当前位置:首页 >> 数学 >>

二随机变量


第二章

随机变量

第一节 随机变量及其分布函数

第二节 离散型随机变量及其分布 第三节 连续型随机变量及其分布 第四节 随机变量函数的分布

第一节 随机变量及其分布函数
定义1:

定义2:设X是一随机变量,x为任意实数,函数 称为随机变量X的分布函数。
0

X

x 上一页

下一页

返回

0

X

x

证明:

上一页

下一页

返回

上一页

下一页

返回



上一页

下一页

返回

例1: 口袋里装有3个白球2个红球,从中任取三个球, 求取出的三个球中的白球数的分布函数

解: 设X表示取出的3个球中的白球数。X的可能 取值为1,2,3。而且由古典概率可算得

上一页

下一页

返回

y

于是,X 的分布函数为:

1

0

1

2

3

x

上一页

下一页

返回

例2: 考虑如下试验:在区间[0,1]上任取一点,记录它
的坐标X。那么X是一随机变量,根据试验条件可以认为

X取到[0,1]上任一点的可能性相同。求X的分布函数。 解 : 由几何概率的计算不难求出X的分布函数
当x<0时

y 1

所以:
0
上一页

1

x
返回

下一页

上一页

下一页

返回

第二节

离散型随机变量及其分布

如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无 限多个,则称这种随机变量为离散型随机变量。 设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2,…),事 件 发生的概率为pk ,即
公式形式

称为随机变量X的概率分布或分布律。 分布律常用表格 形式表示如下: X pk x1 p1 x2 p2 … … xk… p k…
上一页

下一页

返回

分布律的两个基本要素:

1)确定随机变量 X 的所有可能取值 x1 , x2 ,? ? ? 2)求对应于每个取值点 xk的概率P( X ? xk ) ? pk ,k ? 1,2,? ? ?
分布律的两条基本性质: 非负性 例3: 设随机变量X的分布律如下:试求常数a. ?k P ( X ? k ) ? a , k ? 0,1,2,....,? ? 0为 常 数 。

解:由? pk ? ? a
k ?1 k ?1

?

k!
?

?k
k!

? ae? ? 1,

xk ?? ? ex k ? 0 k!

?

得,a ? e .

??

上一页

下一页

返回


p





2 a

(1)确定常数a的值;(2)求X的分布函数

解:(1)由分布律的完备性知
得:
上一页

下一页

返回

(2)由分布函数定义得X的分布函数为: x?0 F ( x) ? P{ X ? x} ? 0 0 ? x ? 1 F ( x) ? P{ X ? x} ? P{ X ? 0} ? 1 / 2 1? x ? 2 F ( x) ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? 1 / 2 ? 1 / 3 ? 5 / 6 x?2 F ( x) ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? P{ X ? 2} ? 1/ 2 ?1/ 3 ?1/ 6 ? 1
y 1 5/6 1/2 1/2 1/3 1/6 ?

?
0

?

1

2
上一页

3
下一页

x
返回

例:已知随机变 量X分布函数是 求:X的分布律。 解:X的所有取值就说分布函数的间断点1,2,3。

X的分布律为:X

1
0.3

2
0.6

3
0.1

两点分布 若在一次试验中X只可能取x1 或x2 两值(x1<x2), 它的概率分布是

则称X服从两点分布。 当规定x1=0,x2=1时两点分布称为(0-1)分布。 简记为X~(0-1)分布。 X pk 0 1-p 1 p
上一页

下一页

返回

二项分布
若离散型随机变量X的分布律为

其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布,记为 X~b(n,p)。

上一页

下一页

返回

在n重贝努里试验中,假设A在每次试验中出现 的概率为p,若以X表示n次试验中A出现的次数。那 么由二项概率公式得X的分布律为:

即X服从二项分布。

当n=1时,二项分布化为: P{X=k}=pk(1-p)1-k k=0,1 即为(0-1)分布
(0-1)分布可用b(1,p)表示。
上一页

下一页

返回

例4:将 一枚均匀的骰子掷4次,求3次掷出5点的概率.

A? “掷不出 5点” 解:令A=“掷出5点”,
1 则: P ( A) ? , 6 5 P( A ) ? 6

令X =“4次抛掷中掷出5点的次数”,则

1 X ~ b(4, ) 6
4次抛掷中3次掷出5点的概率为:

5 ? 1? ? 5? P ( X ? 3) ? C ? ? ? ? ? ? ? 6 ? ? 6 ? 324
3 4

3

例5: 某交互式计算机有10个终端,这些终端被各个 单位独立使用,使用率均为0.7,求同时使用的终端不 超过半数的概率。 解 : 设X表示10个终端中同时使用的终端数,则 X~b(10,0.7)。所求的概率为 :

在涉及二项分布的概率计算时,直接计算很困难时, 采用了近似计算。下面给出近似公式:
上一页

下一页

返回

泊松定理 设 λ>0是一常数,n是任意整数,设npn=λ,则 对任意一固定的非负整数k,有 证 明

上一页

下一页

返回

从而 定理的条件npn=λ,意味着n很大时候pn必定很小。 因此当n很大,p很小时有近似公式 其中λ=np。

在实际计算中,当
作为 而当

时用
的近似值效果很好。 时效果更佳。

(λ=np)

的值有表可查。
上一页

下一页

返回

例6: 有同类设备300台,各台工作状态相互独立。已 知每台设备发生故障的概率为0.01,若一台设备发生故 障需要一人去处理,问至少需要配备多少工人,才能保 证设备发生故障而不能及时修理的概率小于0.01?

解: 设X表示同一时刻发生故障的设备台数,依题意知 X~b(300,0.01),若配备N位维修人员,所需解决的问题 是确定最小的N,使得:P{X>N}<0.01 (λ=np=3)

查表可得N+1=9,满足上式最小的N是8。 即:至少需配备8个工人才能满足要求。 上一页

下一页

返回

泊松(Poisson)分布 设随机变量X的所有可能取值为0,1,2…,而取各值

的概率为

其中λ>0为常数,则称X服从参数为?的泊松分布,记 为X~ ?(?) 或 X~P(? )。 上式给出的概率满足:pk=P{X=k} ? 0, 且

上一页

下一页

返回

例7:某人骑摩托车上街,出事故的概率为0.01,独
立重复上街400次,求出事故至少两次的概率。 解:400次上街?400重Bernoulii实验

,0.01) 记X 为出事故的次数,则 X ~ B(400
所求概率为: P ( X ? 2) ?
400

?
k ?2

400

C

k 400

?0.01? ?0.99?
k

400 ? k

4k e ?4 ? 4k e ?4 ?? ?? ? 0.908 k! k ? 2 k ! k ?2
另解: P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1)
40 e ?4 41 e ?4 ? 1? ? ? 0.908 0 ! 1 !
上一页

下一页

返回

例8:(进货问题)由某商店过去的销售记录知道,某商 品每月的销售数可用参数为λ =5的泊松分布来描述, 为了以95%以上的把握保证月底不脱销,问商店在月底 至少应进多少台? 解:设每月的销售数为X,月底进N台,则

“月底不脱销” ? “X ? N”
即求满足 P(X≤N)>0.95 的最小的N 由于 P(X≤N)=1-P(X>N),即求
5k e ?5 P ( X ? N ) ? P ( X ? N ? 1) ? ? ? 0.05 k! k ? N ?1
?

查表知:N+1=10,所以

N=9
上一页

下一页

返回

第三节 连续随机变量及其分布
定义3: 设随机变量X的分布函数为F(x),若存在非负 函数f(t),使得对于任意实数x,有

则称X为连续型随机变量,称f(t)为X的概率密度函数, 简称概率密度或分布密度。 概率密度f(x)具有以下性质:

(4)若x为f(x)的连续点,则有
上一页

下一页

返回

由性质(2)知: 介于曲线y=f(x)与Ox轴之间的面积等于1(见图1)。 由性质(3)知:

X落在区间(x1,x2)的概率等于区间(x1,x2)上曲线
y=f(x)之下的曲边梯形的面积(见图2)。 由性质(4)知: 若已知连续型随机变量X的分布函数F(x)求导得概率密

度 f(x )。

f ( x)

f ( x)

1
O 图1

x

O

x1 x 2
图2

x
上一页

下一页

返回

两点说明 (1)若X为具有概率密度f(x)的连续型随机变量。 则有 如果x0为f(x)的连续点,有
f(x)在x0处的函数值f(x0)反映了概率在x0点处的“密 集程度”,而不表示X在x0处的概率。设想一条极细 的无穷长的金属杆,总质量为1,概率密度相当于各 点的质量密度。 (2)若X为连续型随机变量,由定义知X的分布函数 F(x)为连续函数(注意:反之不然)。

为零,事实上 在计算连续型随机变量X落 在某一区间的概率时,可以不必区分该区间是开区 间或闭区间或半开半闭区间,即有:

X取一个点a的概率

事件{X=a} 并非不可能事件 概率为零的事件不一定是不可能事件; 概率为1的事件不一定是必然事件。
上一页

下一页

返回

例1:设随机变量X具有概率密度 求:(1)常数a;(2) (3)X的分布函数F(x) 解: (1)由概率密度的性质可知

所以 a=1/ 2
上一页

下一页

返回

上一页

下一页

返回

?0, x ? 0 例: (P42) ? 2 设连续性随机变量 X的分布函数为 F ( x) ? ? Ax ,0 ? x ? 1 ?1, x ? 1 ? 试求:( 1 )系数A;(2)X落在?0.3, 0.7 ? 内的概率; (3)X的密度函数。

解:(1 )由连续性, 1 ? F (1) ? lim F ( x) ?
x ?1 2 ? lim Ax ?A ? x ?1

?

A ?1

(2) P{0.3 ? X ? 0.7} ? F (0.7) ? F (0.3) ? 0.7 2 ? 0.32 ? 0.4 ?2 x , 0 ? x ? 1 (3) X的密度函数f ( x) ? F ( x) ? ? ?0, 其他
/

例: (P43)

x ? 设随机变量X具有密度函数f ( x) ? ?2 ? , 3 ? x ? 4 ? 2 ? 其他 ?0, ( 1 )确定k( ; 2)求F ( x); (3)求P{1 ? X ? 4}

1 ?kx x, ?6

0? x?3

x 解:( 1 )由完备性, ??? f ( x)dx ? ?0 kxdx ? ?3 (2 ? 2 )dx 9k 1 1 ? ? ?1 ? k? 2 4 6
?? 3 4

(2)F ( x) ? P{ X ? x} ? ? f (t )dt
??

x

? x 0dx , x?0 ? ? ?? ? 0 x1 0? x?3 ???? ? ?0 xdx, 6 ? ?? 0 3 x x x ?? ? ? dx ? ? (2 ? )dx , 3? x ? 4 ?? 0 6 3 2 ? ? 0 3 x 4 x x ???? ? ?0 dx ? ?3 (2 ? )dx ? ?4 , x ? 4 6 2 ?

x?0 ?0 , ? 2 0? x?3 ? x / 12, ?? 2 ?? x / 4 ? 2 x ? 3 , 3 ? x ? 4 ?1 x?4 ?

(3)P{1 ? X ? 4} ? F (4) ? F (1) 1 11 ? 1? ? 12 12

均匀分布

设连续型随机变量X的概率密度函数为

则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b), X的分布函数为 :

上一页

下一页

返回

概率密度函数f(x)与分布函数F(x)的图形可用图示

上一页

下一页

返回

指数分布
设连续型随机变量X具有概率密度

则称X服从参数为?的指数分布。 X的分布函数为

上一页

下一页

返回

f(x)和F(x)可用图形表示
f ( x) F ( x)

?

1

O

x

O

x

上一页

下一页

返回

指数函数具有“无记忆性”, 即:

?s, t ? 0 , 有 P{X ? s ? t | X ? s} ? P{X ? t}
事实上, P{ X ? s, X ? s ? t} P{ X ? s ? t | X ? s} ? P{ X ? s} P{ X ? s ? t} 1 ? F ( s ? t ) ? ? P{ X ? s} 1 ? F ( s) e ?? ( s ?t ) ? ?t ? ??s ? e ? P{ X ? t} e

正态分布 设随机变量X的概率密度为

其中? ,?(?>0)为常数,则称X服从参数为? ,? 的正态分 布或高斯分布,记为X~N(?,?2). X的分布函数为 利用 可以证明 ,

上一页

下一页

返回

正态分布的密度函数f(x)的几何特征:
(1) 最大值在x=μ处,最大值为 ;

(2) 曲线y=f(x)关于直线x= μ对称,于是对于任 意h>0,有
(3)曲线y=f(x)在 (4)当 处有拐点;

时,曲线y=f(x)以x轴为渐近线

上一页

下一页

返回

当?固定,改变?的值,y=f(x)的图形沿Ox轴平移而不 改变形状,故 又称为位置参数。若?固定,改变?的 值,y=f(x)的图形的形状随?的增大而变得平坦。
f ( x) f ( x)

1
O

? ? 0.5
? ?1 ? ?2

? ? h? ? ? h

?1

x

O

?
上一页

x

?越小,X落在?附近的概率越大。

下一页

返回

参数? =0,? =1的正态分布称为标准正态分布,记为 X~N(0,1)。其概率密度函数和分布函数分别用 和 表示,即

1



的图形如图所示。

上一页

下一页

返回

定理

X ? ? 设 X ~ N ( ? , ? ) ,则 Y ? ~N(0,1) ?
2

标准正态分布的重要性在于,任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布. 由正态密度函数的几何特性易知 函数 写不出它的解析表达式,人们已编制了它 的函数表,可供查用。

一般的正态分布,其分布函数F(x)可用标准正态分布

的分布函数表达。若X~


, X的分布函数F(x)

因此,对于任意的实数a,b(a<b),有

上一页

下一页

返回

例2: 设X~N(0,1),求P{1<X<2},P{

}.

设X~N(1.5,4),求P{-1<X<2}.

? 1 ? 1.5 X ? 1.5 2 ? 1.5 P{?1 ? X ? 2} ? P{ ? ? } 2 2 2 ? ?(0.25) ? ?(?1.25) ? ?(0.25) ? [1 ? ?(1.25)] ? 0.5987? 1 ? 0.8944? 0.4931
上一页

下一页

返回

例3: 某仪器需安装一个电子元件,要求电子元件的
使用寿命不低于1000小时即可。现有甲乙两厂的电子

元件可供选择,甲厂生产的电子元件的寿命服从正态
分布N(1100,502), 乙厂生产的电子元件的寿命分布服从 正态分布N(1150,802)。问应选择哪个厂生产的产品呢? 若要求元件的寿命不低于1050小时,又如何? 解 :设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为X和Y, 则X~ N(1100,502),Y~ N(1150,802).

(1)依题意要比较概率 大小, 两个概率如下:



比较两个概率的大小就知应选甲厂的产品。
上一页

下一页

返回

(2)依题意要比较概率 两个概率如下:

的大小,

比较两个概率的大小就知应选乙厂的产品。
上一页

下一页

返回

例: (P48)
公交车门的高度是按成年男子与车门碰头的概

率在0.01以下来设计的。设男子身高(单位:cm)
X~N(170 , 62),问车门高度应如何确定?

解 : 设车门高度为 h厘米, 则" 碰头" ? “X ? h”

P( X ? h) ? 0.01 ?

P( X ? h) ? 0.99

h ? 170 ? ?( ) ? 0.99 6 查表知:φ (2.33)=0.9901>0.99,所以

h ? 170 ? 2.33 ? h ? 184(cm) 6

例: (P49) 测量到某个目标的距离 时发生的随机误差

X ~ N (20,40 ),试求在 3次测量中至少有一次 误差的绝对值不超过 30m的概率。
解:一次误差的绝对值 不超过30m的概率为 30 ? 20 ? 30 ? 20 P{ X ? 30} ? P{?30 ? X ? 30} ? ?( ) ? ?( ) 40 40 ? ?(0.25) ? ?(?1.25) ? 0.5987? (1 ? 0.8944 ) ? 0.4931

2

设:Y为3次测量误差的绝对值不 超30m的次数 则:Y ~ b(3,0.4931 )

P{Y ? 1} ? 1 ? P{Y ? 0} ? 1 ? 0.5069 ? 0.8698
3

对于标准正态随机变量 ,我们引入 ?分位点的定义。

设:X ~ N (0,1), 若z? 满足P{ X ? z? } ? ?(0 ? ? ? 1 ) , 则称点z? 为标准正态分布的上 ?分位点。
阴影部分 面积为

?

z?

查表z0.05 ? 1.645 ,z0.001 ? 3.01 ,可得标准正态分布的 上0.05分位点与上0.001 分位点分别是 1.654和3.01 。

且:?越小,z?的值越大。

第四节

随机变量函数的分布

设y=g(x)为一个通常的连续函数,X为定义在概率 空间上的随机变量,令Y=g(X),那么Y也是一个定义在 概率空间上的随机变量。 设X是离散型随机变量,Y是X的函数Y=g(X)。那么 Y也是离散型随机变量。

上一页

下一页

返回

例1: 设离散型随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 3 求:(1)Y=X-1; P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2) Y=-2X2的分布律。 解:由X的分 布律可得 P 0.2 X -1 X-1 -2 -2X2 -2 0.1 0 -1 0 0.1 1 0 -2 0.3 2 1 -8 0.3 3 2 -18

由上表易得Y的 分布律 (1)Y=X-1的分布律为 Y -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3

(2) Y=-2X2分布律为 Y -18 -8 -2 0 P 0.3 0.3 0.3 0.1
上一页

下一页

返回

对此类问题,先由X的取值xk,(k=1,2…)
求出Y=g(X)的取值yk=g(xk),(k=1,2…);

如果诸yk各不相同,
则由X的分布律P{X= xk }=pk, k=1,2…, 便可得y的分布律:P{Y= yk }=pk, k=1,2…。 如诸yk中有些值相同,则应把相同的值合并并将对应 的概率加在一起。 本例(2)中,X的两个取值-1和1都对应Y的一个值-2, 这样: P{Y=-2}=P{X=-1或X=1} =P{X=-1}+P{X=1}

=0.2+0.1=03

上一页

下一页

返回

设X为连续型随机变量,具有概率密度fX(x)。又 Y=g(X),在大部分情况下Y也是连续型随机变量。为 了求出Y的概率密度fY(y),可以先求出Y的分布函数 FY(y)

由FY(y)便可求出Y的概率密度fY(y)=F’Y(y)。计算的关键 是给出上式的积分区间。即将事件 转化为用X表 示的事件 。其中 。
这种方法称之为分布函数法。
上一页

下一页

返回

例2: 设连续型随机变量X具有概率密度 求Y=2X+1的概率密度fY(y)。 解 : 先求出Y的分布函数FY(y)

从而Y的概率密度为

上一页

下一页

返回

例3 : 设随机变量X~N(0,1),求Y=X2的概率密度fY(y)。 解: X的概率密度为 记Y的分布函数为FY(y), 那么FY(y)=P{Y≤y}= P{X2≤y} 当y<0时,FY(y)=0 当y≥0时,FY(y)= P{X2≤y}

Y的概率密度为
上一页

下一页

返回

当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时,有: 定理 设随机变量X具有概率密度fX(x)。函数g(x)为 (-∞,+∞)内的严格单调的可导函数,则Y=g(X)也 是一个连续型随机变量,且Y的概率密度函数为

其中x=h(y)是y=g(x)的反函数, α=min(g(-∞),g(+∞)), β=max(g(-∞),g(+∞))。 证明: 若y=g(x) 严格单调增加,则其反函数x=h(y)存在 且也严格单调增加。 Y=g(X)在区间(?,β) 内取值,
上一页

下一页

返回

当 当 当

时FY(y)=0, 时,FY(y)=1; 时 FY(y)=P{Y≤y}= P{g(X)≤y} = P{ X≤h(y)}=

Y的概率密度为

若y=g(x) 严格单调下降,同样可以证明:

综上所述得:
上一页

下一页

返回

例4: 设随机变量X~N( 概率密度fY(y)。 解: X的概率密度为:

),求Y=aX+b(a≠0)的

y=ax+b为严格单调且可导的函数,其反函数为:

由上述定理得Y=aX+b的概率密度为

即有 取 ,得
上一页

下一页

返回

1 2 ? , x?0 ? 22 f ( x) ? ? ? 例5 :设X的概率密度为: ?( (1 1? ?x x )) ? x?0 ? 0, 设Y ? ln X , 求: ( 1 )? ; (2) Y的概率密度 ;
??

(3) Y的分布函数。

解:由概率密度的性质:
(1) 1 ? ?
??

f ( x )dx ? ?

??

0

1 dx 2 ? (1 ? x )

?? ? ? arctgx ?? ? ? 0 2 1

(2) FY ( y) ? P(Y ? y) ? P(ln X ? y) ? P( X ? e y ) ? FX (e y ), e y ? 0 两边同时对 y求导: y 2 e y y , ? ? ? y ? ?? fY ( y) ? f X (e ) ? (e )? ? 2y ? (1 ? e ) (3)求Y分布函数 FY ( y ) :

法一: FY ( y) ? FX (e y ) ? ??? f ( x )dx ey 2 2 y ?? dx ? arctge ,?? ? y ? ?? 2 0 ? (1 ? x ) ?
法二:FY ( y) ? ? fY ( y)dy
??
y

ey

y

2e y 2 y ?? dy ? arctge , ? ? ? y ? ?? 2 y ?? ? (1 ? e ) ?


相关文章:
关于二维连续型随机变量中的积分计算问题
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 关于二维连续型随机变量中的积分计算问题 作者:陈向阳 来源:《新校园· 中旬刊》2014 年第 12 期 摘要:本文主要讨论了...
二维随机变量
二维随机变量_理学_高等教育_教育专区。9.二维随机变量【教学内容】 :高等教育出版社浙江大学盛骤,谢式千,潘承毅编的《概率论与数理统计》 第三章第§1 二维随机...
两个随机变量和与商的分布函数和密度函数
二、两个随机变量商的分布 设(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y) ,又 Z = 函数为 X X ,现求 Z = 的概率密度,Z 的分布 Y Y FZ ( z ) = P{Z ≤...
第2章 随机变量及其分布习题解答
第二章 随机变量及其分布 1、解: 、 设公司赔付金额为 X ,则 X 的可能值为; 投保一年内因意外死亡:20 万,概率为 0.0002 投保一年内因其他原因死亡:5 万...
二维随机变量的分布函数
第十讲(二维随机变量函数的... 40页 5财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
§3.1 二维随机变量(第一课时)
§3.1 一、教学目标 (一)知识与能力 二维随机变量 (第一课时) 1.了解二维随机变量的概念及其联合分布函数概念和性质, 了解二维离散型 随机变量的定义及其分布律;...
二、随机变量及其分布(答案)
二、随机变量及其分布(答案)_工学_高等教育_教育专区。概率论习题答案概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 随机变量及其分布( 第二章 随机变量及其分布(一) ...
二维随机变量求Z的分布密度
二维随机变量求Z的分布密度_理学_高等教育_教育专区。可以简单得计算二维函数的分布密度 二维随机变量求 Z 的分布密度 1.二重变上限积分的偏导数 对于二重变上限...
二维随机变量练习题
1/2 相关文档推荐 二维随机变量练习题 暂无评价 15页 2下载券 第4章 二维...二​维​随​机​变​量​练​习​题 暂无评价|0人阅读|0次...
第3章 二维随机变量及分布
二维随机变量及其概率分布复习资料内容摘要 一、二维随机变量 设随机试验的样本空间为Ω,X 和 Y 是定义在Ω上的两个随机变量(X,Y)为二维随机变量 或二维随机向量...
更多相关标签: