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数学模型数学建模 第一次作业 入门实验


1、数学建模入门作业
1、贷款问题 小王夫妇计划贷款 20 万元购买一套房子,他们打算用 20 年的时间还清贷款。目 前,银行的利率是 0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿 还贷款。 (1)在上述条件下,小王夫妇每月的还款额是多少?共计付了多少利息? (2)在贷款满 5 年后,他们认为他们有经济能力还完余下的款额,打算提前还贷, 那么他们在第 6 年初,应一次付给银行多少钱,才能将余下全部的贷款还清? (3)如果在第 6 年初,银行的贷款利率由 0.6%/月调到 0.8%/月,他们仍然采用等 额还款的方式,在余下的 15 年内将贷款还清,那么在第 6 年后,每月的还款额 应是多少? (4)某借贷公司的广告称,对于贷款期在 20 年以上的客户,他们帮你提前三 年还清贷款。但条件是: (i) 每半个月付款一次,但付款额不增加,即一次付款额是原付给银行还款 额的 1/2; (ii) 因为增加必要的档案、文书等管理工作,因此要预付给借贷公司贷款总 额 10%的佣金。 试分析,小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。

解答: (1)根据题意设Ak为第k个月的欠款额,r为月利率,x为每个月的还款额 则有,第k个月的欠款额=第k-1个月的欠款额× 月利率+第k-1个月的欠款额-每个 月的还款额 即第 k 个月的欠款额:Ak= Ak-1(1+r)-x,k=1,2,??,N 其中 N 为贷款的总月数,A0 为最初贷款额; 由方程(1)容易推出 A1 = A0(1 + r ) x; A2 = A1(1 + r ) x = A0(1 + r )2- x[(1 + r ) + 1]; (1)

第 k 个月的还款金额为 Ak= A0(1+r)k-x[(1+r)k-1+…+(1+r)+1] = A0 (1 ? r ) k ? x
(1 ? r ) k ? 1 (1 ? r ) ? 1

(2)

贷款总月数为 N,也就是说,第 N 个月的欠款额为 0,即 AN=0,在方程(2) 中令 N=k,导出每月的还款额
x? A0 r (1 ? r ) n 月利率。 ? A0 ? r ,可见每个月的还款额一定大于贷款额× (1 ? r ) n ? 1

综上所述 将 r=0.006,n=240,A0=2×105 代入可计算出每月还款额 x=1574.70 元,共还 款 1574.70× 240=377928.00 元,共计付利息 177928.00 元。

(2)在贷款满 5 年后,根据题意有 k=5×12=60,代入公式计算可得到则一次 付款额 A60=173034.90 元。 (3)根据题意从银行调整利率后算起,A0=173034.90,n=15× 12=180,r=0.008, 由此可以得到 x=1817.33 元,即每月的还款额应为 1817.33 元。 (4)根据题意,提前 3 年还完贷款则为 17 年还完贷款。 如果小王夫妇不请请这家借贷公司帮助还款,则每月的还款额约为 1574.7 元, 则总共的还款额为 1574.7× 12× 20=377928 元。 如果小王夫妇请这家借贷公司帮助还款,根据题意,每半个月付款一次,即每月 付款 2 次,一次付款额是原付给银行还款额的 1/2,还需考虑付给借贷公司的佣 金,因此总的还款额是 1574.699× 0.5× 17×12×2+200000× 10%=341238.60 元。 因此,小王夫妇应该请这家借贷公司帮助还款。

2、冷却定律与破案 按照 Newton 冷却定律,温度为 T 的物体在温度为 To (To<T)的环境中冷却的速 度与温差 T-To 成正比。 你能用该定律确定张某是否是下面案件中的犯罪嫌疑人。 某公安局于晚上 7 时 30 分发现一具女尸,当晚 8 时 20 分法医测得尸体温度为 32.6℃,一小时后,尸体被抬走时又测得尸体温度为 31.4℃,,已知室温在几个小

时内均为 21.1℃,由案情分析得知张某是此案的主要犯罪嫌疑人,但张某矢口否 认, 并有证人说:“下午张某一直在办公室, 下午 5 时打一个电话后才离开办公室”。 从办公室到案发现场步行需要 5 分钟, 问张某是否能被排除在犯罪嫌疑人之外?

解答: 首先根据 Newton 冷却定律列出其方程:

dT ? k (T ? T0 ) , dt
式中 T 为系统的温度, T0 为环境的温度, t 为客观时间, k 为散热系数。

(1)

若尸体温度按照牛顿的冷却定律来变化,设 T (t ) 表示 t 时刻尸体的温度,并记晚 上 8 点 20 分为 t=0 时刻。则根据实测数据有

T (0) ? 32 .6 ? C ,

T (1) ? 31 .4 ? C ,

(2)

推 理 一 下 : 假 设 受 害 者 死 亡 时 体 温 是 正 常 的 , 即 T (0) ? 37 ? C , 如 果 知 道

T (t ) ? 37 .? C 的解,则可以知道 t0。
由方程(1)得其通解
T (t ) ? T0 ? C e kt ,

(3)

式中 T0 ? 21 .1? C 为被害者家的温度,即环境温度。根据方程(2)确定常数 C 和 散热系数 k ,于是有
T (0) ? 21.1 ? C e k ?0 ? 32.6 , T (1) ? 21.1 ? C e k ?1 ? 31.4 ,

解方程组得, C ? 11.5 , k ? ln 115 ? ln 103 ? 0.11 ,代入方程(3)

T (t ) ? 21.1 ? 11.5e 0.11t ,
当 T (t ) ? 37 . C 时,该方程的解为
?

(4)

t 0 ? ?2.95 h ? ?2 h 57 min
所以,被害者的死亡时间约为: 8:20- 2:57 =5:23; 这也就是说,被害人的死亡时间约为 5:23,张某有足够长的时间可以作案,因

此张某不能被排除在嫌疑犯之外。

3、锻炼想象力、洞察力和判断力的问题(只简单回答出理由即可) (1)某人早 8 时从山下旅店出发沿一条山路上山,下午 5 时到达山顶并留宿,次 日 8 时沿同一路径下山, 下午 5 时回到旅店。该人必在两天中的同一时刻经过路 径中的同一地点,为什么?

解答: 可以将两个过程叠加在一起,看作两个人同时从起点和终点出发, ,所以必在中 间某一时间两人相遇,相遇点即为同一时刻经过路径中的同一地点。

(2)甲乙两站之间有汽车相通,每隔 10 分钟甲乙两站相互发一趟车,但发车时刻 不一定相同,甲乙两站之间有一中间站丙,某人每天在随机时刻到达丙站,并搭 乘最先经过丙站的那趟车。 结果发现 100 天中约有 90 天到达甲站,大约 10 天到 达乙站。问开往甲乙两站的汽车经过丙站的时刻表是如何安徘的?

解答: 此人 100 天中约有 90 天到达甲站,仅约 10 天到达乙站,也就意味着他有 90% 的可能是乘了“乙到甲”车次,10%的可能是乘了“甲到乙”车次。如果他在十分钟 的前一分钟之间的任意时刻到达丙站,那么他将乘坐到达的“甲到乙”车,如果他 在十分钟的后九分钟之间的任意时刻到达丙站,那么他将乘坐达到的 “乙到甲” 车。也就是说, “乙到甲”比“甲到乙”要迟 9 分钟这样的分配在全天时刻表中 都是如此, 可以实现“100 天中约有 90 天到达甲站, 仅约 10 天到达乙站”的结果。

(3)张先生家住在 A 市,在 B 市工作,每天下班后他乘城际火车于 18:00 抵达 A 市火车站,他妻子驾车至火车站接他回家。一日他提前下班,乘早一班火车于 17:30 抵达 A 市火车站,随即步行回家,他妻子像往常一样驾车前来,在半路相 遇将他接回家。到家时张先生发现比往常提前了 10 分钟,问张先生步行了多长 时间?

解答: 设想他的妻子驾车遇到他后,先带他去车站,再回家,汽车多行驶了十分钟,于 是带他去车站这段路程汽车跑了五分钟,而到车站的时间是 18:00,所以妻子 驾车遇到他的时刻是 17:55,张先生步行了 25 分钟。

(4)一男孩和一女孩分别在距家 2 公里和 1 公里且方向相反的两所学校上学,每 天同时放学后分别以每小时 4 公里和每小时 2 公里的速度步行回家。 一小狗以每 小时 6 公里的速度由男孩处奔向女孩,又从女孩处奔向男孩,如此往返直至回到 家中。问小狗奔波了多少路程。如果男孩和女孩上学时,小狗也往返奔波在他们 中间,问当他们到达学校时小狗在何处? 解答: 小狗奔跑的时间等于男孩女孩从学校回家需要时间是 0.5 小时,整个过程中,小 狗奔波路程为 3 千米。 男孩女孩到达学校时小狗的位置无法确定,因为设想放学 时小狗从任何位置起跑, 都会与男孩女孩同时到家。 之所以出现位置不定的结果, 是由于放学时小狗初始跑动的方向无法确定。

4.考试作弊情况调查 一位教授要估算他班上的大三和大四高年级学生在大学期间的考试中从未作弊 的概率.为了从学生那里得出真实的答案,他要求每个学生自己投掷一枚硬币, 如果正面朝上,回答问题 1:“你是即将毕业的大四学生吗?”;如果是正面朝下, 回答问题 2:“你曾经在考试中做过弊吗?”。每个学生在一张纸上写下答案“是” 或者“否”,然后收回这张纸,由教授来统计。答案是保密的,因为只有学生自己 知道他回答的是哪一个问题。 在参与这项实验的 35 名学生中, 有 20 名大四学生。 实验统计结果表明,有 18 名学生回答“是”,17 名学生回答“否”。利用这些信息 估计该班的任何一名学生在过去的考试中从未作弊的概率。 解答: 根据题意,应该将此题归类为利用 simmons 模型进行敏感性问题的结果调查。 问题 1:你是即将毕业的大四学生吗? 问题 2:你曾经在考试中做过弊吗?

设学生回答是的概率为 π, 对问题 1 回答 “是” 的概率为 π1; 对于问题 2 回答 “是” 的概率为 π2;而学生选择回答问题 1 的概率是 p。 因此,只需求出 π2 即可。
1-p)? 2 全概率的公式为 ? =p?1 +(

推出 ? 2 =

? -p? 1
1-p

根据题目可以求得: ? = 解得 ? 2 ? 45.71%

18 20 4 1 , ? 1 = = , p= ,代入求解 35 35 7 2

那么,利用这些信息估计该班的任何一名学生在过去的考试中从未作弊的概率, 就是 1-? 2 ? 54.29%

加分实验(公平投票问题) 某部门推出一专项基金目的在于培养优秀人才,根据评比结果来确定资助的额 度。许多单位的优秀者都申请了该基金,于是该基金的委员会聘请了数名专家, 按照如下规则讲行评比。 (1)为了公平性,评委对本单位选手不给分; (2)每位评委对每位参与申请的人 (除本单位选手外)都必须打分,且不打相同的 分; (3)评委打分方法为给参加申请的人排序,根据优劣分别记 1 分、2 分、… 依次类推。 (4)评判结束后,求出各选手的平均分,按平均分从低到高排序,依次确定本次 评比的名次,即平均分最低者获得资助最高,依次类推。 本次基金申请中, 甲所在单位有一名评委,这位评委将不参加对选手甲的评 判,其它选手没有类似情。评审结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平。问 选手甲的抱怨是否有道理?若不公平,能否做出修正来解决选手甲的抱怨?

解答: 首先为了建模研究这种评分制度的公平性, 必须统一条件: 参赛选手的水平相同; 评委打分公正;评委随机打分。 下面建立数学模型进行分析,建立模型的原则:在随机情况下,以每位选手所得 平均分是否相等,来判定此评分规则是否公正。 设本次参赛选手有 n 个,评委有 m 位,其中选手甲所在单位有一位评委,这位 评委将不对选手甲打分,因此对选手甲打分的评委只有 m-1 位,对其它选手打 分的评委有 m 位. 在随机情况下,选手甲所在学校的评委打的平均分为:
1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) n ? n ?1 2

而其它评委打的平均分为:
1? 2 ??? n n ?1 ? n 2

所以甲选手所得平均分为:

n ?1 ? (m ? 1) n ?1 2 ? m ?1 2
其它选手所得平均分为:
n n ?1 ? ? (m ? 1) n ?1 1 2 2 ? ? m 2 2m

在 m>0 的条件下,
n ?1 n ?1 1 ? ? 2 2 2m

所以在随机情况下,甲选手的分数要高于其他选手。因此从比赛公正性的角度分 析,他抱怨的对。但是对他个人而言,比赛是有利于他的。

评分规则的修正: 想要比赛公平, 评委对本学校选手不给分,但此评委对其它选手所打的平均分必 须等于其它评委所打的平均分。 假设参赛有 n 位选手,只有选手甲所在学校有一位评委,?其它选手所在学校无

人担任评委。
n ,而其他评委平 2 n ?1 1 均分 , 因此, 将选手甲所在单位评委的评分方法改为: 按照优劣分别记 1+ 2 2 1 分, 2+ 分,??。 2

根据上面计算的结果,选手甲所在学校的评委所打的平均分为


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