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浙江省2014届理科数学专题复习试题精选5:指数与指数函数及对数与对数函数(教师版)


浙江省 2014 届理科数学专题复习试题精选 5:指数与指数函数及对数与对数函数

一、选择题 1 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) 已知 x, y 为正实数,则 ( )



A. 2lg x?lg y ? 2lg x ? 2lg y C. 2lg x?lg y ? 2

lg x ? 2lg y
【答案】D

B. 2lg( x? y ) ? 2lg x ? 2lg y D. 2lg( xy ) ? 2lg x ? 2lg y

2 . (2013 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题)设函数 f ( x ) ? 2 ,则下列结论中正确的是
x

( A. f (?1) ? f (2) ? f (? 2) C. f (2) ? f (? 2) ? f (?1)
【答案】D 解:由题意, f ( x) ? 2 ? 2
x ?x



B. f (? 2) ? f (?1) ? f (2) D. f (?1) ? f (? 2) ? f (2)

? f (? x) ,即 f ( x) 为偶函数.

? f (?1) ? f (1) ? 故 ? f (?2) ? f (2) . 显然 x ? 0时,f ( x) ? 2 x 单调递增. ? ? f (? 2) ? f ( 2)
所以 f (?1) ? f (1) ? f (? 2) ? f ( 2) ? f (?2) ? f (2)
3 . (浙江省重点中学 2013 届高三上学期期中联谊数学 (理) 试题) y 设
1

1 ? (a ? 1) x 与 y ? ( ) x ( a ? 1 且 a ≠2) a
( )

具有不同的单调性,则 M ? (a ? 1) 3 与 N ? ( )3 的大小关系是 A.M<N
【答案】C

1 a

B.M=N

C.M>N

D.M≤N
x 2

4 . (浙江省十校联合体 2013 届高三上学期期初联考数学(理)试题)已知函数 f(x)=1-2 , g(x)= x -4x+3

若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为 A. [2 ? 2, 2 ? 2] D. (1,3)
【答案】B 5 . (浙江省宁波市金兰合作组织 2013 届高三上学期期中联考数学(理)试题)函数 y ? a ?
x

( B. (2 ? 2, 2 ? 2)



C . [1,3]

1 (a ? 0, a ? 1) a

的图象可能是

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【答案】D 6 . (浙江省嘉兴市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学试卷)若 0 ? a ? 1 , loga (1 ? x ) ? loga x ,则 (



A. 0 ? x ? 1
【答案】C;

B. x ?

1 2

C. 0 ? x ?

1 2

D.

1 ? x?1 2

7 . (浙江省金丽衢十二校 2013 届高三第二次联合考试理科数学试卷)对数函数 y ? log a x ( a

? 0且a ? 1 )

与二次函数 y ? ?a ? 1?x ? x 在同一坐标系内的图象可能是
2

【答案】A 8 . (浙江省杭州市 2013 届高三上学期期中七校联考数学(理)试题)若函数

f ( x) ? log a ( x ? b) 的图象如右

图 1,其中 a, b 为常数.则函数 g ( x) ? a ? b 的大致图象是
x

y

1 ?1 o 1 ?1
y
x

y

y

y

1 ?1 o
A.
【答案】D

1 ?1

x

?1

1

o ?1

1
x
C.

?1

1

1
x

1 ?1 ?1
D.

o ?1

o

1

x
( )

B.

9 (浙江省五校 2013 届高三上学期第一次联考数学 . (理) 试题) 已知函数 f ( x) ? 2 的定义域为
x

?a, b? (a ? b) ,

值域为 ?1, 4? ,则在平面直角坐标系内,点 (a, b) 的
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运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为 A. 8
【答案】

( D. 2



B. 6 C.

C. 4

10. (2013 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题)设函数 f ( x) ? log a x (0 ? a ? 1) 的定义

域为 [m, n](m ? n) ,值域为 [0, 1] ,若 n ? m 的最小值为 ,则实数 a 的值为

1 3





1 2 2 或 C. 4 3 3 【答案】D 解:由题意,分 n ? 1 或 m ? 1 两种情况: 2 (1) n ? 1 时, m ? ,此时 f ( x) 在 [m, n] 上单调递减 3 2 故 f (m) ? log a m ? 1 ? a ? 3 4 (2) m ? 1时, n ? ,此时 f ( x) 在 [m, n] 上单调递增 3 3 故 f (n) ? log a n ? 1 ? a ? 4
A. B.
二、填空题

1 4

D.

2 3 或 3 4

11. (浙江省乐清市普通高中 2013 届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题) 方程 4 | x| ? 2 的解集为

________.
1 1 , } 4 4 12. (浙江省宁波市十校 2013 届高三下学期能力测试联考数学(理)试题)已知整数 x, y, z 满足 x ? y ? z ,
【答案】 {?

且2

x ?3

? 2 y ?3 ? 2z ?3 ? 37 ,则整数组 ( x, y, z ) 为____________

【答案】 (2, ?1, ?3) 13. 浙江省嘉兴市 2013 届高三上学期基础测试数学 ( (理) 试题) log 4 ( x ? 2 y ) ? log 4 ( x ? 2 y ) ? 1 ,则 若

x? y

的最小值是____________.
【答案】 3 14. (浙江省十校联合体 2013 届高三上学期期初联考数学(理)试题)已知函数 f ( x) ? log 1 ( x ? ax ? a ) 在
2 2

区间 ??,1 ? 3 上是增函数,则实数 a 的取值范围是____________
【答案】[ 2 ? 2

?

?

3 ,2];
a ? 4) ,( a ? 0 x

15. (浙江省重点中学 2013 届高三上学期期中联谊数学(理)试题)若函数 f ( x) ? log a ( x ?

且 a ? 1 )的值域为 R,则实数 a 的取值范围是__________;_
【答案】 (0, ) ? (1 4] 1 , 16 . 浙 江 省 重 点 中 学 协 作 体 2013 届 高 三 摸 底 测 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 a ? 0 且 a (
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? 1 ,则使方程

log a ( x ? ak ) ? log a2 ( x 2 ? a 2 ) 有解时的 k 的取值范围为______.
【答案】 0 ? k 三、解答题 17. (浙江省杭州市 2013 届高三上学期期中七校联考数学(理)试题)设 函数 f ( x) ? lg(2 x ? 3)( x ? ) 的定义

? 1 或 k ? ?1
1 2

域为集合 A ,函数 g ( x) ?

? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ( a ? 0 )的定 义域为集合 B .

(1)当 a ? 1 时,求集合 A ? B ; (2)若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

【答案】解:(1)由函数 f ( x) ? lg(2 x ? 3)( x ?

1 1 ) 有意义,得: (2 x ? 3)( x ? ) ? 0 , 2 2

即x?

1 3 1 3 或 x ? ,所以 A ? (??, ) ? ( ,??) , 2 2 2 2

当 a ? 1 时,函数 g ( x) ?

? x 2 ? 4 x ? 3 有意义,得: ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,

即 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,?1 ? x ? 3 ,? B ? x 1 ? x ? 3 ,? A ? B ? ? ,3? 2 (2)由函数 g ( x) ?

?

?

?3 ? ? ?

? x 2 ? 4 x ? 3a 2 ( a ? 0 )有意义得 ? x 2 ? 4 x ? 3a 2 ? 0 ,

即 ( x ? a )( x ? 3a ) ? 0 ,? a ? 0 ,? a ? x ? 3a ,? B ? ?a,3a ?, 若 A ? B ? B ,则 B ? A ,

?a ? 0 3 1 3 1 3 ? ?? 1 或 a ? ,得 0 ? a ? 或 a ? ,即 a ? (0, ) ? ( ,??) 2 6 2 6 2 ?3a ? 2 ?
18. (浙江省重点中学 2013 届高三上学期期中联谊数学(理)试题)定义在 D 上的函数 f (x) ,如果满足:对任

意 x ? D ,存在常数 M ? 0 , 都有 | f ( x) |? M 成立,则称 f ? x ? 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ? x ? 的上界. 已知函数 f ? x ? ? 1 ? a ? ?

?1? ?1? ? ?? ? ; ?2? ?4?

x

x

g ( x) ?

1? m ? x2 1? m ? x2

(I)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上的值域,并判断函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上是否为 有界函数,请说明理由; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)已知 m ? ?1 ,函数 g ? x ? 在 ? 0,1? 上的上界是 T (m) ,求 T (m) 的取值范围.

?1? ?1? 【答案】解:(I)当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 ? ? ? ? ? ? ?2? ?4?

x

x

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因为 f (x) 在 ? ??,0 ? 上递减,所以 f ( x) ? f (0) ? 3 ,即 f (x) 在 ? ??,1? 的值域为 ? 3, ?? ? 故不存在常数 M ? 0 ,使 | f ( x) |? M 成立 所以函数 f ? x ? 在 ? ??,1? 上不是有界函数 (Ⅱ)由题意知, f ( x) ? 3 在 ?1, ?? ? 上恒成立.

? 3 ? f ( x) ? 3 ,
x

?1? ?1? ?1? ? 4 ? ? ? ? a ?? ? ? 2 ? ? ? ?4? ?2? ?4?
x

x

x

x



?1? ?1? ? 4 ? 2 ? ? ? ? a ? 2 ? 2 x ? ? ? 在 ? 0, ?? ? 上恒成立 ?2? ?2?
x

x x ? ? ?1? ? ?1? ? ? 4 ? 2x ? ? ? ? ? a ? ?2 ? 2 x ? ? ? ? ? ? 2 ? ? max ? 2 ? ? min ? ? ? ? ? ? 1 1 设 2 x ? t , h(t ) ? ?4t ? , p (t ) ? 2t ? ,由 x ? ? 0, ?? ? 得 t≥1, t t



(设 1 ? t1 ? t2 , h(t1 ) ? h(t2 ) ?

? t2 ? t1 ?? 4t1t2 ? 1?
t1t2

?0

p (t1 ) ? p (t 2 ) ?

?t1 ? t 2 ??2t1t 2 ? 1?
t1 t 2

?0
(单调性 不证,不扣分))

所以 h(t ) 在 ?1, ?? ? 上递减, p (t ) 在 ?1, ?? ? 上递增,

h(t ) 在 ?1, ?? ? 上的最大值为 h(1) ? ?5 ,
所以实数 a 的取值范围为 ? ?5,1? (Ⅲ) g ( x) ? ?1 ? ∵ ∴ ∵ ∴

p (t ) 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 p(1) ? 1

2 , m ? x2 ?1
∴ 即

m>0 , x ? ?0,1?

g ? x ? 在 ? 0,1? 上递减,

g (1) ? g ( x) ? g (0)

1? m ? g ( x) ? 1 1? m


? 1 ? m ? 0 , x ? ?0,1?
g (0) ? g ( x) ? g (1)

g ? x ? 在 ? 0,1? 上递增,

即个 1 ? g ( x) ?

1? m 1? m
T ( m) ? 1

①当 m ? 0 时,

1? m ? 1 , g ( x) ? 1 此时 1? m

②当 m ? 0 ,即, g ( x) ? 1 , g ( x) ? 1 此时

T ( m) ? 1 ,

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③当 ? 1 ? m ? 0 时, g ( x) ?

1? m 1? m ,此时 T (m) ? 1? m 1? m

综上所述:当 m ? 0 时, T (m) 的取值范围是 ?1,?? ? ; 当 ? 1 ? m ? 0 时, T (m) 的取值范围是

?1 ? m ? ?1 ? m ,?? ? ? ?

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