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二元一次不等式(组)所表示的平面区域


二元一次不等式(组)与 平面区域
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

1.了解二元一次不等式的几何意义. ? 2.会画二元一次不等式表示的平面区域. ? 3.能用平面区域表示二元一次不等式组.
?

一、例题引入:
一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000

元用于企业和个人贷款,

希望这笔资金至少可带来
30000元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个

人贷款中获益10%.那么,信贷部分配的资金满足
什么数学关系式呢?

问题:这个问题中存在一些不等关系

应该用什么不等式模型来刻画呢?

新知探究:
1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
(1)二元一次不等式:

(2)二元一次不等式组: (3)二元一次不等式(组)的解集:

(4)二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的 点之间的关系:

新知探究: 观察下面的不等式

二元一次不等式
含有两个未知数, 且未知数的最高次 数为1的不等式

x ? y ? 10 10x ? 12 y ? 8000

x ? 0 ? x ? 0y ? 0 y ? 0 ? 0x ? y ? 0

新知探究:
二元一次不等式组: 有几个二元一次不 等式组成的不等式组

? x ? y ? 10 ?10x ? 12 y ? 8000 ? ? x?0 ? ? y?0 ?

新知探究:
1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
(1)二元一次不等式: 含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式;
(2)二元一次不等式组: 由几个二元一次不等式组成的不等式组; (3)二元一次不等式(组)的解集:

满足二元一次不等式(组)的x和 y的取值构 成有序实数对(x,y)所有这样的有序数对( x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组) 的解集。

(4)二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐 标系内的点之间的关系:

二元一次不等式(组)的解集是有序实数对 ,而点的坐标也是有序实数对,因此,有序 实数对就可以看成是平面内点的坐标,进而 ,二元一次不等式(组)的解集就可以看成 是直角坐标系内的点构成的集合。

探究:在直角坐标系内,二元一次不等式
的解集表示什么图形?
y

y?0 y?0
y=0

y>0
O

x

y<0

问题:
二元一次不等式x-y-6<0表示什么 平面图形? 二元一次不等式x-y-6>0又表示什 么平面图形?

探究:在直角坐标系内,二元一次不等式的
解集表示什么图形?
y

L:x-y-6=0
O

·

·

(6,0)

x

(0,-6)

y

L:x-y-6=0

O

·

·

(6,0)

x

(0,-6)

y

· (7,5) · (12,2) ·· · (-8,-4) · · (9,-3)
O

(6,0)

x

(0,-6)

L:x-y-6=0

y

L:x-y-6=0

x-y-6<0
O

·

·

(6,0)

x

(0,-6)

x-y-6>0

猜想:
直线L左上方的点(x,y)有x-y-6<0 直线L右下方的点(x,y)有x-y-6>0

y

·
y>y0 x-y-6<0 x-y0-6=0

L:x-y-6<0

P(x,y)

O

· ·
P0(x,y0)

·

(6,0)

x

(0,-6)

不等式 x – y -6> 0 表示 不等式x – y -6<0表示直 线x – y -6= 0左上方的平 直线x – y -6=0右下方 的平面区域; 面区域;
y 6 3 -6 -3 -3 -6 3 6 9 x -3 -3 -6 -9 x-y<6 y 6

3
3 6 9 x

x-y>6

直线x- y-6=0叫做这两个区域的边界 (不取=时画为虚线)。

结论 从特殊到一般:
二元一次不等式Ax + By + C>0在平面
直角坐标系中表示什么图形?

直线Ax + By + C = 0某一侧所有点
组成的平面区域。
y Ax + By + C = 0 x

结论一:

二元一次不等式表示 相应直线的某一侧区域

O

问题:一般地,如何画不等 式Ax + By + C>0表示的平 面区域?

结论 (1)二元一次不等式Ax+By+C>0在平面 直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧 所有点组成的平面区域。

(2)由于对直线同一侧的所有点(x,y),把 它代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (x0,y0) ,从Ax0+By0+C的正负可以判断出 Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。 一般在C≠0时,取原点作为特殊点。

三、典例探究:
例1:画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域

解(1)直线定界: 先画直线x + 4y – 4 = 0(画成虚线) (2) 特殊点定域: 取原点(0,0),代入x
+ 4y - 4,因为 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0 所以x + 4y – 4 < 0表示的平面区域在原点同侧.
x+4y―4=0 y

x

作图方法步骤:
直线定界、特殊点定域

总结:作图步骤:
直线定界、特殊点定域
(1)直线定界
“>0 (或<0) ”时, 直线画成虚线;
“≥0(或≤0)”时,直线画成实线.

(2)特殊点定域:
当C≠0时,取(0,0);当C=0时,取(1,0).

例1:画出不等式x+4y<4表示的平面区域。
y

·
O x+4y<4

x+4y=4 4 x

练习1:画出下列不等式表示的平面区域: ? (1)x+2y-4>0;(2)y≥x+3.
?

?

?

[ 解题过程 ] (1) 先作出边界 x+ 2y- 4 = 0 ,因为这条 直线上的点都不满足x+2y-4>0,所以画出虚线. 取原点 (0,0) 代入 x + 2y - 4. 因为 0 + 2×0 - 4 =- 4 < 0 ,所以原点 (0,0) ,不在 x+ 2y - 4 > 0 表示的平面区域 内,不等式x+2y-4>0表示的平面区域如图(1)所示( 阴影部分).

?

?

(2)将y≥x+3变形为x-y+3≤0,先作出边界x-y+3= 0,因为这条直线上的点都满足x-y+3≤0,所以画成 实线. 取原点 (0,0) ,代入 x - y + 3. 因为 0 - 0 + 3 = 3 > 0 ,所 以原点 (0,0) 不在 x- y+ 3≤0 表示的平面区域内,不等 式 x- y+ 3≤0 表示的平面区域如图 (2) 所示 ( 阴影部分 ) .

(3) x ? y ? 0
y
5

(4) x ? 3
y

-5

o

x

O

x

x=3

例2:画出不等式组

?x? y?5? 0 ? ? ? x? y ?0 ? x?3 ? ?
表示的平面区域。

x-y+5=0
y

x+y=0

6
4
2

-6

-4

-2 O

2

4

6

x

x=3

变式:求不等式组

?x? y?5? 0 ? ? ? x? y ?0 ? x?3 ? ?
表示的平面区域的面积。

y

x-y+5=0 (3,8) A

x+y=0
? 5 5? ?? , ? ? 2 2?

6
4

B
-6 -4

2

-2 O

2

4

6

x

(3,-3) C x=3

y ? ?3x ? 12 ? ? 练习2、画出 ? x ? 2 y ? ?
的平面区域

y
12

3x+y-12=0
8

4

x-2y=0
x

0 -9 –8 –7 –6 -5 -4 –3 –2 -1 0 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6

解决引入例题:
一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000

元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来
30000元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个

人贷款中获益10%.那么,信贷部分配的资金满足
什么数学关系式呢?

设用于企业贷款的资金为x元,用于个人贷款的资 金y元。则

x ? y ? 25000000 (12%) x ? (10%) y ? 30000 x ? 0, y ? 0

所以得到分配资金应该满足的条件:

? x ? y ? 25000000 ?12 x ? 10 y ? 3000000 ? ? x ? 0 ? ? ?y ? 0

例3.一个化肥厂生产甲乙两种混合化 肥,生产1车皮甲种肥料的主要原料是 磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产1车皮乙 种肥料的主要原料是磷酸盐1t、硝 酸盐15t.现库存磷酸盐10t、硝酸盐 66t,在此基础上生产这两种混合肥料 .列出满足生产条件的数学关系式,并 画出相应的平面区域.

盐类
肥料

磷酸盐 硝酸盐 (10t) (66t)

车皮数

甲种肥料

4t

18t

x y

乙种肥料

1t

15t

总吨数

4x+y 18x+15y

解:设x,y分别为计划生产甲乙两 种肥料的车皮数,满足以下条件:

? 4 x ? y ? 10 ?18 x ? 15 y ? 66 ? ? x ? 0 ? ? y?0 ?

y 15 10

4x+y=10
5

-1

O

1

x

2

3

18x+15y=66

4

小结:
知识点:⑴ 二元一次不等式表示平面区域:
直线某一侧所有点组成的平面区域。

⑵ 判定方法:

直线定界,特殊点定域。 ⑶ 二元一次不等式组表示平面区域: 各个不等式所表示平面区域的公共部分。

数学思想:

数形结合、化归、分类讨论

应该注意的几个问题:
1、若不等式中不含0,则边界应画成虚线,

否则应画成实线。

2、画图时应非常准确,否则将得不到正确结果。 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。


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