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2012年全国高中数学联赛(浙江)赛区竞赛试卷


2012 年浙江省高中数学竞赛试题
参考解答与评分标准 说明:本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 22题组成,即 10 道选择题,7 道填空题、 3 道解答题和 2 道附加题;B 卷由本试卷的前 20 题组成,即 10 道选择题,7 道填空题和 3 道解答题。 一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1 .已知数列 {an} 满足 3an+1+an=4(n

≥ 1) ,且 a1=9 ,其前 n 项之和为 Sn 。则满足不等式 |Sn-n-6|<

1 的最小整数 n 是( 125



A.5 B.6 C.7 D.8 2. 设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面是三角形 ABC 的中心, 过 O 的动平面与 PC 交于 S, 与 PA、 PB 的延长线分别交于 Q、R,则和式

1 1 1 ? ? ( PQ PR PS



A.有最大值而无最小值 C.既有最大值又有最小值,两者不等 3.给定数列{xn},x1=1,且 xn+1=

B.有最小值而无最大值 D.是一个与面 QPS 无关的常数
2005

3xn ? 1 3 ? xn

,则

?x
n ?1

n

=(



A.1 4.已知 a =(cos

B.-1

C.2+ 3

D.-2+ 3

2 2 π, sin π), OA ? a ? b , OB ? a ? b ,若△OAB 是以 O 为直角顶点的等 3 3
) C.2 D. B.

腰直角三角形,则△OAB 的面积等于( A.1

1 2

3 2

x2 y2 ? ? 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH(H 为垂足),延长 5.过椭圆 C: 3 2
PH 到点 Q,使|HQ|=λ |PH|(λ ≥1)。当点 P 在椭圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹的离心率的取 值范围为( ) A. (0,

3 ] 3

B. (

3 3 , ] 3 2

C. [

3 ,1) 3

D. (

3 ,1) 2

6.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别记为 a、b、c(b≠1),且 log
b

C sin B , 都是方程 A sin A

x=logb(4x-4)的根,则△ABC(

) B.是直角三角形,但不是等腰三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形

A.是等腰三角形,但不是直角三角形 C.是等腰直角三角形

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y ) 值依

次记为: ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),

,( xn , yn ),

; 若程序运行中
) D.8

输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? ( A.64 B.32 C.16

8. 在平面区域 ?( x, y ) | x |? 1,| y |? 1? 上恒有 ax ? 2by ? 2 , 则动点 P (a, b) 所形成平面 区域的面积为( A. 4 B.8 ) C. 16 D. 32

? ? ?? 9. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点, 则 m 的取值范围为 ( ) 6 ? 2?
?1 ? A. ? , 1? ?2 ? ?1 ? B ? , 1? ?2 ? ?1 ? C. ? , 1? ?2 ? ?1 ? D. ? , 1? ?2 ?

10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为( A. x ? 3 或 x ? 2 B. x ? 2 或 x ? 1 C. x ? 3 或 x ? 1

) D. 1 ? x ? 3

二、填空题(每题 7 分.共 49 分) 11.若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________. 12.如果:(1)a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} (2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a (3)a 是 a, b, c, d 中的最小数 那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是________. 13.设 n 是正整数,集合 M={1,2,…,2n}.求最小的正整数 k,使得对于 M 的任何一个 k 元子集,其中必有 4 个互不相同的元素之和等于 14.若对|x|≤1 的一切 x,t+1>(t2-4)x 恒成立,则 t 的取值范围是_______________. 15.我们注意到 6!=8?9?10,试求能使 n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数 n 为__________. 16. 对每一实数对(x, y), 函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。 若 f(-2)=-2, 试求满足 f(a)=a 的所有整数 a=__________. 17.已知 a, b, c∈R+,且满足

kabc ≥(a+b)2+(a+b+4c)2,则 k 的最小值为__________.。 a?b?c

三、解答题(每题 17 分,共 51 分) 18.已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙Q 与⊙P 相外切,⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使得∠MAN 为定值。求∠MAN 的度数。

19.已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx2,

(1)当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明:a≤2 b ; (2)当 b>1 时,证明:对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是:b-1≤a≤2 b ; (3)当 0<b≤1 时,讨论:对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件。

20.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于 A,B 两点,D (a, 0) 52 42

为 F1 右侧一点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰 好过 F1 ,求 a 的值。

附加题 (每题 25 分,共 50 分) 21. 如图,已知△ABC 的外角∠EAC 的平分线与△ABC 的外接圆交于点 D,以 CD 为直径 的圆分别交 BC,CA 于点 P、Q,求证:线段 PQ 平分△ABC 的周长。 E A Q D

B

P

C

22. (50 分) 求所有实多项式 f 和 g, 使得对所有 x∈R, 有: (x2+x+1)f(x2-x+1)=(x2-x+1)g(x2+x+1)。

参考答案
一、选择题 1 .由递推式得: 3(an+1-1)=-(an-1) ,则 {an-1} 是以 8 为首项,公比为 -

1 的等比数列,∴ 3

1 8[1 ? (? ) n ] 3 =6-6 ? (- 1 )n ,∴ |S -n-6|=6 ? ( 1 )n< 1 ,得: Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+ … +(an-1)= n 1 3 3 125 1? 3
3n-1>250,∴满足条件的最小整数 n=7,故选 C。 2.设正三棱锥 P-ABC 中,各侧棱两两夹角为α ,PC 与面 PAB 所成角为β ,则 vS-PQR=
△ PQR

1 S 3

1 1 ( PQ ? PRsin α ) ? PS ? sin β 。 另一 方面, 记 O 到 各面 的距 离为 d , 则 3 2 1 1 1 1 d 1 vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS, S△PQR?d= △PRS?d+ S△PRS?d+ △PQS?d= ? PQ?PRsin 3 3 3 3 3 2 d 1 d 1 ? PS ? PRsin α + ? PQ ? PS ? sin α , 故 有 : PQ ? PR ? PS ? sin β α + 3 2 3 2
? h= =d(PQ?PR+PR?PS+PQ?PS),即

1 1 1 sin ? ? ? ? =常数。故选 D。 PQ PR PS d

3 ? 3 , 3. xn+1= 令 xn=tanα n, ∴xn+1=tan(α n+ ), ∴xn+6=xn, x1=1, x2=2+ 3 , x3=-2- 3 , 6 3 1? xn 3 xn ?
2005

x4=-1, x5=-2+ 3 , x6=2- 3 , x7=1,……,∴有

?x
n ?1

n

? x1 ? 1 。故选 A。

4.设向量 b =(x, y),则 ?

? ?(a ? b)(a ? b) ? 0 ? ?| a ? b |?| a ? b |



? 1 3 1 3 ) ? ( ? x ? ,? y ? ?0 2 2 ?( x ? , y ? ? 3 1 ?x ? y ? 1 ? 2 2 2 2 , )或 即? ,即 ? . ∴b?( 2 2 ? ?( x ? 1 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( x ? 1 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ?x ? 3 y ? 2 2 2 2 ?
(?
1 3 1 , ) ,∴S△AOB= | a ? b || a ? b | =1。 2 2 2

5.设 P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为 x=3,所以 H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λ PH,

3(1 ? ? ) ? x ? HP ?1 ? x1 ? ? 所以 ,所以由定比分点公式,可得: ? ,代入椭圆方程,得 Q ? PQ 1 ? ? ? ? y1 ? y
点轨迹为 C。 6. 由 log
b

[ x ? 3(1 ? ? )]2 y 2 3?2 ? 2 2 3 ? ? 1 ,所以离心率 e= ? 1 ? 2 ? [ ,1) 。故选 2 2 3? 3 3? 2 3?
x=logb(4x-4)得: x2-4x+4=0, 所以 x1=x2=2, 故 C=2A, sinB=2sinA, 因 A+B+C=180°,

所以 3A+B=180°,因此 sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA,∵sinA(1-4sin2A)=0,又 sinA ≠0,所以 sin2A=

7.

1 1 ,而 sinA>0,∴sinA= 。因此 A=30°,B=90°,C=60°。故选 B。 4 2 经计算 x ? 32 。正确答案为 B

8. 平面区域 ?( x, y ) | x |? 1,| y |? 1? 的四个边界点(—1,—1),(—1,1),(1, —1),(1,1)满足 ax ? 2by ? 2 ,即有
a ? 2b ? 2, a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2

由此计算动点 P (a, b) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A

? ? ?? 9.问题等价于函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 与直线 y ? m 在 ?0, ? 上有两个交点, 所以 m 6 ? 2?
?1 ? 的取值范围为 ? , 1? 。正确答案为 C ?2 ?
10.不等式的左端看成 a 的一次函数, f (a) ? ( x ? 2)a ? ( x ? 4 x ? 4)
2

由 f (?1) ? x2 ? 5x ? 6 ? 0, f (1) ? x2 ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。 正确答案为 C。
. 二、填空题

?x ? 2 y ? 0 ?x ? 2 | y | ? ?? 2 11. 3 。 ? x ? 2 y ? 0 2 ?( x ? 2 y )(x ? 2 y ) ? 4 ? x ? 4 y ? 4 ?
由对称性只考虑 y≥0,因为 x>0,∴只须求 x-y 的最小值,令 x-y=u,代入 x2-4y2=4,有 3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于 y 的二次方程显然有实根,故△=16(u2-3)≥0。 12.46 个。abcd 中恰有 2 个不同数字时,能组成 C 4 =6 个不同的数。abcd 中恰有 3 个不同
2

1 1 1 1 1 数字时, 能组成 C3 abcd 中恰有 4 个不同数字时, 能组成 A 4 =24 C2 C2 ? C2 C2 =16 个不同数。
4

个不同数,所以符合要求的数共有 6+16+24=46 个。 13. 解考虑 M 的 n+2 元子集 P={n-l,n,n+1,…,2n}. P 中任何 4 个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2,所以 k≥n+3. 将 M 的元配为 n 对,Bi=(i,2n+1-i),1≤i≤n. 对 M 的任一 n+3 元子集 A,必有三对 Bi1 , Bi2 , Bi3 同属于 A(i1、i 2、i 3 两两不同). 又将 M 的元配为 n-1 对,C i (i,2n-i),1≤i≤n-1. 对 M 的任一 n+3 元子集 A,必有一对 Ci4 同属于 A, 这一对 Ci4 必与 Bi1 , Bi2 , Bi 3 中至少一个无公共元素,这 4 个元素互不相同,且和为 2n+1+2n=4n+1,最小的正整数 k=n+3 14.

t ?1 t ?1 13 ? 1 21 ? 1 ? 1, , 。 ①若 t2-4>0, 即 t<-2 或 t>2, 则由 2 >x(|x|≤1)恒成立, 得 2 t ?4 t ?4 2 2

t+1>t2-4, t2-t-s<0 解得

1 ? 21 1 ? 21 1 ? 21 1 ? 21 ?t ? ,从而 <t<-2 或 2<t< 。②若 2 2 2 2
t ?1 t ?1 ? ?1 , <x(|x|≤1)恒成立, 得 2 2 t ?4 t ?4

t2-4=0, 则 t=2 符合题意。 ③若 t2-4<0, 即-2<t<2, 则由

t+1>-t2+4; t2+t-3>0,解得:t<

? 1 ? 13 ? 1 ? 13 ? 1 ? 13 或 t> ,从而 <t<2。综上所述, 2 2 2

t 的取值范围是:

13 ? 1 21 ? 1 <t< 。 2 2

15.23.。 16.1 或-2。令 x=y=0 得 f(0)=-1;令 x=y=-1,由 f(-2)=-2 得,f(-1)=-2,又令 x=1, y=-1 可得 f(1)=1,再令 x=1,得 f(y+1)=f(y)+y+2 ①,所以 f(y+1)-f(y)=y+2,即 y 为正整数时, f(y+1)-f(y)>0,由 f(1)=1 可知对一切正整数 y,f(y)>0,因此 y∈N*时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1, 即对一切大于 1 的正整数 t,恒有 f(t)>t,由①得 f(-3)=-1, f(-4)=1。 下面证明:当整数 t≤-4 时,f(t)>0,因 t≤-4,故-(t+2)>0,由①得:f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0, 即 f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,……,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0 相加得:f(t)-f(-4)>0,因为:t≤4,故 f(t)>t。综上所述:满足 f(t)=t 的整数只有 t=1 或 t=2。 17.解:因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 ab )2+(2 2ac +2 2bc )2=

(a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 ? (a ? b ? c) 4ab+8ac+8bc+16c ab 。所以 abc
≥ 8(53

1 a 2b 2 c 5 ) ? ( 5 ) ? 100。 2a 2 b 2 c 2 24

当 a=b=2c>0 时等号成立。故 k 的最小值为 100。 三、解答题 18.以 l 为 x 轴,点 P 到 l 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系,设 Q 的坐标为(x, 0), 点 A(k, λ ),⊙Q 的半径为 r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= x 2 ? 2 2 =1+r。所以 x=

± r 2 ? 2r ? 3 , ∴tan∠MAN=

k AN ? k AM 1 ? k AN ? k AM

o?r o?h ? ? x?r?h x?r?h o?h o?h 1? ? x?r?h x?r?k

?

2rh 2rh 2rh ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 (x ? k) ? r ? h (? r ? 2r ? 3 ) ? r ? h h ? k ? 3 ? 2r ? 2k r 2 ? 2r ? 3
2

, 令 2m=h2+k2-3 , tan ∠ MAN=

1 , 所 以 m+r ? k n

r 2 ? 2r ? 3 =nhr , ∴

m+(1-nh)r= ? k r 2 ? 2r ? 3 ,两边平方,得:m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2,因为对

?m 2 ? ?3k 2 (1) ? 于任意实数 r≥1,上式恒成立,所以 ?2m(1 ? nh) ? 2k 2 (2) ,由(1) (2)式,得 m=0, k=0, ?(1 ? nh) 2 ? k 2 (3) ?
由(3)式,得 n=

1 1 。由 2m=h2+k2-3 得 h=± 3 ,所以 tan∠MAN= =h=± 3 。所以∠ h n
a 2 a2 a a2 )+ ,∴f( )= 2b 2 b 4b 4b

MAN=60°或 120°(舍)(当 Q(0, 0), r=1 时∠MAN=60°),故∠MAN=60°。 19.(1)证:依题设,对任意 x∈R,都有 f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-

≤1,∵a>0, b>0, ∴a≤2 b 。 (2)证:(必要性),对任意 x∈[0, 1],|f(x)|≤1 ? -1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即 a-b ≥-1, ∴a≥b-1。 对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 ? f(x)≤1, 因为 b>1, 可推出 f(

1 b

)≤1。 即 a?

1 b

-

≤1,∴a≤2 b ,所以 b-1≤a≤2 b 。 (充分性):因 b>1, a≥b-1,对任意 x∈[0, 1],可以推出:ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x ≥-1,即:ax-bx2≥-1;因为 b>1,a≤2 b ,对任意 x∈[0, 1],可推出 ax-bx2≤2 b -bx2≤ 1,即 ax-bx2≤1,∴-1≤f(x)≤1。 综上,当 b>1 时,对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是:b-1≤a≤2 b 。 (3)解:因为 a>0, 0<b≤1 时,对任意 x∈[0, 1]。 f(x)=ax-bx2≥-b≥-1,即 f(x)≥-1; f(x)≤1 ? f(1)≤1 ? a-b≤1,即 a≤b+1; a≤b+1 ? f(x)≤(b+1)x-bx2≤1,即 f(x)≤1。

所以,当 a>0, 0<b≤1 时,对任意 x∈[0, 1],|f(x)|≤1 的充要条件是:a≤b+1.

20. F1 (?3, 0), 左准线方程为x ? ?

25 ;AB方程为 y ? k ( x ? 3)(k为斜率) 。 3
2 ? ( 1 6? 2 k5 x2 )? 2 1k 5 0 x?

? y ? k ( x ? 3) ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 ?1 ? ? ? 25 16

2 k22 ? 5

? 400

0

150k 2 225k 2 ? 400 256k 2 2 , x1 x2 ? ? ? y1 y2 ? k ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? ? 得 x1 ? x2 ? ? 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2
----------------------10 分 设 M (?

25 25 (3a ? 25) y1 (3a ? 25) y2 , y3 ), N (? , y4 ) 。由 M、A、D 共线 y3 ? 。 ,同理y4 ? 3 3 3(a ? x1 ) 3(a ? x2 )



F1M ? (?

16 16 , y3 ), F1 N ? (? , y4 ),由已知得F1M ? F1 N ? F1M ? F1 N ? 0 3 3

, 得

y3 y 4? ?
整理得

256 256k 2 (3a ? 25)2 y1 y2 256 (3a ? 25)2 , ? =? , 而y 3 y 4 ? ,即 ? 2 9 16 ? 25k 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 9 9(a ? x1 )(a ? x2 )

(1 ? k 2 )(16a2 ? 400) ? 0 ? a ? ?5, 又a ? ?3, 所以a ? 5 。
----------

A Q

D

B

P

C

附加题 21 证:如图,连结 DB、OP、DQ,因∠ABD+∠ACD,∠EAC=∠ABC+∠ACB, 则∠EAC=∠DBC+∠DCB,即:2∠DAC=∠DBC+∠DCB;又∠DAC=∠DBC,则:∠OBC= ∠DCB;故△DBC 为等腰三角形,因 OP⊥BC,则 CP=

1 BC。在圆内接四边形 ABCD 中, 2
BD=CD , 则 :

由 托 勒 密 定 理 得 : AC ? BD=BC ? AD+AB ? CD , 因 AC-AB=

BC ? AD 2 BP ? AD AQ AD ? ? ,又 DQ⊥AC,则△ADQ∽△BDP,所以 ,即: BD BD BP BD 1 BP ? AD AC ? AB AQ= 。故 AC-AB=2AQ,即 AQ= 。从而:CQ+CP=(AC-AQ)+ BC= 2 BD 2 1 AC ? AB 1 ) ? BC= (AB+BC+CA)。 (AC2 2 2

22.设 w 是 1 的非实的立方根,满足 w2+w+1=0,则 g(w2+w+1)g(0)=0,设α 为-1 的非实的立 方根,则 f(α 2-α +1)=f(0)=0,故可设:f(x)=x?a(x);g(x)=x?b(x)。因此原条件可化为: a(x2-x+1)=b(x2+x+1)。令 x=-y,得:a(y2+y+1)=b(y2-y+1), 1]。下面证明无穷多个 n 使得: a(n2+3n+3)=a(1) 。 由 n=1 可 得 : a(1)=a(7) , 假 设 a[(n-1)2+3(n-1)+3]=a(1)(n ≥ 2) , 则 a[(n+1)2+3(n+1)+3]=a[(n+2)2+(n+2)+1]=a[(n+1)2-(n+1)+1]=a[(n-1)2+3(n-1) +3]=a(1)。由于多项式 a(x)-a(1)有无穷多个根,所以 a(x)-a(1)是零多项式,即 a(x)为常数,因 此 f(x)=kx,类似可知:g(x)=kx。

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