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高中数学平面向量知识点总结


高中数学必修 4 之平面向量
知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
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②零向量:长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行 ③单位向量:模为 1 个单位长度的向量 ④平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量
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? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ??? ???? 2、向量加法:设 AB ? a, BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC
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(1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法满足交换律与结合律;

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? . AB ? BC ? CD ? ?? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连” ? ? 3、向量的减法: ① 相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量 ? ? ? ? ? ? ? ? ②向量减法:向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差,③作图法:a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点
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的向量( a 、 b 有共同起点)

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4、实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向规定如下: (Ⅰ) ?a ? ? ? a ; (Ⅱ)当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向 相反;当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的

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5、两个向量共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a

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6、平面向量的基本定理:如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有且只 有一对实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 ,其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 1 平面向量的坐标表示:平面内的任一向量 a 可表示成 a ? xi ? yj ,记作 a =(x,y)。
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2 平面向量的坐标运算:
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(1) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? (2) 若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? (3) 若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y)

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??? ?

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(4) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 (5) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 若 a ? b ,则 x1 ? x2 ? y1 ? y 2 ? 0

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三.平面向量的数量积
1 两个向量的数量积:
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已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a ·b =︱ a ︱· b ︱cos ? ︱ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) 规定 0 ? a ? 0
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? ? ? ? ? a ?b 2 向量的投影:︱ b ︱cos ? = ? ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影 |a|
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3 数量积的几何意义: a ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积
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4 向量的模与平方的关系: a ? a ? a 2 ?| a |2
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5 乘法公式成立:
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? ? ? ? ?a ? b ? ? ?a ? b ? ? a ? b ? a ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ? a ? 2a ? b ? b ? a
2 2 2 2

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?2

2

?2 ?b ; ? ? ?2 ? 2a ? b ? b

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6 平面向量数量积的运算律:
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①交换律成立: a ? b ? b ? a

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? ? ?? ? R? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③分配律成立: ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ? ? ? ? ? ? ? 特别注意: (1)结合律不成立: a ? ? b ? c ? ? ? a ? b ? ? c ;
②对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b

?? ?

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(2)消去律不成立 a ? b ? a ? c

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不能得到 b ? c ?

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(3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 7 两个向量的数量积的坐标运算:
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已知两个向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ·b = x1 x2 ? y1 y2

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8 向量的夹角: 已知两个非零向量 a 与 b , OA = a , OB = b ,则∠AOB= ? ( 0 ? ? ? 180 ) 作 叫做向量 a 与 b 的
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夹角

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? ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? a ?b cos ? = cos ? a , b ?? ? ? = 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
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当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ =00,当且仅当 a 与 b 反方向时θ =1800,同时 0 与其它任何非零向量 之间不谈夹角这一问题
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? ? ? ? ? ? 0 9 垂直:如果 a 与 b 的夹角为 90 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b
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10 两个非零向量垂直的充要条件:
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? ? ? ? a ⊥ b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 平面向量数量积的性质
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