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1.3.1-单调性与最大(小)值(第2课时)


课题:1.3.1 单调性与最大(小)值(第 2 课时) 授课教师:阳江市高新区第一中学 佘计超 教材:人教版全日制普通高级中学教科书数学第 1 册(必修 1) 【教材分析】 本节教材知识间的前后联系,以及地位与作用 本节主要研究函数的基本性质中的单调性与最大(小)值。先认识连续函数的图像具有上升 或者下降(单调性)的特点,并会用作差法判断连续函数的单调性。然后在学习了函数的单 调

性后,认识到函数可能还会在某一个地方具有最大(小)值,最后还会利用函数的单调性 去求函数的最大(小)值。本节的内容用两课时完成,这里是第二课时。学好这一节,学生 将会求一些常见函数的最大(小)值以及与最大(小)值有关的问题。运用本节知识可以解 决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集 中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生 的知识结构,培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值. 高中阶段对函数的最大(小)值的要求比较高,特别是常见的二次函数的最大(小)值问 题。对于定义在某一区间[a,b]上的函数,学生总会认为所有的函数像一次函数一样,在两 侧端点有最大(小)值,而在高一的函数中不一定是这种情况。通过本节的学习,学生将会 对函数的变化过程有一个全新的认识, 并为后面学习导数知识打下坚实的基础。 本节教材还 有一个重要的教育功能,那就是培养学生的探索精神,体验自主学习的成功愉悦。 【教学目标】 根据本节教材特点,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的三维教学目标: 1.知识和技能目标 (1)了解函数的最大(小)值 (2)了解闭区间[a,b]上的连续函数 f(x),在[a,b]上必有最大、最小值。了解函数的最值 存在的可能位置. (3)掌握用图像法、单调性法求函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标 (1)在学习过程中,观察、归纳、表述、交流、合作,最终形成认识. (2)培养学生的数学能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. 3.情感和价值目标 (1)认识事物之间的的区别和联系,体会事物的变化是有规律的唯物主义思想. (2)提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教学重点、难点】 1.教学重点 基于以上对本节教材特点和教学目标的分析,将本节课的教学重点确定为: (1)了解函数的最大(小)值的定义; (2)了解函数的最值存在的可能位置 (3)会用图像法和单调性法求闭区间上的连续函数的最大值和最小值. 2.教学难点 高中的学生虽然已经对一次函数、反比例函数、二次函数有一定的认识,但对定义在某一区 间内的函数的最值的认识还不是十分清晰, (1)发现区间上的连续函数 f (x)的最值可能存在于区间端点处或区间中某一点处 (二次函数是

在-2a/b 处) ; (2)求函数的最大(小)值要先判断函数在定义域内的单调性情况。 3.教学关键 本节课突破难点的关键是:通过合作探究的方式,让学生在运动变化的过程中通过观察、比 较,发现结论. 【教法选择】 关于教法与学法: (1)观察学习是重要的学习方法.这节课采用的第一个方法就是“观察、比较法” ; (2)为了克服学生已有知识经验和阅历不足的弱点,采用多媒体辅助教学,学生在函数图 象的运动变化中观察、比较,发现数学本质; (3) 根据新课标的教学理念, 教学中要培养学生合作共事的团队精神, 这节课还采用了 “合 作、讨论法” ,让学生共同探讨、合作学习、取长补短、形成共识. 【学法指导】 对于求函数的最值, 是高中数学的一个难点, 那么有没有通用的方法可以求常见函数的最值? 教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以 形成认识,参与到课堂活动中,充分发挥他们作为认知主体的作用. 【教学过程】 本节课的教学,大致按照“创设情境,铺垫导入——合作学习,探索新知——指导应用,鼓 励创新——归纳小结,反馈建构”四个环节进行组织. 教学环节 教 学 设 计 意 图 一、创 设 情





境,铺 垫 导



设问:上面股票的价格是怎样变化的?在哪里买比较好?哪里卖最好呢?

给出股票的图像,启发学生对如何利益最大化进行思考,让学生体会数学源于生活。

通过问题导入,激发学生们的求知欲望,引出课题(最低价时买,最高价时卖)

教学环节 教 学 设 计 意 图





二、合 作 学 习,探 索 新 知

提问:如何定义最大(小)值 ? 板书最大值的定义: 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I, 都有 f(x)≤M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 板书最小值的定义: 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I, 都有 f(x)≥M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最小值。

提问:我们常见的函数(一次,反比,二次)的图像是否也会有同样的结论呢? 用 PowerPoint 软件演示常见的一次函数,二次函数,反例函数的图像。 提问:我们应该用什么方法去求函数的最大(小)值?

结合实例,让学生观察函数,更好地理解函数的最大值和最小值的定义

从具体到一般,得出最大值的定义,体会数学语言的美。

培养学生的类比能力

为让学生更好地进行发现, 教学中通过改变区间位置, 引导学生观察同一函数在不同区间内 图象上最大值最小值取得的位置,形成感性认识,进而上升到理性的高度.体会同一函数在 不同区间上的变化差异,为新知的发现奠定基础后,提出教学目标,让学生带着问题走进课 堂,既明确了学习目的,又激发起学生的求知热情.

结合初中已有的知识体系,形成新的认识。 学生作函数的图像观察最大(小)值

教学环节 教 学 设 计 意 图





三、指 导 应 用,鼓 励 创 新 例 3、 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂,如果 烟花距地面高度 h m 与时间 t s 之间的关系为,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时 刻?这时距地面的高度是多少(精确到 1m)? 解:作出函数的图象:

显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵 坐标就是这时距地面的高度。 由二次函数的知识,对于函数,我们有: 当时,函数有最大值 于是,烟花冲出后 1.5s 是爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约为 29m 例题小结:图像法求函数的最值:对于已经学习过的函数,我们可以先作函数的图像,通过 观察,发现函数的最值在什么地方。

课堂练习:(图像法) 1 函数在区间-1,2 的最大值和最小值 2 函数 在区间 1,2 上的最大值和最小值 3 函数=-4+5 在闭区间-1,5 上的最大值和最小值 指导学生分析,发现问题,并学会将实际问题转化为数学问题,同时也让学生体会到现实生 活中蕴含着大量的数学信息,培养他们用数学的意识和能力.

引导学生在作图时要重点注意实际问题的定义域,提醒学生作图时必须要注意定义域

学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述,体验到成功的喜悦,学会学习、学 会合作.在整个新知形成过程中,教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者,以提高学生 抽象概括、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力.

使例题方法一般化

巩固重点内容,使学生在课堂上就能掌握.同时强调规范的书写和准确的运算,培养学生严 谨认真的数学学习习惯. 对学生完成练习情况进行评价, 使所有学生都体验到成功或得到鼓 励,并据此调控教学. 教学环节 教 学 设 计 意 图





三、指 导 应 用,鼓 励 创 新 例 4.已知函数 (),求函数的最大值和最小值. 分析:由函数的图像 函数在区间递减,所以函数 f(x)在区间[2,6] (的两个端点上分别取得最大值和最小值. 解:设是区间[2,6]上的任意两个实数,且则

由于,得, 于是 所以函数是区间[2,6] 上的减函数,所以在区间的两个端点取得最值。 最大值为 最小值为 例题小结:对于不常见的函数,可以先判断函数在定义域内的单调性情况,然后分析函数在 什么地方取到最值 课堂练习:(单调性法,不作函数图像) 1.函数=-4+5 在闭区间-1,5 上的最大值和最小值

对于不是常见的函数,我们应该怎么应用所学的知识解决问题,

结合上一节课的函数单调性证明方法,使学生熟悉用定义证明函数为减函数的基本步骤。

教学中注重及时反思小结,在反思中产生感悟,培养学生思维的严密性。

使例题方法一般化

通过不同的方法解决相同的问题,培养学生发散思维的能力。明确步骤和格式。 培养学生的逆向思维能力 三、指导应用,鼓励创新 提问:通过本节课的学习,你对函数的最大(小)值有什么认识?以后你会用什么样的方法 求函数的最大(小)值?

对本节课的知识进行系统的归纳和概括。

四、归纳小结 ,反思建构 课堂小结: 1.函数最大值和定义和最小值的定义及感性认识。 2.在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在 [a,b]上必有最大值与最小值; 3.求函数最值的方法(1)图像法(2)单调性法 作业布置: P39 B 组题 1 P44 A 组第 9 题 选做题: 函数对任意的恒有 成立,求的取值范围。 通过课堂小结,深化对知识理解,完善认识结构,领悟思想方法,强化情感体验,提高认识 能力. 课外作业分必做题与选做题,因材施教、及时反馈,让不同的学生在数学上得到不同的发 展.同时有利于教师发现教学中的不足,及时反馈调节.

【板书设计】 P30 1.3.1 单调性与最大(小)值 一.知识点: 最大值的定义: 最小值的定义: 二.最值可能存在的位置 单调增:左最小,右最大 单调减:左最大,右最小 先增后减,最小值在中间,最大值看两边 三. (1)图像法 (2)单调性法:先判断在定义域内单调性(函数最值的位置(求最值 例 1:

例 2: 练习 1:

练习 2: 【教学设计说明】 本节课旨在让学生了解什么是函数的最值以及最值可能存在的位置, 让学生学会运用数形结 合的方法和运用函数的单调性方法来分析和解决最值问题的意识和能力, 整堂课对闭区间上 的连续函数的最大值和最小值以“是否存在?存在于哪里?怎么求?”为线索展开. 1. 由于学生对初中的时候一次函数的影响比较深, 总会认为最值只存在于区间的两个端点, 而实际上在像二次函数这种包含了增减两种性质的函数中, 最值存在于区间中, 还有一些开 区间的函数不存在最值, 因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情, 充分利用学生已有的知识体验和生活经验, 遵循学生认知的心理规律, 努力实现课程改革中 以“学生的发展为本”的基本理念. 2.关于教学过程,对于本节课的重点会用图像法和单调性法求闭区间上的连续函数的最大 值和最小值的步骤,必须让学生在课堂上就能掌握.让学生带着问题走进课堂,师生共同探 究解决,知识的建构过程充分调动学生的主观能动性. 3.为充分调动学生的学习积极性,让学生能够主动愉快地学习,本节课始终贯彻“教师为 主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想,引导学生主动参与到课堂 教学全过程中. 4.在教学手段上,制作多媒体课件辅助教学,使得数学知识让学生更易于理解和接受;课 堂教学与现代教育技术的有机整合,大大提高了课堂教学效率.


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