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2013高考数学 解题方法攻略 二项式定理 理


2013 高考理科数学解题方法攻略—二项式定理 1.二项式定理: 2.基本概念: 0 1 r n (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n ?1b ? ? ? Cn a n ? r b r ? ? ? Cn b n (n ? N ? ) , ①二项式展开式:右边的多项式叫做 (a ? b) 的二项展开式。 n r ②二项式系数:展开式中各项的系数 Cn (r ? 0,1, 2, ???, n) . ③项数:共 (n ? 1) 项,是关于 a 与 b 的齐次多项式 r r ④通项:展开式中的第 r ? 1 项 Cn a n ? r b r 叫做二项式展开式的通项。用 Tr ?1 ? Cn a n ? r b r 表示。 3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有 (n ? 1) 项。 ②顺序:注意正确选择 a , b ,其顺序不能更改。 (a ? b) 与 (b ? a ) 是不同的。 n n ③指数: a 的指数从 n 逐项减到 0 ,是降幂排列。 b 的指数从 0 逐项减到 n ,是升幂排列。各 项的次数和等于 n . ④ 系数 :注 意正确区 分二 项式 系数与项 的系 数, 二项式系 数依 次 是 0 1 2 r n Cn , Cn , Cn , ???, Cn , ???, Cn . 项的系数 是 a 与 b 的系数(包括二项式系数) 。 4 . 常 用 的 结 论 : 令 a ? 1, b ? x, 0 1 2 r n (1 ? x) n ? Cn ? Cn x ? Cn x 2 ? ? ? Cn x r ? ? ? Cn x n (n ? N ? ) 令 a ? 1, b ? ? x, 0 1 2 r n (1 ? x) n ? Cn ? Cn x ? Cn x 2 ? ? ? Cn x r ? ? ? (?1) n Cn x n (n ? N ? ) 5.性质: ①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即 0 n k ·· k Cn ? Cn ,· Cn ? Cn ?1 0 1 2 r n ②二项式系数和:令 a ? b ? 1 ,则二项式系数的和为 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n , 1 2 r n 变形式 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n ? 1 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: 0 1 2 3 n 在二项式定理中,令 a ? 1, b ? ?1 ,则 Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? (?1) n Cn ? (1 ? 1) n ? 0 , 0 2 4 2 1 3 2 从而得到: Cn ? Cn ? Cn ??? ?Cn r ? ??? ? Cn ? Cn ? ? ? Cn r ?1 ? ??? ? 1 n ? 2 ? 2n ?1 2 ④奇数项的系数和与偶数项的系数和: -1- 0 1 2 n (a ? x) n ? Cn a n x 0 ? Cn a n ?1 x ? Cn a n ? 2 x 2 ? ? ? Cn a 0 x n ? a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? ? ? an x n 0 1 2 n ( x ? a ) n ? Cn a 0 x n ? Cn ax n ?1 ? Cn a 2 x n ? 2 ? ? ? Cn a n x 0 ? an x n ? ? ? a2 x 2 ? a1 x1 ? a0 令x ? 1, 则a0 ? a

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