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江苏省东台中学2013届高三一轮复习作业:专题一 第五讲 导数及其应用


专题一

第五讲

导数及其应用

班级_________________姓名____________________ 一、填空题: 1.如图所示,有一圆锥形容器,其底面半径等于圆锥的高,若以

9?cm3 / s 的速度向该容器注水,则水深 10 cm 时水面上升的速
cm / s. 度为

2.等比数列 {an } 中, a1 ? 2 , a8 ? 4 ,
函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 )

( x ? a8 ) ,则 f '(0) =_________.
f ( x) ? 2 g ( x)

3.已知函数 f ? x ? , g ? x ? 满足 f (5) ? 5, f '(5) ? 3, g (5) ? 4, g '(5) ? 1, 则函数 y ? 的图象在 x ? 5 处的切线方程为 4.已知曲线 y ? .

1 3 8 x 上的一点 P (2, ), 则过点 P 的切线方程为 . 3 3 1 1 ? ? ? ? 5 .若曲线 y ? x 2 在点 ? a , a 2 ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18 ,则 ? ? a ? _________. 1 3 1 2 6.若函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 在区间 (1,4) 上为减函数,在区间 ? 6, ??? 上为 3 2
增函数,则实数 a 的取值范围为
3 2

. .

7.关于 x 的方程 x ? 3x ? a ? 0 有三个不同的实数解,则 a 的取值范围是
3 8.设函数 f ( x) ? x ? 3x, x ? R, 若 f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0(0 ? ? ?

?
2

) 恒成立,则实数

m 的取值范围是



9. 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln(x ? 1) , 若不等式 f ( x) ? a 在 x ? [0,??) 上恒成立, 则实数 a 的取值范围是 .

10.已知函数 f ( x) ? x ln x, 直线 l : x ? 2 y ? c ? 0. 若当 x ? [ e ,2] 时,函数 y ? f ( x) 的图 象在直线 l 的下方,则实数 c 的取值范围为 .

11 . 函 数 f ( x) 在 定 义 域 R 内 可 导 , 若 f (1 ? x) ? f (1 ? x) , 且 当 x ? (??,1) 时 ,

1 b ? f( ), ( x ? 1) f ?( x) ? 0 , c ? f (3) , 设 a ? f (0) , 则 a, b, c 的大小关系为_________. 2
12. 设函数 f n ( x) ? n2 x2 (1 ? x)n (n 为正整数), 则 f n ( x) 在 [0,1] 上的最大值为 二、解答题: 13.已知函数 f ( x) 的导数 f
'



? x? ? 3x2 ? 3ax, f (0) ? b, a, b 为实数,1 ? a ? 2.

(1)若 f ( x) 在区间 [?1,1] 上的最小值、最大值分别为 ? 2,1 ,求 a , b 的值;

(2)在(1)的条件下,求经过点 P(2,1) 且与曲线 f ( x) 相切的直线 l 的方程.

k 2 x ( k ≥0). 2 , (1)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程;
14.已知函数 f ( x )=ln(1+ x )- x + (2)求 f ( x )的单调区间.

15.已知 f ? x ? ? x ln x, g ? x ? ? ?x ? ax ? 3 .
2

(1)求函数 f ? x ? 在 ?t , t ? 2? ?t ? 0? 上的最小值; (2)对一切 x ? ? 0, ??? , 2 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明对一切 x ? ? 0, ??? ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex

16.已知 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) ,点 A(s,f(s)), B(t,f(t)) (1)若 a ? b ? 1 ,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2) 若函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 满足: 当|x|≤1 时, 有| f ?( x ) |≤ 的解析表达式 ; (3)若 0<a<b, 函数 f ( x ) 在 x ? s 和 x ? t 处取得极值,且 a ? b ? 2 3 ,证明: OA 与 OB 不可能垂直.

3 恒成立, 求函数 f ( x ) 2

专题一 一、利用导数研究曲线的切线

第五讲

导数及其应用

例 1.已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 , 则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 解析:由 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 得: .

f (2 ? x) ? 2 f ( x) ? (2 ? x)2 ? 8(2 ? x) ? 8
即 2 f ( x) ? f (2 ? x) ? x2 ? 4 x ? 4 ,∴ f ( x) ? x2 ∴ f / ( x) ? 2 x , ∴切线方程 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 . 例 2. 已知曲线 C : y ? x 3 ? 3x 2 ? 2 x , 过原点的直线 l 与曲线 C 相切, 求直线
l 的方程.
1 答案: y ? ? x 或 y ? 2 x 4 注意: “在点 A 处的切线”与“过点 A 的切线”的区别 二、利用导数研究函数的单调性 1? a ? 1(a ? R) 例 3.(2010·山东)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? x

(1)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 a ?
1 时,讨论 f ( x) 的单调性. 2

解: (1) 当 a ? ?1 时,f ( x) ? ln x ? x ?

x2 ? x ? 2 2 ? 1, x ? (0,?? ), f ? ? x ? ? x x2

因此, f ? ? 2? ? 1 ,又 f (2) ? ln 2 ? 2, 所以曲线 y ? f ( x)在点(2,f (2)) 处的切线方程为 y ? (ln 2 ? 2) ? x ? 2,
即 x ? y ? ln 2 ? 0.



2







f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ?1 x

,





ax2 ? x ? 1 ? a 1 a ?1 f ' ( x) ? ? a ? 2 ? ? x x x2
x ? (0,??) ,令 g ( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??),

①当 a ? 0 时, g ( x) ? ?x ?1, x ? ? 0, ??? , 所以 当 x ? ? 0,1? 时, g ? x ? >0,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减; 当 x ? ?1, ?? ? 时, g ? x ? <0,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增. ②当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ? 0 ,即 ax 2 ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? 当a ?
1 ?1. a

1 时, x1 ? x2 , g ? x ? ? 0 恒成立,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在(0, 2
1 1 时, ? 1 ? 1 ? 0 , a 2

+∞)上单调递减; 当0 ? a ?

x ? ? 0,1? 时, g ? x ? ? 0 ,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减
? 1 ? x ? ?1, ? 1? 时, g ? x ? <0,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增 ? a ? ?1 ? x ? ? ? 1, ?? ? 时, g ? x ? ? 0 ,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减 ?a ?

当 a ? 0 时,由于

1 ?1 ? 0 , a

x ? ? 0,1? 时, g ? x ? ? 0 ,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减; x ? ?1, ?? ? 时, g ? x ? <0,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增.
综上所述 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减;函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增

当a ?

1 时, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减 2 1 ? 1 ? 时, f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调 递减 ;在 ? 1, ? 1? 上单调 递增 ;在 2 ? a ?

当0?a?

?1 ? ? ? 1, ?? ? 上单调递减. ?a ?

三、利用导数研究函数的极值与最值 例 4 . 函 数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处 有 极 值 10 , 则 点 ( a, b) 为 . 答案: (-4,11) 四、利用导数研究函数的图象 例 5.设函数 f ( x) ? (1 ? x) 2 ? 2 ln(1 ? x), 若关于 x 的方程 f ( x) ? x2 ? x ? a 在
[0,2] 上恰有两个相异实根,求实数 a 的取值范围.

解:依题意,得 (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) ? a 在区间[O,2]上恰有两个相异实根. 令 g ( x) ? (1 ? x) ? 2 ln(1 ? x) , 则 g ( x) ? 1 ?
2 x ?1 ? ? 1? x x ?1

当 x ? [0,1) 时 g ' ( x) ? 0 ,当 x ? (1,2] g ' ( x) ? 0,
? g ( x) 在 ?0,1? 上是减函数,在 (1,2] 上是增函数.? g ( x)min ? g (1) ? 2 ? 2ln 2.

又? g (0) ? 1, g (2) ? 3 ? 2 ln 3, ? g (0) ? g (2),?只要 g (1) ? ? ? g (2), 如图, 即 2 ? 2 ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3 , 可以使方程 f ( x) ? x 2 ? x ? a 在区间 [0,2] 上 恰有两个相异实根, 故 a 的取值范围是 (2 ? 2 ln 2,3 ? 2 ln 3]. 五、利用导数证明不等式
1 2 7 x ? mx ? (m ? 0). 直线 l 与函数 f ? x ? , g ? x ? 的 2 2 图像都相切,且与函数 f ? x ? 的图像的切点的横坐标为 1 .

例 6.已知 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

(1)求直线 l 的方程及 m 的值; (2)若 h ? x ? ? f ? x ?1? ? g ' ? x ? (其中 g ' ? x ? 是 g ? x ? 的导函数) ,求函数 h ? x ? 的最大值; (3)当 0 ? b ? a 时,求证: f ? a ? b ? ? f ? 2a ? ?
b?a . 2a

解: (1) 依题意知,直线 l 是函数 f ( x) ? lnx 在点 (1,0) 处的切线,故其斜率 1 k ? f ' (1) ? ? 1, 1 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1. 又因为直线 l 与 g ( x) 的图像相切,所以由
y ? x ?1 ? 1 2 9 ? ? 1 2 7 ? x ? (m ? 1) x ? ? 0 得 2 2 y ? x ? mx ? ? ? 2 2

? ? (m ?1)2 ? 9 ? 0 ? m ? ?2(m ? 4 不合题意,舍去)
(2)因为 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ' ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? 2( x ? ?1) , 所以 h' ( x) ?
1 ?x ?1 ? ? x ?1 x ?1

当 ? 1 ? x ? 0 时 , h' ( x) ? 0; 当 x ? 0 时 , h' ( x) ? 0. 因此 , h( x ) 在 (?1,0) 上单调递增,在 (0, ??) 上单调递减. 因此,当 x ? 0 时 , h( x ) 取得最大值 h(0) ? 2. (3) 当 0 ? b ? a 时 ?1 ?
ln(1 ? x) ? x.
b?a ? 0 . 由 (2) 知 : 当 ? 1 ? x ? O 时 , h( x) ? 2. 即 2a

因此,有 f (a ? b) ? f (2a) ? ln

a?b ? b?a ? b?a . ? ln ?1 ? ?? 2a 2a ? 2a ?

例 7.(1)已知 0 ? x ? 1 ,试求函数 f ( x) ? (1 ? x 2 )(2 ? x) 的最小值; (2)若 a, b, c ? R ? , a ? b ? c ? 1 ,求证:
1 1 1 27 ? ? ? . 2 2 2 10 1? a 1? b 1? c

解: (1)对于函数 f ( x) ? (1 ? x 2 )(2 ? x) , 求导得 f ' ( x) ? ?3x 2 ? 4x ? 1 ? (1 ? x)(3x ? 1) ,由 f ' ( x) ? 0 得 x ? 当0 ? x ? 当
1 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是递减函数; 3 1 , 3

1 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是递增函数; 3 1 1 50 所以当 x ? 时,函数 f ( x) min ? f ( ) ? . 3 3 27 50 1 27 ? ? (2 ? x) (2)由第(1)题得: (1 ? x 2 )( 2 ? x) ? 2 27 50 1? x

1 27 1 27 1 27 ? (2 ? a) , ? ( 2 ? b) , ? (2 ? c) , 2 2 2 50 50 50 1? a 1? b 1? c 1 1 1 27 27 ? ? ? (6 ? a ? b ? c ) ? 三式相加得: 2 2 2 50 10 1? a 1? b 1? c 变题: x 27 a 27 b 27 ? (x ? x2 ) , ? (a ? a 2 ) , ? (b ? b 2 ) , 由 (1) 知: 从而 2 2 2 50 50 50 1? x 1? a 1? b c 27 1 1 ? (c ? c 2 ) ,三式相加,结合 a 2 ? b 2 ? c 2 ? (a ? b ? c) 2 ? 得: 2 50 3 3 1? c a b c 9 ? ? ? . 1 ? a 2 1 ? b 2 1 ? c 2 10 联想: 2 tan ? ? 在三角函数中,有公式 sin 2? ? ,因此,若 ? , ? , ? ? (0, ) ,且 2 2 1 ? tan ? 9 t an ? ? t an? ? t an? ? 1 ,则 sin 2? ? sin 2? ? sin 2? ? . 5 类比: a b c d 64 ? ? ? ? 若 a, b, c, d ? R ? , a ? b ? c ? d ? 1 ,则 3 3 3 3 65 1? a 1? b 1? c 1? d

从而

专题一

第五讲

导数及其应用

班级_________________姓名____________________ 一、填空题: 1.如图所示,有一圆锥形容器,其底面半径等于圆锥的高, 若以 9?cm3 / s 的速度向该容器注水,则水深 10 cm 时水面上升 的速度为
cm / s. 2.等比数列 {an } 中, a1 ? 2 , a8 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 )

( x ? a8 ) ,则

f '(0) =_________.

3 . 已 知 函 数 f ? x? , g ? x? 满 足 f ( 5 ? )
y?

5f ,

'? ( 5 )g 3? ,

则 数 (g 5 ) ?4 , 函 '( 5)

1,

f ( x )? 2 g ( x) 的图象在 x ? 5 处的切线方程为 . 1 3 8 ) ,过 点 P 的 切 线 方 程 4 . 已 知 曲 线 y ? x 上 的 一 点 P( 2 , 则 3 3 为 . 1 1 ? ? ? ? 5.若曲线 y ? x 2 在点 ? a, a 2 ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18, ? ? 则 a ? ______. 1 1 6.若函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 在区间 (1,4) 上为减函数,在区间 ? 6, ??? 3 2 上为增函数,则实数 a 的取值范围为 . 3 2 7 . 关 于 x 的 方 程 x ? 3x ? a ? 0 有 三 个 不 同 的 实 数 解 , 则 a 的 取 值 范 围 是 . ? 8 .设函数 f ( x) ? x 3 ? 3x, x ? R, 若 f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0(0 ? ? ? ) 恒成立,则 2 实数 m 的取值范围是 .

9.已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln(x ? 1) ,若不等式 f ( x) ? a 在 x ? [0,??) 上恒成立,则 实数 a 的取值范围是 .

10.已知函数 f ( x) ? x ln x, 直线 l : x ? 2 y ? c ? 0. 若当 x ? [ e ,2] 时,函数 y ? f ( x) 的图象在直线 l 的下方,则实数 c 的取值范围为 . 11 .函数 f ( x) 在定义域 R 内可导,若 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且当 x ? (??,1) 时, 1 ( x ? 1) f ?( x) ? 0 , 设 a ? f (0) , b ? f ( ) , c ? f (3) , 则 a, b, c 的 大 小 关 系 为 2 _________. 12 .设函数 fn ( x) ? n2 x2 (1 ? x)n (n 为正整数 ) ,则 f n ( x) 在[ 0,1 ]上的最大值 为 .

二、解答题: 13.已知函数 f ( x) 的导数 f ' ? x ? ? 3x2 ? 3ax, f (0) ? b, a, b 为实数, 1 ? a ? 2. (1)若 f ( x) 在区间 [?1,1] 上的最小值、最大值分别为 ? 2,1 ,求 a , b 的值; (2)在(1)的条件下,求经过点 P(2,1) 且与曲线 f ( x) 相切的直线 l 的方程.

14.已知函数 f ( x )=ln(1+ x )- x +

k 2 x ( k ≥0). 2 ,

(1)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程; (2)求 f ( x )的单调区间.

15.已知 f ? x ? ? x ln x, g ? x ? ? ?x2 ? ax ? 3 .

(1)求函数 f ? x ? 在 ?t, t ? 2? ?t ? 0? 上的最小值; (2)对一切 x ? ? 0, ??? ,2 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明对一切 x ? ? 0, ??? ,都有 ln x ?
1 2 ? 成立. e x ex

16.已知 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) ,点 A(s,f(s)), B(t,f(t)) (1)若 a ? b ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)若函数 f ( x) 的导函数 f ?( x ) 满足:当|x|≤1 时,有| f ?( x ) |≤ 函数 f ( x) 的解析表达式 ; (3)若 0<a<b, 函数 f ( x) 在 x ? s 和 x ? t 处取得极值,且 a ? b ? 2 3 ,证明:OA 与 OB 不可能垂直.
3 恒成立,求 2

专题一 1.
9 100

第五讲 3.

导数及其应用答案 4 . 12 x ? 3 y ?16 ? 0 或

2 . 212

5x ? 1 6 y? 3 ? 0

3x ? 3 y ? 2 ? 0

5.64

6. ?5,7?

7. ? ?4,0? 11. c ? a ? b

8. m ? 1 12. 4(

9. ? ??,0?
n n?2 ) n?2

10. ? ??, ?4ln 2 ? 2?

3 13.(1)由已知得 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? b. 由 f ' ( x) ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? a. 2

因为 x ???1,1? ,1 ? a ? 2, 所以当 x ?? ?1,0? 时 f ' ( x) ? 0. f ( x) 递增; 当 x ? (0,1] 时. f ' ( x) ? 0, f ( x) 递减. 所以 f ( x) 在区间[-1,1]上的最大值为 f (0) ? b, b ? 1.

3 3 3 3 又 f (1) ? 1 ? a ? 1 ? 2 ? a, f (?1) ? ?1 ? a ? 1 ? ? a ,故 f (?1) ? f (1). 由题意得 2 2 2 2 4 4 3 f (?1) ? ?2 ,即 ? a ? ?2, 得 a ? ? 故 a ? , b ? 1. 3 3 2

(2)由(1)得 f ( x) ? x3 ? 2x2 ? 1, f ' ( x) ? 3x2 ? 4x. 点 P(2,1)在曲线 f ( x) 上, ①当切点为 P(2,1)时,切线 l 的斜率 k ? f ' ( x) |x?2 ? 4, 故 l 的方程为 y ? 1 ? 4( x ? 2) ,即 4 x ? y ? 7 ? 0. ⑦ 当 点 P 不 是 切 点 时 , 设 切 点 为 Q( x0 , y0 )(x0 ? ? 2) , 切 线 l 的 斜 率
2 2 k ? f ' ( x) |x?x0 ? 3x0 ? 4x0 , 所以 l 的方程为 y ? y0 ? (3x0 ? 4x0 )(x ? x0 ). 又点 P(2,1) 在

l 上,所以
2 1 ? y0 ? (3x0 ? 4x0 )(2 ? x0 ), 所以 1 ? ( x03 ? 2x02 ?1) ? (3x02 ? 4x0 )(2 ? x0 ),

整理并化简得 x0 ( x0 ? 2) 2 ? 0, 因为 x0 ? ? 2 ,故 x0 ? 0. 所以切线 l 的方程为 y ? 1. 故所求切线 l 的方程为 4 x ? y ? 7 ? 0 或 y ? 1. (或者:由(1)知点 A(O,1)为极大值点,所以曲线 f ( x) 的点 A 处的切线为 y=l, 此切线恰好经过点 P(2,1),符合题意. ) 14.(1)当 k ? 2 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x2 , f '( x) ? 由于 f (1) ? ln 2 , f '(1) ?
3 , 2 3 ( x ? 1) 2 1 ?1 ? 2x 1? x

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ln 2 ? 即
3x ? 2 y ? 2ln 2 ? 3 ? 0

(2) f '( x) ?

1 x(kx ? k ? 1) ? 1 ? kx ? , x ? (?1, ??) . 1? x 1? x x 当 k ? 0 时, f '( x) ? ? . 1? x

所以,在区间 (?1, 0) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 . 故 f ( x) 的单调递增区间是 (?1, 0) ,单调递减区间是 (0, ??) .
kx( x ? 1? k ) k ? 0 ,得 x ? 0 , x ? 1 ? k ? 0 2 1 k 1? x

当 0 ? k ? 1 时,由 f '( x) ?

1? k 1? k ) 上,f '( x) ? 0 , ??) 上,f '( x) ? 0 ; 所以, 在区间 (?1, 0) 和 ( 在区间 (0, k k 1? k 1? k ). , ??) ,单调递减区间是 (0, 故 f ( x) 的单调递增区间是 (?1, 0) 和 ( k k

x2 当 k ? 1 时, f '( x) ? 故 f ( x) 的单调递增区间是 (?1, ??) . 1? x ,
1? k ) k ? 0 ,得 x ? 1 ? k ? (?1, 0) , x ? 0 . 当 k ? 1 时, f '( x) ? 1 2 k 1? x 1? k 1? k , 0) 上, f '( x) ? 0 ) 和 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 ( 所以在区间 (?1, k k 1? k 1? k , 0) ) 和 (0, ??) ,单调递减区间是 ( 故 f ( x) 得单调递增区间是 (?1, k k 15.解: (1) f ?( x) ? ln x ? 1 ,???????????????????? 1 分 1 1 当 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减,当 x ? ( , ??), f ? ( x ) ? 0, f (x ) 单调递增 ?2 e e 分 1 1 ① 0 ? t ? ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, e e 1 1 f ( x) min ? f ( ) ? ? ; ???????????????????4 分 e e 1 1 ② ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x)在?t, t ? 2? 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ;5 e e 分 kx( x ?

所以 f ( x) min

1 ? 1 ? ,0 ? t ? . ? ? e e ?? ?t ln t , t ? 1 ? e ?

???????????????????6 分

3 ,????????????7 分 x 3 ( x ? 3)( x ? 1) 设 h( x) ? 2 ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h?( x) ? , x x2 ① x ? (0,1), h?( x) ? 0, h( x) 单调递减, ② x ? (1, ??), h?( x) ? 0, h( x) 单调递增,

(2) 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 ,则 a ? 2ln x ? x ?

所 以 h( xm ) i? h( ? 1 ) ,4对 一 切 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g ( x) 恒 成 立 , 所 以 n ; a? h ( x ) i? 4 m n ?????????????????? 10 分 x 2 (3)问题等价于证明 x ln x ? x ? ( x ? (0, ??)) , ???????????11 e e 分

1 1 由(1)可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? ,当且仅当 x ? 时取到, e e 1? x x 2 设 m( x) ? x ? ( x ? (0, ??)) ,则 m?( x) ? x ,易知 e e e 1 m( x ) max ? m(1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, ????????????13 分 e 1 2 从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立 ??? ???????14 e ex 分

16.解:(1) f (x)=x3-2x2+x, f ? (x)=3x2-4x+1, 因为 f(x)单调递增,所以 f ? (x) ≥0,
1 1 即 3x2-4x+1≥0,解得, x≥1, 或 x≤ ,故 f(x)的增区间是(-∞, )和(1,+ ∞). 3 3

(2) f ? (x)=3x2-2(a+b)x+ab. 当 x∈[-1,1]时,恒有| f ? (x)|≤
3 ≤ , 2 3 . 2

故有 ?

3 3 3 ≤ f ? (1)≤ , ? ≤ f ? (-1) 2 2 2

3 ? 3 3 ? 2(a ? b) ? ab ≤ , ?? 2 ≤ 2 ? 3 3 3 ? 3 3 ? 2(a ? b) ? ab ≤ , ? ≤ f ? (0)≤ , 即?? ≤ 2 2 2 ? 2 3 3 ?? ≤ ab ≤ . ? 2 ? 2 9 3 3 ①+②,得 ? ≤ab≤ ? ,又由③,得 ab= ? , 2 2 2 3 将上式代回①和②,得 a+b=0,故 f(x)=x3 ? x. 2

① ② ③

(3) 假设 OA ⊥ OB , 即 OA ? OB = ( s, f ( s)) ? (t , f (t )) = st+f(s)f(t)=0, [st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1, 2 1 由 s,t 为 f ? (x)=0 的两根可得, s+t= (a+b), st= ab , (0<a<b), 3 3 9 从而有 ab(a-b)2=9. 这样(a+b)2=(a-b)2+4ab = +4ab≥2 36 =12, 即 a+b≥2 3 , ab (s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1, 这样与 a+b<2 3 矛盾.故 OA 与 OB 不可能垂直.


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