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等差数列性质学案Microsoft Word 文档 (2)


第二讲:等差数列性质

sxz.NO:2 11/18/2011

(2)等差数列前 m 项和是 30 ,前 2m 项和是 100 ,则它的前 3m 项和是 210 . 变式(一般式: )若数列 {an } 成等差数列,且 Sm ? n, Sn ? m(m ? n) ,求 Sn? m . 解: (法一)基本量法(略) ; (法二)设 Sn ? An2 ? Bn ,则 ?

一、知识回顾 教学目的:1. 掌握等差数列的概念、通项公式和有关性质。 2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法. (2)通项公式法. (3)中项公式法. 3. 在等差数列{ an }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ?

?a m ? 0 的项数 m ?a m ?1 ? 0

? An 2 ? Bn ? m ? 2 ? Am ? Bm ? n ?

(1) (2)

使得 s m 取最大值. (2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ?

?a m ? 0 的项数 m 使得 s m 取最小值.在解含绝对 ?a m ?1 ? 0

(1) ? (2) 得: (n2 ? m2 ) A ? (n ? m) B ? m ? n ,?m ? n , ∴ (m ? n) A ? B ? ?1,
∴ Sn?m ? (n ? m)2 A ? (n ? m) B ? ?(n ? m) . 例 2 设等差数列 ?an ? 满足 3a8 ? 5a13 ,且 a1 ? 0 ,则 ?an ? 的前多少项的和最大?

值的 数列最值问题时,注意转化思想的应用。 4.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式和为 S n ,公差为 d , n ? N ,则
*

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d (公式一) 2

(a ? a ) Sn ? 1 n n 2

(公式二)

5.掌握等差数列 ?an ? 的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解答简单的问题。 二、等差数列 ?an ? 的相关性质: 1.等差数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq . 2.两个等差数列 {an } 与 {bn } 的和差的数列 {an ? bn } 仍为等差数列. 3. 等差数列 {an } 的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m ,?? 仍为等差数 列. 三、例题分析: (教学思想:侧重于性质:若 m ? n ? p ? q, 则 am ? an ? ap ? aq ) 例 1. (1)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后三项的和为 146,且所有项的和为 390 , 则这个数列有 13 项;

2 ? ?a1 ? 39 (n ? 1)a1 ? 0 2 ? 解析:思路一:由 3 a8=5a13 得:d= ? a1,若前 n 项和最大,则 ? , 2 39 ?a ? na ? 0 ? 1 39 1 ?
39 41 ?n? ,∴n=20,即 ?an ? 的前 20 项和最大。这一做法为通法。 2 2 n(n ? 1) 1 1 S d ? na1 ? n(n ? 1)a1 ? ? a1 (n 2 ? 40n) ,当且仅当 n ? 20 时 思路二: n ? na1 ? 2 39 39
又 a1>0 得:

Sn n 最大。
点评:这一做法突显了数列的函数特征。 思路三: 由 3a8 ? 5a13 得 15a8 ? 25a13 ? 15 ?

a1 ? a15 a ?a ? 25 ? 1 25 ? S15 ? S25 ,又∵ a1 ? 0 , 2 2

∴ Sn 的图象是开口向下的抛物线上的点列,对称轴恰为 n ? 20 ,故 n ? 20 时 Sn 最大。 点评:这一做法中几乎没有运算,抓住了题目条件,结合数列的函数特性做处理,显得十分 巧妙。 2 侧重于等差中项

1

例题 3 在等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 中,它们的前 n 项和分别为 S n , Tn ,且

S n 2n ? 1 a ,则 7 的 ? Tn 3n ? 2 b7
例 3.等差数列 {an } 中共有奇数项,且此数列中的奇数项之和为 77 ,偶数项之和为 66 ,

值是多少? 分析:利用等差中项建立起等差数列前 n 项和与其通项的联系是解决本题的关键。

a1 ? a13 a1 ? a13 ?13 S a7 2 ? 7 ? 1 13 2 2 解析: ? ? ? 7 ? ? b1 ? b13 b7 b1 ? b13 T7 3 ? 7 ? 2 23 ?13 2 2 * ( 变 式 ) 设 Sn 和 Tn 分 别 为 两 个 等 差 数 列 的 前 n 项 和 , 若 对 任 意 n ? N , 都 有 .
4 Sn 7n ? 1 ,则第一个数列的第 11 项与第二个数列的第 11 项的比是 . ? 3 Tn 4n ? 27
1.如果数列{an}满足 a1=2,a2=1,且 项等于( 1 A. 10 2 1 C. 10 ) 1 B. 9 2 1 D. 5 an-1-an an-an+1 = (n≥2),则这个数列的第 10 an-1 an+1

a1 ? 1 ,求其项数和中间项.
解:设数列的项数为 2n ? 1 项, 则 S奇 ? ∴

(n ? 1)(a1 ? a2 n ?1 ) n(a2 ? a2 n ) ? 77 , S偶 ? ? 66 2 2

S奇 n ? 1 77 ,∴ n ? 6 ,∴数列的项数为 13 ,中间项为第 7 项,且 a7 ? 11. ? ? S偶 n 66

说明: (1)在项数为 2n ? 1 项的等差数列 {an } 中, S奇 =(n+1)a中 ,S偶 =na中 ,S2n +1 =(2n+1)a中 ; (2)在项数为 2n 项的等差数列 {an } 中 S奇 =nan ,S偶 =nan?1 ,S2n+1 =n(an ? an?1 ) .

例 4.数列 {an } 是首项为 1000 ,公比为

an an an an 解析:∵1- = -1,∴ + =2, an-1 an+1 an-1 an+1 2 1 1 1 1 = + ,∴{ }是首项为 , an an-1 an+1 an 2 1 1 1 1 公差为 的等差数列,∴ = n,∴a10= . 2 an 2 5 答案:D

1 的等比数列,数列 {bn } 满足 10

1 bk ? (lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg ak ) k

(k ? N * ) ,

(1)求数列 {bn } 的前 n 项和的最大值; (2)求数列 {|b n |} 的前 n 项和 S n? . 解: (1)由题意: an ? 104?n ,∴ lg an ? 4 ? n , ∴数列 {lg an } 是首项为 3,公差为 ?1 的等差数列, ∴ lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg ak ? 3k ? 由?

5.在等差数列{a n }中,已知 a 4 + a 7 + a 10 = 则 k 等于 A. 16 B. 18 C. 20

17,a 4 + a 5 + a 6 + ┄ + a 14 = 77, 若 a k =13, D. 22

k (k ? 1) 1 n(n ? 1) 7 ? n ]? ,∴ bn ? [3n ? 2 n 2 2

?bn ? 0 21 ,得 6 ? n ? 7 ,∴数列 {bn } 的前 n 项和的最大值为 S 6 ? S 7 ? 2 ?bn ?1 ? 0

2

(2)由(1)当 n ? 7 时, bn ? 0 ,当 n ? 7 时, bn ? 0 ,

则 Sn 是关于 n 的二次函数,若令 A ? 数的知识解决。 二 侧重于等差数列性质的公式二 1

d d , B ? a1 ? , 则 Sn ? An2 ? Bn 。此时可利用二次函 2 2

∴当 n ? 7 时, Sn? ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( 当 n ? 7 时,

3?

7?n 2 )n ? ? 1 n2 ? 13 n 2 4 4

侧重于性质:若 m ? n ? p ? q, 则 am ? an ? ap ? aq 。 有些涉及等差数列前 n 项和的题目,常与等差数列的上述性质融合在一起,将 a1 ? an 与

1 13 S n? ? b1 ? b2 ? ? ? b7 ? b8 ? b9 ? ? ? bn ? 2 S7 ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n 2 ? n ? 21 4 4

? 1 2 13 (n ? 7) ?? n ? 4 n ? ?? 4 ∴ Sn . ? ? 1 n 2 ? 13 n ? 21 (n ? 7) ?4 ? 4

其他条件进行转换。 例题 4 一个只有有限项的等差数列,它的前 5 项的和为 34,最后 5 项的和为 146,所有项的 和为 234,则它的第七项等于( ) A. 22 B. 21 C. 19 D. 18 解:设该数列有 n 项且首项为 a 1 ,末项为 a n ,公差为 d ,则依题意有

说明:

an S2 n ?1 . ? bn T2 n ?1

7、已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1, a3, a9 成等比数列,则

a1 ? a3 ? a9 的值是 a 2 ? a 4 ? a10

? ?a1 ? a2 ? a3? a? a5 3 4 ( 1 ) ? 4 ? a 4 ?an ? an?1 ? a? 2 ? an 3? ? n ? 1 4 6 ( 2 ) n ? ?a ? a ? 1 n ?n ? 2 3 4 ( 3 ) ? 2
(1) ? ( 2) 结合上述性质可得 a1 ? a n ? 36
代入(3)有 n ? 13 从而有 a1 ? a13 ? 36 又所求项 a7 恰为该数列的中间项,

(A)

15 14

(B)

12 13

(C)

13 16

(D)

15 16

11. (1) {an } 是等差数列, 若 首项 a1 ? 0, a2005 ? a2006 ? 0, a2005 ? a2006 ? 0 , 则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是 ; () 3、 在数列 {a n } 中, 3a n ?1 ? 3a n ? 2 (n ? N), 且 a 2 ?a 4 ? a 7 ? a 9 ? 20, 则 a 10 为 A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 2 函数思想 将 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n , d ? 0 , 当 数列 {an } 为常数列; d ? 0 , 当 2 2 2

? a7 ?
故选 D

a1 ? a13 36 ? ? 18 2 2

点评: 依题意能列出 3 个方程, 若将 a1 ? a n 作为一个整体, 问题即可迎刃而解。 在求 a7 时,

3

巧用等差中项的性质也值得关注。知识的灵活应用,来源于对知识系统的深刻理解。 2 侧重于等差中项 利 用 等 差 中 项 , 可 以 实 施 等 差 数 列 前 n 项 和 Sn 与 其 通 项 an 的 转 换 :

4.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a7>0,a8<0,则下列结论正确的是( A.S7<S8 C.S13>0 B.S15<S16 D.S15>0

)

an ?

a1 ? a2 n ?1 ? S2 n ?1 ? (2n ? 1)an 2

解析:因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列),由已知可知该等差 数列{an}是递减的,且 S7 最大即 Sn≤S7 对一切 n∈N*恒成立.可见选项 A 错误;易知 a16< 15 13 a15<0,S16=S15+a16<S15,选项 B 错误;S15= (a1+a15)=15a8<0,选项 D 错误;S13= 2 2 (a1+a13)=13a7>0. 答案:C ( ) a11 5.数列{an}是等差数列,若 <-1,且它的前 n 项和 Sn 有最大值,那么当 Sn 取得最 a10 小正值时,n=( A.11 C.19 ) B.17 D.21

四、强化训练 1.设 S n 和 T n 分别为两个等差数列的前 n 项和,若对任意 n∈N,

A.4∶3B.3∶2C.7∶4D.78∶71 2.一个首项为正数的等差数列中,前 3 项的和等于前 11 项的和,当这个数列的前 n 项和最 大时,n 等于. ( ) A.5 B.6C.7 D.8 2.已知等差数列{an}、{bn}的公差分别为 2 和 3,且 bn∈N*,则数列{abn}是( ) A.等差数列且公差为 5 C.等差数列且公差为 8 B.等差数列且公差为 6 D.等差数列且公差为 9

解析:由题意可知,数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大值,所以公差小于零,故 a11<a10, 又因为 a11 <-1,所以 a10>0,a11<-a10,由等差数列的性质有 a11+a10=a1+a20<0,a10 a10

解析:依题意有 abn=a1+(bn-1)×2=2bn+a1-2=2b1+2(n-1)×3+a1-2=6n+a1+ 2b1-8,故 abn+1-abn=6,即数列{abn}是等差数列且公差为 6.故选 B. 答案:B 3.(2011· 福州模拟)等差数列{an}的前 n 项为 Sn,若 a2+a6+a7=18,则 S9 的值是( A.64 C.54 B.72 D.以上都不对 )

+a10=a1+a19>0,所以 Sn 取得最小正值时 n=19. 答案:C 二、填空题(共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) 7. (2010· 辽宁高考)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, S3=3, 6=24, a9=________. 若 S 则
?3a1+3d=3, ?a1=-1, ? ? 解析:由 S3=3,S6=24,得? 解得? 所以 a9=a1+8d=15. ? ? ?6a1+15d=24, ?d=2,

解析:由 a2+a6+a7=3a1+12d=3a5=18,得 a5=6. 9?a1+a9? 所以 S9= =9a5=54. 2 答案:C

答案:15 三、解答题 10.若数列{an}满足 an=2an-1+2n+1(n∈N*,n≥2),a3=27. (1)求 a1、a2 的值;

4

1 (2)记 bn= n(an+t)(n∈N*),是否存在一个实数 t,使数列{bn}为等差数列?若存在,求出 2 实数 t;若不存在,请说明理由. 解:(1)由 a3=27,27=2a2+2 +1 得 a2=9,由 9=2a1+2 +1,得 a1=2. (2)假设存在实数 t,使得{bn}为等差数列. 1 1 1 则 2bn=bn-1+bn+1, 即 2× n(an+t)= n-1(an-1+t)+ n+1(an+1+t), 2 2 2 an-2n-1 + 整理得 4an=4an-1+an+1+t,又 4an=4× +2an+2n 1+t+1=4an+t-1, 2 ∴t=1,故存在 t=1,使得数列{bn}为等差数列. 11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的取值范围; (2)S1,S2,…,S12 中哪一个值最大?并说明理由. 解:(1)∵S12>0,S13<0,
3 2

5 12 13 ∴6< - < . 2 d 2 ∴当 n=6 时,Sn 有最大值,所以 Sn 的值最大为 S6. 法二:由题意及等差数列的性质可得

?S ? ?S

12=

12?a1+a12? =6?a6+a7?>0, 2 13?a1+a13? =13a7<0. 2

13=

∴a7<0,a6>0. ∴在数列{an}中,前 6 项为正,第 7 项起,以后各项为负,故 S6 最大.

?12a +12×11d>0, 2 ∴? 13×12 ?13a + 2 d<0,
1 1

?2a1+11d>0, ? 即? ? ?a1+6d<0.

又 a3=a1+2d=12, 24 ∴解得- <d<-3. 7 n?n-1? (2)法一:Sn=na1+ d(n=1,2,3,…,12). 2 n?n-1? ∴Sn=n(12-2d)+ d 2
2 d 5 12 2 ?5d-24? = [n-( - )] - . 2 2 d 8d

24 ∵- <d<-3, 7

5


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