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2016年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(山东卷)含解析


2016 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(山东卷)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后, 将将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡

上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动, 用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应的 位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂 改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B).

第 I 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
(1)设集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6}, A ? {1,3,5}, B ? {3, 4,5} ,则 ?U ( A ? B) = (A) {2,6} 【答案】A (B) {3,6} (C) {1,3, 4,5} (D) {1, 2, 4,6}

考点:集合的运算 (2)若复数 z ? (A)1+i 【答案】B
2 ,其中 i 为虚数单位,则 z = 1? i

(B)1?i

(C)?1+i

(D)?1?i

【解析】 试题分析: z ?

2 2(1 ? i) ? ? 1 ? i,? z ? 1 ? i ,选 B. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i)

考点:1.复数的运算;2.复数的概念. (3)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时) ,制成了如图所示的频率分布直方图,其中 自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20), [20,22.5), [22.5,25),[25,27.5),[27.5,30). 根据直方图,这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 (A)56 (B)60 (C)120 (D)140

【答案】D

考点:频率分布直方图

? x ? y ? 2, ? (4)若变量 x,y 满足 ? 2 x ? 3 y ? 9, 则 x2+y2 的最大值是 ? x ? 0, ?
(A)4(B)9(C)10(D)12 【答案】C 【解析】 试题分析:画出可行域如图所示,点 A(3,-1)到原点距离最大,所以

( x2 ? y2 )max ? 10 ,选 C.

考点:简单线性规划 (5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为

(A) +

1 2 1 2 π (B ) + π 3 3 3 3

(C) + 【答案】C 【解析】

1 3

2 2 π (D) 1+ π 6 6

试题分析: 由已知,半球的直径为 2 ,正四棱锥的底面边长为 1,高为 1,所以其体积为

1 1 4 2 1 2? ?1?1 ? ? ? ( )3 ? ? ,选 C. 3 2 3 2 3 6

考点:1.三视图;2.几何体的体积. (6)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α, b 内,则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 b 相交”的 (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件 【答案】A (D)既不充分也不必要条件

考点:1.充要条件;2.直线与平面的位置关系. (7)已知圆 M: x2 + y 2 - 2ay = 0(a > 0) 截直线 x + y = 0 所得线段的长度是 2 2 ,则圆 M 与圆 N:
2 (x-1) + ( y - 1)2 = 1 的位置关系是

(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离 【答案】B 【解析】 试题分析:
2 2 2 2 由 x ? y ? 2ay ? 0 ( a ? 0 )得 x ? ? y ? a ? ? a ( a ? 0 ) ,所以圆 ? 的圆心为 ? 0, a ? ,半径为 r1 ? a , 2

?2 2? 因为圆 ? 截直线 x ? y ? 0 所得线段的长度是 2 2 ,所以 ,解得 a ? 2 ,圆 ? 的 ? a ?? ? 2 ? ? 12 ? 12 ? ? a
2

2

圆心为 ?1,1? ,半径为 r2 ? 1 ,所以 ?? ?

? 0 ? 1? ? ? 2 ? 1?
2

2

? 2 , r1 ? r2 ? 3 , r1 ? r2 ? 1,因为

r1 ? r2 ? ?? ? r1 ? r2 ,所以圆 ? 与圆 ? 相交,故选 B.
考点:1.直线与圆的位置关系;2.圆与圆的位置关系. (8) △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b = c, a2 = 2b2 (1- sin A) ,则 A=

(A) 【答案】C

3π π π π (B) (C) (D) 3 4 6 4

考点:余弦定理 (9) 已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时, f(x)=x3-1; 当-1≤x≤1 时, f(-x)= —f(x); 当 x> —

1 1 时, f(x+ )=f(x 2 2

1 ).则 f(6)= 2
(B)-1 (D)2

(A)-2 (C)0 【答案】D 【解析】 试题分析:当 x ?

1 1 1 1 时, f ( x ? ) ? f ( x ? ) ,所以当 x ? 时,函数 f ( x ) 是周期为 1 的周期函数,所以 2 2 2 2

3 f (6) ? f (1) ,又因为当 ?1 ? x ? 1 时, f ? ?x ? ? ? f ? x ? ,所以 f (1) ? ? f (?1) ? ? ?? ?1? ? 1? ? 2 ,故选 ? ?

D. 考点:1.函数的周期性;2.分段函数. (10)若函数 y ? f ( x) 的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y ? f ( x) 具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是 (A) y ? sin x 【答案】A 【解析】 试题分析: 当 y ? sin x 时,y? ? cos x ,cos 0 ? cos ? ? ?1 , 所以在函数 y ? sin x 图象存在两点 x ? 0, x ? ? 使条件成立,故 A 正确;函数 y ? ln x, y ? e , y ? x 的导数值均非负,不符合题意,故选 A.
x 3

(B) y ? ln x

(C) y ? e x

(D) y ? x3

考点:1.导数的计算;2.导数的几何意义.

第 II 卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。

(11)执行右边的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出的 S 的值为_______.

【答案】 1

. 考点:程序框图 (12)观察下列等式:

π 2π 4 (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? ?1? 2 ; 3 3 3 π 2π 3π 4π 4 (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? ? 2 ? 3 ; 5 5 5 5 3 π 2π 3π 6π 4 (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? ??? ? (sin ) ?2 ? ? 3 ? 4 ; 7 7 7 7 3 π 2π 3π 8π 4 (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? (sin ) ?2 ? ??? ? (sin ) ?2 ? ? 4 ? 5 ; 9 9 9 9 3
??

照此规律, (sin 【答案】

π ?2 2π ?2 3π ?2 2nπ ?2 ) ? (sin ) ? (sin ) ? ??? ? (sin ) ? _________. 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

4 ? n ? ? n ? 1? 3

考点:合情推理与演绎推理 (13)已知向量 a=(1,–1),b=(6,–4).若 a⊥(ta+b),则实数 t 的值为________. 【答案】 ?5 【解析】 试题分析:

? ? ? ? ? ta ? b ? ? 6 ? t , ?4 ? t ? , ta ? b ? a ? ? 6 ? t , ?4 ? t ? ? ?1, ?1? ? 2t ? 10 ? 0 ,解得 t ? ?5

?

?

考点:平面向量的数量积

x2 y2 (14)已知双曲线 E : 2 – 2 =1(a>0,b>0) .矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点为 E 的 b a
两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是_______. 【答案】 2 【解析】 试题分析: 依题意,不妨设 AB ? 6, AD ? 4 作出图像如下图所示

则 2c ? 4, c ? 2;2a ? DF2 ? DF 1 ? 5 ? 3 ? 2, a ? 1, 故离心率 考点:双曲线的几何性质 (15)已知函数 f(x)= ?

c 2 ? ?2 a 1

? ? x , x ? m,
2 ? ? x ? 2mx ? 4m, x ? m,

其中 m>0.若存在实数 b,使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不

同的根,则 m 的取值范围是_______. 【答案】 ?3, ??? 【解析】 试题分析: 画出函数图像如下图所示:

由图所示,要 f ? x ? ? b 有三个不同的根,需要红色部分图像在深蓝色图像的下方,即

m ? m2 ? 2m ? m ? 4m, m2 ? 3m ? 0 ,解得 m ? 3
考点:函数的图像与性质,数形结合,分段函数

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分
(16) (本小题满分 12 分) 某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次, 每次转动后, 待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为 x,y.奖励规则如下: ①若 xy ? 3 ,则奖励玩具一个; ②若 xy ? 8 ,则奖励水杯 一个; ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. (I)求小亮获得玩具的概率; (II)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.

【答案】 (? )

5 .( ? )小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 16

试题解析:用数对 ? x, y ? 表示儿童参加活动先后记录的数,则基 本事件空间 ? 与点集

S ? ?? x, y ? | x ? N , y ? N ,1 ? x ? 4,1 ? y ? 4?一一对应.因为 S 中元素个数是 4 ? 4 ? 16, 所以基本事件总
数为 n ? 16. ( ? )记“ xy ? 3 ”为事件 A . 则事件 A 包含的基本事件共有 5 个,即 ?1,1? , ?1,2? , ?1,3? , ? 2,1? , ?3,1? , 所以, P ? A ? ?

5 5 , 即小亮获得玩具的概率为 . 16 16

( ? )记“ xy ? 8 ”为事件 B , “ 3 ? xy ? 8 ”为事件 C . 则事件 B 包含的基本事件共有 6 个,即 ? 2,4? , ?3,3? , ?3,4?? 4,2? , ? 4,3? , ? 4,4 ? , 所以, P ? B ? ?

6 3 ? . 16 8

则事件 C 包含的基本事件共有 5 个,即 ?1,4? , ? 2,2? , ? 2,3? , ?3,2? , ? 4,1? , 所以, P ? C ? ? 因为

5 . 16

3 5 ? , 8 16

所以,小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 考点:古典概型

(17) (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? 2 3sin(π ? x)sin x ? (sin x ? cos x)2 . (I)求 f ( x ) 得单调递增区间; (II)把 y ? f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再把得到的图象向左平移 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( ) 的值. 【答案】 ( ? ) f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ? ( ? ) 3.

π 3

π 6

? ?

?
12

, k? ?

? 5? 5? ? ? k ? Z ? , (或 (k? ? , k? ? ) ? k ? Z ? ) ? 12 12 12 ?

由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

? k ? Z ? , 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? ?k ? Z ?, 12

所以, f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ? (或 ( k? ?

? ?

?
12

, k? ?

5? ? ?k ? Z ?, 12 ? ?

?
12

, k? ?

5? ) ?k ? Z ? ) 12

考点:1.和差倍半的三角函数;2.三角函数的图象和性质; 3.三角函数的图象和性质. (18) (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中 ,D 是 AC 的中点,EF∥DB.

(I)已知 AB=BC,AE=EC.求证:A C⊥FB; (II)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点.求证:GH∥平面 ABC. 【答案】 (Ⅰ) )证明:见解析; ( Ⅱ)见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ) )根据 EF // BD ,知 EF 与 BD 确定一个平面,连接 DE ,得到 DE ? AC , BD ? AC , 从而 AC ? 平面 BDEF ,证得 AC ? FB .

考点:1.平行关系;2.垂直关系. (19) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3n2 ? 8n , ?bn ? 是等差数列,且 an ? bn ? bn?1 . (I)求数列 ?bn ? 的通项公式; (II)令 cn ?

(an ? 1)n?1 .求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . (bn ? 2)n

【答案】 (Ⅰ) bn ? 3n ? 1;(Ⅱ) Tn ? 3n ? 2 n?2 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由题意得 ?

?a1 ? b1 ? b2 ,解得 b1 ? 4, d ? 3 ,得到 bn ? 3n ? 1。 ?a 2 ? b2 ? b3

考点:1.等差数列的通项公式;2.等比数列的求和;3.“错位相减法”. (20) (本小题满分 13 分) 设 f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x,a∈R. (Ⅰ)令 g(x)=f'(x),求 g(x)的单调区间; (Ⅱ)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)当 a ? 0 时,函数 g ? x ? 单调递增区间为 ? 0, ?? ? ; 当 a ? 0 时,函数 g ? x ? 单调递增区间为 ? 0, (Ⅱ ) a ? 【解析】 试题分析:(Ⅰ)求导数 f ' ? x ? ? ln x ? 2ax ? 2a, 可得 g ? x ? ? ln x ? 2ax ? 2a, x ? ? 0, ??? , 从而 g ' ? x ? ?

? ?

1 ? ? 1 ? ? ,单调递减区间为 ? , ?? ? . 2a ? ? 2a ?

1 . 2

1 1 ? 2ax ? 2a ? , x x

讨论当 a ? 0 时,当 a ? 0 时的两种情况即得. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ' ?1? ? 0 .分以下情况讨论:①当 a ? 0 时,②当 0 ? a ? 时,综 合即得.

1 1 1 时,③当 a ? 时,④当 a ? 2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ' ?1? ? 0 . ①当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减. 所以当 x ? ? 0,1? 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减. 当 x ? ?1, ?? ? 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增. 所以 f ? x ? 在 x=1 处取得极小值,不合题意. ②当 0 ? a ?

1 1 ? 1 ? ? 1 ,由(Ⅰ)知 f ' ? x ? 在 ? 0, ? 内单调递增, 时, 2 2a ? 2a ?

考点:1.应用导数研究函数的单调性、极值;2.分类讨论思想. (21) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: (a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2 .

(I)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴与点 N,交 C 于点 A,P(P 在第一象限),且 M 是线段 PN 的中点.过 点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延长线 QM 交 C 于点 B. (i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k',证明 为定值. (ii)求直线 AB 的斜率的最小值.

【答案】(Ⅰ)

x2 y 2 6 ? ? 1 .(Ⅱ)(i)见解析;(ii)直线 AB 的斜率的最小值为 . 4 2 2

应用一元二次方程根与系数的关系得到 x2 ? x1 ?
2 2

y2 ? y1

?18k ? 1? x ? 2k ? 1? x ?18k ?6k ? m ? 2 ? 2 ? m ? 2? ?8k ? 6k ? 1?? m ? 2 ? ? ?m? ?m ? , ?18k ? 1? x ? 2k ? 1? x ?18k ? 1?? 2k ? 1? x
2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 0

2 ? m2 ? 2 ?

?

2 ? m2 ? 2 ?

?

?32k 2 ? m2 ? 2 ?
2

? 1?? 2k 2 ? 1? x0



得到 k AB ?

y2 ? y1 6k 2 ? 1 1 ? 1? ? ? ? 6k ? ? . x2 ? x1 4k 4? k?

应用基本不等式即得. 试题解析:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c, 由题意知 2a ? 4, 2c ? 2 2 , 所以 a ? 2, b ?

a2 ? c2 ? 2 ,
x2 y 2 ? ? 1. 4 2

所以椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)(i)设 P ? x0 , y0 ?? x0 ? 0, y0 ? 0? , 由 M(0,m),可得 P ? x0 ,2m? , Q ? x0 , ?2m? . 所以 直线 PM 的斜率 k ?

2m ? m m , ? x0 x0

直线 QM 的斜率 k ' ?

?2m ? m 3m . ?? x0 x0

k' ? ?3 , k k' 所以 为定值-3. k
此时

所以 x2 ? x1 ?

y2 ? y1

?18k ? 1? x ? 2k ? 1? x ?18k ? 1?? 2k ? 1? x ?6k ? m ? 2 ? 2 ? m ? 2? ?8k ? 6k ? 1?? m ? 2 ? ? ?m? ?m ? ?18k ? 1? x ? 2k ? 1? x ?18k ? 1?? 2k ? 1? x
2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0

2 ? m2 ? 2 ?

?

2 ? m2 ? 2 ?

?

?32k 2 ? m2 ? 2 ?





所以 k AB ?

y2 ? y1 6k 2 ? 1 1 ? 1? ? ? ? 6k ? ? . x2 ? x1 4k 4? k?

考点:1.椭圆的标准方程及其几何性质;2.直线与椭圆的位置关系;3.基本不等式.


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