3,0),但不过 A2(3,0)。 所以,点 B 不存在。 所以,在直线 x=-9 上找不到点 C 满足条件。 …………………………12 分

ax ax2 ? 2 x ? a 2 1 ? x2 20、解:(理)(1)f′(x)=- 1 ? x +a= ………………………………1 分 2x 2 (i)若 a=0 时,f′(x)= 1 ? x >0 ? x>0,f′(x)<0 ?x<0
∴f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减。 …………………………3 分

?a?0 ? a ? ?1 ? ??0 (ii)若 ? 时,f′(x)≤0 对 x∈R 恒成立。

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∴f(x)在 R 上单调递减。 ……………………………6 分

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 a a (iii)若-1<a<0,由 f′(x)>0 ? ax2+2x+a>0 ? <x< 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 a a 由 f′(x)<0 可得 x> 或 x< 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 a a ∴f(x)在[ , ]单调递增 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ,??) 上单调递减。 a a 在(-∞, ],[
综上所述:若 a≤-1 时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递减。………………………………7 分 (2)由(1)当 a=-1 时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递减。 当 x∈(0,+∞)时 f(x)<f(0) ∴ln(1+x2)-x<0 即 ln(1+x2)<x

1 1 1 4 4 4 ∴ln[(1+ 2 )(1+ 3 )……(1+ n )] 1 1 1 1 1 1 4 4 4 2 2 2 =ln[(1+ 2 )(1+ 3 )+…ln(1+ n )< 2 + 3 +…+ n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? n(n ? 1) =1- 2 + 2 - 3 +…+ n ? 1 n =1- n <1 < 1? 2 2 ? 3
1 1 1 4 4 4 ∴(1+ 2 )(1+ 3 )……(1+ n )<e …………………………………………13 分
21、解:(1)由题可知:

f ?x ?

与函数

y ? a?x ?1?

?a ? 0? 互为反函数,所以,

f ?x ? ?

x2 ?1 ? x ? 0? a , …………………………2 分

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S ? ? Pn ? an , n ? n ? (2)因为点 ?

?n ? 1,2,3,??

?n ? 1,2,3,??

S n an ? ?1 ? ? f x a 在函数 的图像上,所以, n

2

(*)
2

a S1 ? 1 ? 1 a ? 1 S1 ? b1 ? 2 a 在上式中令 n ? 1 可得: ,又因为: 1 , ,代入可解得: Sn 2 ? an ? 1 2 ?n ? 1,2,3,?? ①……6 分 ? ? f x ? x ? 1 a ? 1 .所以, ,(*)式可化为: n

(3)直线

l n 的方程为:
y?

y?

Sn ? x ? an ?n ? 1,2,3,?? , n ,

在其中令 x ? 0 ,得

Sn 1 ? an ?bn ? 1? l n ,又因为 n 在y轴上的截距为 3 ,所以,

Sn 1 ? an 2 ?bn ? 1? bn ? 3an ? 3an ? 2 n 3 = ,结合①式可得:
2 2



S ? nan ? n S n?1 ? ?n ? 1?an?1 ? n ? 1 由①可知:当自然数 n ? 2 时, n , ,
两式作差得: 结合②式得:

bn ? nan ? ?n ? 1?an?1 ? 1
2 2

. ③

?n ? 3?an 2 ? 3an ? ?n ?1?an?12 ? 1 ?n ? 2, n ? N ?

a ?1 a ? 1或2 在③中,令 n ? 2 ,结合 1 ,可解得: 2 ,

a ? a1 ,所以,舍去 a2 ? 1 ,得 a2 ? 2 . 又因为:当 n ? 2 时, n
同上,在③中,依次令 猜想: (1)

n ? 3, n ? 4 ,可解得: a3 ? 3 , a4 ? 4 .
…………………………10 分

an ? n ?n ? N ? .下用数学归纳法证明.

n ? 1,2,3 时,由已知条件及上述求解过程知显然成立.

a ? k ?k ? N , 且k ? 3? ,则由③式可得: (2)假设 n ? k 时命题成立,即 k

?k ? 2?ak ?12 ? 3ak ?1 ? kak 2 ? 1

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ak ? k 代入上式并解方程得:
?

a k ?1 ? ?

k 2 ? k ?1 或k ? 1 k ?2

k 2 ? k ? 1 k (k ? 1) ? 1 k 2 ? k ?1 ? ?0 a k ?1 ? ? k ?2 2?k k ?2 由于 k ? 3 ,所以, ,所以,
符合题意,应舍去,故只有

ak ?1 ? k ? 1 .

所以, n ? k ? 1 时命题也成立. 综上可知:数列

?an ? 的通项公式为 an ? n ?n ? N ?

…………………………14 分


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