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2014—2015学年度第一学期高二数学期中试卷答案


东台市安丰中学 2014—2015 学年度第一学期

0.3 又 =0.03,补出的图形如下图所示.……………………………………………………………4 分 10

高二数学期中试卷参考答案
一、填空题(本题共 14 小题,每小题 5 分,合计 70 分。请把答案直接填写在答题 纸 相应 的 .. . .. . 位置上 .) ... 1. (1,3) 6.充要 11.(-∞,2]
1 1 2. c ? ? 或 c ? 2 2 7. 0.3

3.4 8. 8 13. [-8,4]

3

4. 9.

2
12

5. 10.

15
9


12.

3 3

14.(1,3)

(3) 平均分为: x =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.答:估计这 次考试的平均分是 71 分. ………………………………………………………………………………………8 分 (4) 由题意,[40,50)分数段的人数为 0.10×60=6 人;[50,60)分数段的人数为 0.15×60=9 人; 在[40,60)的学生中抽取一个容量为 5 的样本,在[40,50)分数段抽取 2 人,分别记为 m,n;[50,60)分数 段抽取 3 人,分别记为 a,b,c, 设从样本中任取 2 人,至少有 1 人在分数段[50,60)为事件 A,则基本事件空间包含的基本事件有(m,n)、 (m,a)、(m,b)、(m,c)、…、(b,c)共 10 种,则事件 A 包含的基本事件有(m,a)、(m,b)、(m,c)、 (n,a)、(n,b)、(n,c)、(a,b)、(a,c)、(b,c)共 9 种, 所以 P(A)=

二、解答题(本题共 6 小题,合计 90 分。请在答题 纸 指定区域 内作答,解答时应写出文字说 .. . .... 明、证明过程或演算步骤. )
15. (本小题 14 分)解:(1) 由 x -4ax+3a <0,得(x-3a)(x-a)<0.又 a>0, 所以 a<x<3a. 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3.………………………………………………2 分
2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 由? ,得 2<x≤3, 2 ? 3 x ? 10 ? 0 ? ?x
2 2

即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3. ……………………………………………………………………4 分 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,…………………………………………………………………………………5 分 所以实数 x 的取值范围是 2<x<3.………………………………………………………………………………7 分 p是 q 的充分不必要条件,即 p q,且 q p.

9 =0.9.……………………………………………………………………………………14 分 10
2 2 2 2 2

18. (本小题 16 分)解:(1) 由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=2a. 由题意|MF2|=1,∴|MF1|=2a-1. 又由 Rt△MF1F2 可知(2a-1) =(2 2) +1,a>0,∴a=2.又 a -b =2,得 b =2. 2 2 x y ∴椭圆 C 的方程为 + =1.……………………………………………………………………………6 分 4 2 (2) 直线 BF2 的方程为 y=x- 2.

设 A={x| p},B={x| q},则 A B. 又 A={x| p}={x|x≤a 或 x≥3a}, B={x| q}={x≤2 或 x>3},则 0<a≤2,且 3a>3, 所以实数 a 的取值范围是 1<a≤2.……………………………………………………………………………14 分 x +2x+4 4 16.(本小题 14 分) 解:(1) 由 a=4,∴f(x)= =x+ +2≥6,当 x=2 时,取得等号. x x 即当 x=2 时,f(x)min=6.………………………………………………………………………………6 分 (没有写等号成立的条件扣 2 分,如用函数单调性需要证明) x +2x+a 2 (2) x∈[1,4], >6 恒成立,即 x∈[1,4],x +2x+a>6x 恒成立. x 等价于 a>-x +4x,当 x∈[1,4]时恒成立, 2 2 令 g(x)=-x +4x=-(x-2) +4,x∈[1,4],……………………………………………………………10 分 ∴a>g(x)max=g(2)=4,即. ∴a 的取值范围是 a>4……………………………………………………………………………………14 分 17.(本小题 14 分)解:(1) 分数在[70,80)内的频率为 1-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1-0.7=0.3.
2 2 2

? ?y=x- 2 由 ?x2 y2 + =1 ? ?4 2

), 得点 N 的纵坐标为

2 . ………………………………………………………10 分 3

又|F1F2|=2 2, 1 ? 8 2? ∴S△F1BN= ×? 2+ ?×2 2= ……………………………………………………………………16 分 2 ? 3 3? (5) (本小题 16 分)解:(1) F(x)= ?

?7,0 ? x ? 3 , ?7 ? 2.4( x ? 3), x ? 3

即 F(x)= ?

?7,0 ? x ? 3 .…………………………………………………………………………2 分 ?2.4 x ? 0.2, x ? 3

设折旧费 z=kx ,将(100,0.1)代入, 得 0.1=100 k
2

2

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2)+m
2

2

2

解得 k=

1 5……………………………………………………………………4 分 10

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a km ? a k m -a b k b m -a b k ? 2 - = +km? 2 2 2?+m = 2 2 2 2 2 2 . b +a k b +a k ? b +a k ?

1 2 ,所以 C(x)=2.3+1.6x+ 5x .………………………………………………………………………………6 分 10

→ → 因为OM·ON=0,所以 x1x2+y1y2=0. 代入,得(a +b )m -a b (1+k )=0.
2 2 2 2 2 2

? ? (2) 由题意得 y=? 2.5 1 ? ? x +10 x?, ?0.8-? ? ? ?
4.7 1 - 5x-1.6, x 10
5

2≤x≤3 ,………………………………………………9 x>3

1 1 2 2 结合(1)的 2+ 2=1,得 m =1+k . a b 圆心到直线 l 的距离为 d= =1,所以直线 l 与圆 C 相切.……………………………14 分 2 1+k ② 若直线 l 的斜率不存在,设直线 l:x=n. |m|

分 ①当 x>3 时,由基本不等式,得 y≤0.8-2 ②当 2≤x≤3 时,由 y 在[2,3]上单调递减, 4.7 2 2 得 ymax= - 5-1.6=0.75- 5<0.79.……………………………………………………………15 分 2 10 10 答: 该市出租汽车一次载客路程为 500km 时,每 km 的收益 y 取得最大值.…………………………16 分 x y 20. (本小题 16 分) (1) 证明:已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0),A1、A2 与 B 分别为椭圆 E 的左右顶 a b x y 点与上顶点,所以 A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),直线 A2B 的方程是 + =1. a b 因为 A2B 与圆 C:x +y =1 相切,所以
2 2 2 2

25 6=0.79(当且仅当 x=500 时取等号);………12 分 10

x y 代入 2+ 2=1,得 y=±b a b
2

2

2

n 1- 2. a

2

∴ |n|=b

n 2 2 2 2 2 1- 2,∴ a n =b (a -n ). a

解得 n=±1,所以直线 l 与圆 C 相切.………………………………………………………16 分

1 =1, 1 1 2+ 2 a b

1 1 即 2+ 2=1.…………………………………………………………………………………………4 分 a b (2) 解:设 P(x0,y0),则直线 PA1、PA2 的斜率之积为 y0 y0 y0 1 kPA1·kPA2= · = 2 2=- x0+a x0-a x0-a 3
2

x0 3y0 x0 y0 2+ 2 =1,而 2+ 2=1, a a a b

2

2

2

2

1 2 2 所以 b = a .………………………………………………………………………………………8 分 3 1 1 4 2 2 结合 2+ 2=1,得 a =4,b = . a b 3 x 3y 所以,椭圆 E 的方程为 + =1.………………………………………………………………10 分 4 4 (3) 解:设点 M(x1,y1),N(x2,y2). ① 若直线 l 的斜率存在,设直线 l 为 y=kx+m, x y x kx+m 由 y=kx+m 代入 2+ 2=1,得 2+ 2 a b a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=1.

化简,得(b +a k )x +2a kmx+a m -a b =0(Δ>0). a m -a b ∴ x1x2= 2 2 2 , b +a k
2 2 2 2


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