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高三数学综合题2 (7)


1.复数 ( A. ? i

2i 2 ) (其中 i 为虚数单位)的虚部等于( 1? i
B. ? 1 C. 1 D. 0



2.已知集合 M ? {x | 0 ? x ? 3}, N ? {x | x 2 ? 5 x ? 4 ? 0} ,则 M ? N ? ( A.{x | 0 ? x ? 1} B.

{x |1 ? x ? 3} C.{x | 0 ? x ? 4} ).



D.{x | x ? 0 或 x ? 4}

( )x 1>1,则 p 是 q 的 ( 3.设 p:log2x<0,q:


1 2

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.已知函数 y ? sin( ? 4

? 2 x) ,则其图象的下列结论中,正确的是(
B.关于直线 x ? ? 8 轴对称 D.向左平移 ? 8 后得到偶函数

A.关于点 ? ? 8 ,1 中心对称 C.向左平移 ? 8 后得到奇函数

?

?

5.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有 5 架舰载机准备着舰, 如果甲、 乙两机必须相邻着舰, 而丙、 丁两机不能相邻着舰, 那么不同的着舰方法有 ( ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 48 ) 6.若直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? a ) 2 ? y 2 ? 2 有公共点,则实数 a 取值范围是( A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[-3,l ] D. (-∞,-3] ? [1.+∞)]

7.已知 m 、 n 、 l 是三条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,给出以下命题: ①若 m ? ? , n / /? ,则 m / / n ; ②若 m ? ? , n ?

? , ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l ,则

m ? n ;③若 n / / m , m ? ? ,则 n / /? ;④若 ? / /? , ? / /? ,则 ? / / ? .
其中正确命题的序号是( ③ ) A. ②④ B. ②③ C. ③④ D. ①

8.已知抛物线 y2=4x 的准线过双曲线

x2 y2 - =1(a>0,b>0)的左顶点,且此双曲线 a2 b2
).

的一条渐 近线方程为 y=2x,则双曲线的焦距等于 ( A.

5

B.2 5

C.

3

D.2 3

9.右图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图是面积为 8 2 的矩形. 则该几何体的表面积是( )

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A. 20 ? 8 2 C.8

B. 24 ? 8 2 D.16

10.已知函数 f ? x ? 是 R 上的奇函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ? x ? 2 ? ? f ( x) ,

当x ? ? 0, 2 ? 时, f ? x ? ? log 2 ? x ? 1? 时, f ? ?2013? ? f ? 2012 ? 的值为(
A. ?2 B. ?1 C.1 sin x 11.函数 y=e (-π≤x≤π)的大致图象为 ( D.2 ).



12.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的 a=(m,n) ,b=(p,q) ,令 a ⊙b= mq -np,下面说法错误的是( ) A.若 a 与 b 共线,则 a⊙b =0 B.a⊙b =b⊙a C.对任意的 ? ? R,有( ? a)⊙b = ? (a⊙b) D. (a⊙b)2+(a· b)2= |a|2|b|2 13.执行如右图的程序框图,那么输出 S 的值是
开始



S ? 2, k ? 1

k ? 5?



是 1 S? 1? S

输出 S

结束

k ? k ?1

14.如图,圆 O : x2 ? y 2 ? ? 2 内的正弦曲线 y ? sin x 与 x 轴围成的区域记为 M (图中 阴影部分), 随机往圆 O 内投一个点 A , 则点 A 落在区域 M 内的概率是______________.

试卷第 2 页,总 4 页

1 ( ) x ? sin x ? 1 ? 0 15.给定方程: 2 ,下列命题中:①该方程没有小于 0 的实数解;②
该方程有无数个实数解;③该方程在(–∞,0)内有且只有一个实数解;④若 的实数解,则

x0 是该方程

x0 ? –1.则正确命题是



16.某校对高三年级的学生进行体检,现将高三男生的体重(单位:kg)数据进行整理后 分成六组,并绘制频率分布直方图(如图).已知图中从左到右第一、第六小组的频率分 别为 0.16,0.07,第一、第二、第三小组的频率成等比数列,第三、第四、第五、第六小 组的频率成等差数列,且第三小组的频数为 100,则该校高三年级的男生总数为

17.已知 m ? (2 cos x ? 2 3 sin x , 1) , n ? (cos x ,? y ) ,且 m ? n . (1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的单调增区间; ( 2)已知 a , b , c 分别为 ?ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长,若 f ( ) ? 3 ,且

??

?

A 2

a ? 2 , b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.
18. “中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调 查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取 30 名路 人进行了问卷调查,得到了如下列联表: 反感 不反感 合计 男性 10 女性 8 30 合计

已知在这 30 人中随机抽取 1 人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是

8 . 15

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程) ,并据 此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关? (Ⅱ)若从这 30 人中的女性路人中随机抽取 2 人参加一活动,记反感“中国式过马路” 的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 19.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形,且∠BAD=120° ,且 PA⊥平面 ABCD,PA= 6 ,M,N 分别为 PB,PD 的中点.

试卷第 3 页,总 4 页

(1)证明:MN∥平面 ABCD; (2) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值. 20.设数列 ?a n ? 的前 为 Tn ,且 Tn ? 2 ? 2a n (n ? N ? ) . .n 项积 ..

(Ⅰ)求证数列 ?

?1? ? 是等差数列; ? Tn ?

(Ⅱ)设 bn ? (1 ? a n )(1 ? a n ?1 ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . 21.如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左、右焦点分别为 F1, F2,线段 OF1,OF2 的中点分别为 B1,B2,且△AB1B2 是面积为 4 的直角三角形.

(1)求该椭圆的离心率和标准方程; (2)过 B1 作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2⊥QB2,求直线 l 的方程. 22.已知函数 f(x)=-

1 3 a 2 x + x -2x(a∈R). 3 2

(1)当 a=3 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若对于任意 x∈[1,+∞)都有 f′(x)<2(a-1)成立,求实数 a 的取值范围; (3)若过点 0,- ) 可作函数 y=f(x)图象的三条不同切线,求实数 a 的取值范围.

1 3

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析: (

2i 2 2i 2 2i 2 ) ? ? ? ?i ,所以虚部为 ?1 ,故应选 B. 1? i (1 ? i ) 2 ?2i

考点:复数的运算。 点评:本题直接考查复数的运算,我们要熟练掌握复数的运算。属于基础题型。 2.A 【解析】 试题分析: N ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ? {x | x ? 1或x ? 4},? M ? N ? {x | 0 ? x ? 1} . 考点:集合的运算;集合的表示方法。 点评:对于集合的运算,我们要注意区间端点处的值。属于基础题型。 3.B 【解析】
x 1 试题分析:依题意得,p:log2x<0?0<x<1,q: ( ) >1?x<1,所以 p?q,但 q ? ? p,所


1 2

以 p 是 q 的充分不必要条件,故选 B. 考点:对数函数的性质;指数函数的性质;充分、必要、充要条件。 点评:对于解对数不等式,我们要注意对数函数的定义域。这是易错点,我们一定要注意。 4.C 【解析】 试题分析:对于 A: y ? sin(

?
4

?? ? 2 x) ? ? sin ? ? 2 x ? ? ,其对称中心的纵坐标应为 0,故排
? 4?

除 A;对于 B:当 x ? ? 8 时,y=0,既不是最大值 1,也不是最小值-1,故可排除 B;对于 C:

? ?? ? y ? sin( ? 2 x) ? ? sin ? 2 x ? ? 4 4? ?











?

8









? ? ?? ?? y ? ? sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? ? sin 2 x 为奇函数,正确;可排除 D.故选 C. 8 ? 4? ? ?
考点:函数 y ? Asin ??x ? ? ? 的图像和性质。 点 评 : 若 函 数 f ( x) ? A s i n ?( x ? ?) 为 偶 函 数 , 则 ? ?

?
2

? k? , k ? Z ; 若 函 数

f ( x) ? A s i n ?( x ? ? ) 为奇函数,则 ? ? k? , k ? Z 。
5.C 【解析】

, 试题分析:分三步:把甲、乙捆绑为一个元素 A ,有 A2 种方法; A 与戊机形成三个“空” 把丙、丁两机插入空中有 A3 种方法;考虑 A 与戊机的排法有 A2 种方法.由乘法原理可知
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2
2

2

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2 2 共有 A2 ? 24 种不同的着舰方法.故应选 C. A3 A2

2

考点:排列、组合。 点评:我们在排序过程中,常用到相邻“捆绑”和不相邻“插空”的方法进行排序,在捆绑 时,我们要注意其内部的顺序。 6.C 【解析】 试题分析:因为直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? a ) ? y ? 2 有公共点,所以圆心 (a, 0) 到直线
2 2

x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

a ? 0 ?1 2

? 2, 即 a +1 ? 2,所以-3 ? a ? 1 。

考点:直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式。 点评:直线与圆的位置关系,我们通常用圆心到直线的距离和半径之间的关系进行判断。 7.A 【解析】 试题分析:①中直线还可能异面;③中需指明直线 n 不在平面内。 考点:空间中点、线、面的位置关系。 点评:本题以命题真假的判断为载体,考查了空间中线线与线面平行的判断和空间点、线、 面位置关系的判断等知识点,属于基础题. 8.B 【解析】 试题分析:∵抛物线 y2=4x 的准线 x=-1 过双曲线 =1, ∴双曲线的渐近线方程为 y=±

x2 y2 - =1(a>0,b>0)的左顶点,∴a a2 b2

b x=±bx.∵双曲线的一条渐近线方程为 y=2x, ∴b=2, a

∴c= a2 +b2 = 5 ,∴双曲线的焦距为 2 5 . 考点:双曲线的简单性质;抛物线的简单性质。

x2 y2 y2 x2 b y ? ? x ? ? 1 点评:双曲线 2 的渐近线方程为 ;双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 a a b a b2
y?? a x。 b

9.A 【解析】 试题分析:由已知俯视图是矩形,则该几何体为一个三棱柱,根据三视图的性质,俯视图的 矩形宽为 2 2 , 由面积 8 2 得长为 4 ,则

S ? S侧 +2S底 =(8 2+2 ? 2 ? 4) +2 ? 1 ? 2 2 ? 2 = 2

20 ? 8 2 .
考点:三视图;棱柱的结构特征。
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点评:做这类问题的关键是:根据三视图正确还原几何体的形状及一些数量关系。考查了学 生的空间想象能力。属于常见题型。 10.B 【解析】 试题分析:由 f ? x ? 2 ? ? f ( x) 知,函数 f ? x ? 的周期为 2,所以 f ? ?2013? ? f ? 2012 ?

? ? f (2013) ? f (1006 ? 2) ? ? f (1006 ? 2 ? 1) ? f (0) ? ? f (1) ? f (0) ? ?1.
考点:函数的奇偶性;函数的周期性;对数函数的性质。 点评:本题主要考查函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用。若对定义域内的任意 x 有 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,则可得 f ( x) 为周期函数且函数的周期 T=8 ;若对定义域内的任意 x 有 f ( x ? 4) ? f (- x) , 则 可 得 f ( x) 的 对 称 轴 为 x=2 ; 若 对 定 义 域 内 的 任 意 x 有 。 f ( x ? 4) ? ? f (- x) ,则可得 f ( x) 的对称中心为(2,0) 11.D 【解析】 试题分析:取 x=-π,0,π 这三个值,可得 y 总是 1,故排除 A、C;当 0<x<

?
2

时,sin x

是增函数,ex 也是增函数,故 y=esin x 也是增函数,故选 D. 考点:复合函数的单调性;指数函数的性质;正弦函数的性质;函数的图像。 点评:我们判断函数的图像,一般可以根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊值 或特殊点进行判断。 12.B 【解析】 试题分析:由定义知:a⊙b= mq-np:所以选项 A 正确;又 b⊙a=pn-mq≠a⊙b= mq-np, 所以选项 B 错误; ( ? a)⊙b= ? mq ? ? np , ? (a⊙b)= ? ( mq-np)=

? mq ? ? np ,所以

2 2 对任意的 ? ? R, 有 ( ? a) ⊙b = ? (a⊙b) , 选项 C 正确; (a⊙b) + (a· b) =( mq-np)2+( mp+nq)2=

m 2 q 2 ? n 2 p 2 ? m 2 p 2 ? n 2 q 2 ,|a|2|b|2= ? m 2 ? n 2 ?? p 2 ? q 2 ? ? m 2 q 2 ? n 2 p 2 ? m 2 p 2 ? n 2 q 2 ,
所以(a⊙b)2+(a· b)2= |a|2|b|2,因此 D 正确。 考点:向量的数量积运算;向量的数量积的有关性质。 点评:本题考查向量的数量积的运算,解题时要注意新定义运算的灵活运用,合理地运用平 面向量数量积的有关性质进行解题. 13. ?1 【解析】

S ? 2, k ? 1; S ? ?1, k ? 2; S ?
试题分析: 由框图知: 不满足条件,输出 S 的值是 ?1 .

1 , k ? 3; S ? 2, k ? 4; S ? ?1, k ? 5, 2

答案第 3 页,总 10 页

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考点:程序框图。 点评:程序框图是课改之后的新增内容,在考试中应该是必考内容。一般情况下是以一道小 题的形式出现,属于较容易题目。一般的时候,如果循环次数较少,我们可以一一写出,若 循环次数较多,我们需要寻找规律。 14.

? ??

【解析】
解:构成试验的全部区域为圆内的区域,面积为? 3 正弦曲线y ? sinx与x轴围成的区域记为M, 根据图形的对称性得:面积为S ? 2 ? 0? sinxdx ? ?2cosx |0? ? 4, 由几何概率的计算公式可得,随机往圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率P ? 4/? 3故选B.

15.②③④ 【解析】

1 1 1 ( ) x ? sin x ? 1 ? 0 sin x ? 1 ? ( ) x 1 ? ( )x f ( x ) g ( x ) 2 ,令 2 ,在 试题分析:由 2 得 = sin x , = 1 1 ? ( )x 2 同一坐标系中画出两函数的图像如右,由图像知:①错,③、④对,而由于 g ( x) =
递增,小于 1,且以直线 y ? 1 为渐近线, f ( x) = sin x 在-1 到 1 之间振荡,故在区间(0,+?) 上,两者图像有无穷多个交点,所以②对,故选填②③④.

考点:函数的零点;方程的根;正弦函数的图像;指数函数的图像。 点评:把方程根的个数转化为函数图像的交点的个数是做本题的关键。本题就是把方程

1 1 ( ) x ? sin x ? 1 ? 0 1 ? ( )x f ( x ) g ( x ) 2 2 的交点进行解决的, 的根转化为函数 = sin x 和函数 =
考查了学生分析问题、解决问题的能力,同时也考查了学生的数形结合思想,对学生的能力 要求较高。 16.400 【解析】 试题分析:设第一、第二、第三小组的频率依次是 0.16,0.16t,0.16t2(t>0),则由后四小组的 频率成等差数列可知,0.16t2+0.07 为第四、第五小组的频率之和.由 0.16+0.16t+2(0.16t2 +0.07)=1,可得 t= 为 400 人.
答案第 4 页,总 10 页

5 7 ,t=- (不合题意,舍去).∴第三小组的频率为 0.25,故总人数 4 4

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考点:频率分布直方图。 点评:在频率分布直方图中,小长方形的面积就是这组数据的频率。我们要灵活应用这条来 解题。 17. (1) y ? 2sin ? 2 x ? 【解析】 试题分析: (1)由 m ? n 得 m ? n ? 0 ,? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0 即 y ? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ? ∴? ∴?

? ?

??

? ? 1 , [? ? k? , ? k? ], k ? Z (2) 3 。 3 6 6? ;

?

?

??

?

2分

?
6

) ?1 4 分

?
?
2

? 2 k? ? 2 x ? ? k? ? x ? A 2

?
6

?

?
2

? 2 k? , k ? Z ,

5分

?
6

3

? k? , k ? Z ,即增区间为 [?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ], k ? Z

6分

(2)因为 f ( ) ? 3 ,所以 2sin( A ? ∴ A?

?

?
6

? 2k? ?

?
2

) ? 1 ? 3 , sin( A ? ) ? 1 , 7 分 6 6

?

,k ? Z

8分 . 9分
2 2

因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?
2 2

?
3
2

由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ,即 4 ? b ? c ? bc ∴ 4 ? (b ? c) 2 ? 3bc ,因为 b ? c ? 4 ,所以 bc ? 4 ∴ S? ABC ?

10 分 11 分

1 bc sin A ? 3 . 2

12 分

考点:向量的数量积;向量垂直的条件;三角函数的性质;余弦定理;三角形的面积公式。 点评:本题是一道三角函数同向量结合的问题,是以向量垂直为条件,得到三角函数的关系 式,是一道综合题,在高考时可以选择和填空形式出现,也可以作为解答题的一部分出现。 18. (Ⅰ) 男性 反感 不反感 合计 10 6 16 女性 6 8 14 合计 16 14 30

没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. (Ⅱ)

X P

0

1

2

48 15 91 91 4 48 15 6 X 的数学期望为: EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 13 91 91 7

4 13

【解析】

答案第 5 页,总 10 页

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试题分析: (Ⅰ) 男性 反感 不反感 合计 3分 10 6 16 女性 6 8 14 合计 16 14 30

30(10 ? 8 ? 6 ? 6) 2 由已知数据得: ? ? ? 1.158 ? 3.841 , 16 ?14 ?16 ?14
2

所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2.
2 1 C8 C1 4 48 6 C8 P( X ? 0) ? 2 ? , P( X ? 1) ? 2 ? , C14 13 C14 91 2 C6 15 ? , 2 C14 91

6分

P( X ? 2) ?

9分

所以 X 的分布列为:

X P

0

1

2

48 15 91 91 4 48 15 6 X 的数学期望为: EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 13 91 91 7

4 13

12 分

考点:列联表;独立检验;随机事件的概率;分布列;数学期望。 点评:分布列的求解应注意以下几点: (1)弄清随机变量每个取值对应的随机事件; (2)计 算必须准确无误; (3)注意用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确。 19.(1)只需证 MN∥BD;(2)

33 。 33

【解析】 试题分析:(1)如图,连接 BD.∵M,N 分别为 PB,PD 的中点,∴在△PBD 中,MN∥BD. 又 MN?平面 ABCD,∴MN∥平面 ABCD. (2)如图建系: A(0,0,0), P(0,0,2 6 ), M (3,0). 设 Q(x,y,z),则 C Q =(x- 3 ,y-3,z),C P =(- 3 ,-3,2 6 ). ∵C Q =λC P =(- 3 λ,-3λ,2 6 λ),∴Q( 3 - 3 λ,3-3λ,2 6 λ). 由 A Q ⊥C P ?A Q · C P =0,得 λ=

3 3 2 3 2 6 N( 3 , 0, C( 3 , , , 6) , (,2, ) ), 2 2 3 3

??

??

??

??

??

??

??

??

1 2 3 2 6 .即:Q (,2, ) 3 3 3

答案第 6 页,总 10 页

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对于平面 AMN:设其法向量为 n=(a,b,c).

a2 ] ?? ? ?? ? 4 ∵A M = , A =( 3 ,0, 6 ). N 16(m 2 +1) m 2 +5 [1,

则 ∴n= (

?

?

3 1 6 , ,? ). 9 3 18 3 5 6 ,1, ? ) 3 6

同理对于平面 QMN,得其法向量为 v= (

记所求二面角 A-MN-Q 的平面角大小为 θ,则 cosθ=

33 . 33

∴所求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值为

33 . 33

考点:线面垂直的性质定理;线面平行的判定定理;二面角。 点评:二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种:①综 合法,综合法的一般步骤是:一作二说三求。②向量法,运用向量法求二面角应注意的是计 算。很多同学都会应用向量法求二面角,但结果往往求不对,出现的问题就是计算错误。 20. (Ⅰ)只需证 【解析】 试题分析: (Ⅰ)

n 1 1 1 (Ⅱ) 。 ? ? 3n ? 9 Tn Tn ?1 2 即可;

1 3 ? T1 2

1分

由题意可得: Tn ? 2 ? 2

Tn ? Tn ? Tn ?1 ? 2Tn ?1 ? 2Tn (n ? 2) , Tn ?1
6分

所以

1 1 1 ? ? Tn Tn ?1 2

(Ⅱ)数列 ?

?1? n ?1 1 n?2 , an ? , 8分 ? 为等差数列, ? n?2 Tn 2 ? Tn ?
答案第 7 页,总 10 页

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bn ?

1 (n ? 2)(n ? 3)

10



Sn ?

1 1 1 ? ?? ? 3? 4 4 ? 5 ( n ? 2) ? ( n ? 3)

1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 3 4 4 5 n?2 n?3 1 1 n 12 分 ? ? ? 3 n ? 3 3n ? 9
考点:等差数列的性质;数列通项公式的求法;数列前 n 项和的求法;裂项法。 点 评 : 常 见 的 裂 项 公 式 :

1 1 1 1 1 1 1 , ? ? ( ) , n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k) k n n ? k

1 1 1 1 1 1 1 1 , ? ( ) , ? ( (2n - 1)(2n ? 1) 2 2n - 1 2n ? 1 n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 n ? n ?1
21.(1)

? n ?1 - n ,

1 n ? n?k

?

1 ( n ? k - n) 。 k

2 x2 y2 5 ;(2) x+2y+2=0 和 x-2y+2=0. + =1,e= 5 20 4

【解析】 试题分析: (1)设所求椭圆的标准方程为

x2 y2 + =1(a>b>0), 右焦点为 F2(c,0). 因为△AB1B2 a2 b2
c . 2

是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2 为直角,因此|OA|=|OB2|,得 b= 结合 c2=a2-b2,得 4b2=a2-b2,故 a2=5b2,c2=4b2,∴离心率 e=

c 2 5. = 2 5 1 c 在 Rt△AB1B2 中,OA⊥B1B2,故 S△AB1B2= |B1B2|· |OA|=|OB2|· |OA|= b=b2. 2 2
由题设条件 S△AB1B2=4,得 b2=4,从而 a2=5b2=20. 因此所求椭圆的标准方程为

x2 y2 + =1. 20 4

(2)由(1),知 B1(-2,0),B2(2,0).由题意,知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程为 x=my-2,代入椭圆方程,得(m2+5)y2-4my-16=0. 设 P(x1, y1), Q(x2, y2), 则 y1, y2 是上面方程的两根, 因此 y1+y2= 又 B2 P =(x1-2,y1), B2Q =(x2-2,y2), ∴ B2 P · B2Q =(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+ 16=-

???? ?

???? ?

4m 16 , y1· y2=- 2 . 2 m +5 m +5

???? ? ???? ?

16(m2 +1) 16m2 16 m 2 -64 - + 16 =- . m2 +5 m2 +5 m 2 +5
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由 PB2⊥QB1,得 B2 P · B2Q =0,即 16m2-64=0,解得 m=±2. ∴满足条件的直线有两条,其方程分别为 x+2y+2=0 和 x-2y+2=0. 考点:椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;直线与椭圆的综合应用。 点评:直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位 置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类 讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法. 22.(1) 增区间为(1,2),减区间为(-∞,1)和(2,+∞). (2) (-1,8); (3) (2,+∞). 【解析】 试题分析:(1)当 a=3 时,f(x)=-

???? ? ???? ?

1 3 3 2 x + x -2x,得 f′(x)=-x2+3x-2. 3 2

因为 f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2), 所以当 1<x<2 时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x<1 或 x>2 时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. 故函数 f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞). (2)方法一:由 f(x)=-

1 3 a 2 x + x -2x,得 f′(x)=-x2+ax-2. 3 2

因为对于任意 x∈[1,+∞)都有 f′(x)<2(a-1)成立, 即对于任意 x∈[1,+∞)都有-x2+ax-2<2(a-1)成立,即对于任意 x∈[1,+∞)都有 x2- ax+2a>0 成立. 令 h(x)=x2-ax+2a,

要使 h(x)对任意 x∈[1,+∞)都有 h(x)>0 成立,必须满足 Δ<0,或

即 a2-8a<0 或 方法二:由 f(x)=-

所以实数 a 的取值范围为(-1,8).

1 3 a 2 x + x -2x,得 f′(x)=-x2+ax-2. 3 2

因为对于任意 x∈ [1,+∞)都有 f′ (x)<2(a- 1)成立,即对于任意 x∈ [1,+ ∞)都有 f′ (x)max<2(a-1). 因为 f′(x)=- (x-

a 2 a2 a ) + -2,其图象开口向下,对称轴为 x= . 2 2 4

①当

a <1,即 a<2 时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减,所以 f′(x)max=f′(1)=a-3. 2

由 a-3<2(a-1),得 a>-1,此时-1<a<2;

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a2 ] 1 3 a 2 a 4 ②当 ≥1,即 a≥2 时,f′(x)在 (t,- t + t -2t) 上单调递增,在 ( ,+?) 上单调递 2 3 2 2 16(m +1) m 2 +5 [1,
减,所以 f′(x)max=f′ ( ) =

a 2

a2 a2 -2.由 -2<2(a-1),得 0<a<8,此时 2≤a<8. 4 4

综上①②可得,实数 a 的取值范围为(-1,8).

a 2 t -2t) 是函数 y=f(x)图象上的切点, 则过点 P 的切线的斜率为 k=f′(t) 2 1 a =-t2+at-2,所以过点 P 的切线方程为 y+ t3- t2+2t=(-t2+at-2)(x-t). 3 2 1 1 1 a 2 1 1 因为点 (0,- ) 在切线上, 所以- + t3- t2+2t=(-t2+at-2)(0-t), 即 t3- at2+ 3 3 3 2 3 2 3
(3)设点 P (t,- t +
3

1 3

=0. 若过点 (0,- ) 可作函数 y=f(x)图象的三条不同切线,则方程 同的实数解.

1 3

2 3 1 2 1 t - at + =0 有三个不 3 2 3

2 3 1 2 1 t - at + (,- ) ,则函数 y=g(t)与 t 轴有三个不同的交点. 3 2 3 a 令 g′(t)=2t2-at=0,解得 t=0 或 t= 2 1 a 1 3 1 a 1 3 1 因为 g(0)= ,g ( ) =- a + ,所以 g ( ) =- a + <0,即 a>2. 3 2 24 3 2 24 3
令 g(t)= 所以实数 a 的取值范围为(2,+∞). 考点:导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;二次函数的性质; 点评:我们要灵活应用导数的几何意义求曲线的切线方程,尤其要注意切点这个特殊点,充 分利用切点即在曲线方程上, 又在切线方程上, 切点处的导数等于切线的斜率这些条件列出 方程组求解。做本题时我们要注意在某点处的切线方程和过某点的切线方程的区别。

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