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高二数学理科周测试题


息县二高高二数学第二次周测试题 A
(时间 120 分钟,分值 150 分) 2014-2-27 19:50—21:50
一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将所选答案写在答题卡上) 1. f ?( x0 ) ? 0 是函数 f ? x ? 在点 x0 处取极值的: A.充分不必要条件 2.设 y ?
2

B.必要不充分条件 ) .

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

1? x ,则 y' ? ( sin x

A.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x sin 2 x

B.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x sin 2 x

C.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) sin x
3

D. ) .

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) sin x

3.曲线 y ? x 在点 (2,8) 处的切线方程为( A. y ? 6 x ? 12 C. y ? 8 x ? 10 4.函数 f ( x) ? x ? e (A) ?? 1,0?
?x

B. y ? 12 x ? 16 D. y ? 2 x ? 32 的一个单调递增区间是( (C) ?1,2? (D) ?0,2? )

(B) ?2,8?

5、设曲线 y ? x ? 1 在点 ( x, f ( x )) 处的切线的斜率为 g ( x ) ,则函数 y ? g ( x)cos x 的部分图 象可以为
2

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

6 . 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f ( ? x) ? ? f ( , x)

, 且 g? ( x)? g ( x ) x?0 时 ,

) f ?( x)? , 0 ?g (? x ) ,则 0 x ? 0 时( A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 1 x ? 7.函数 f ( x) ? e (sin x ? cos x) 在区间 [0, ] 的值域为( 2 2

) .
?

1 1 A. [ , e 2 ] 2 2
3

?

1 1 B. ( , e 2 ) 2 2

?

?

C. [1, e ]
2

D. (1, e 2 )

8. 若函数 f ( x) ? x ? 12 x在区间(k ? 1, k ? 1) 上不是单调函数,则实数 k 的取值范围 ( ) A. k ? ?3或 ? 1 ? k ? 1或k ? 3 B. ? 3 ? k ? ?1或1 ? k ? 3 C. ? 2 ? k ? 2 D.不存在这样的实数 k

1

9.函数 f ? x ? 的定义域为 ? a, b ? ,导函数 f ? ? x ? 在 ? a, b ? 内的图像如图所示, 则函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 内有极小值点 A.1 个 B.2 个
2

C.3 个

D.4 个

10. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有

f (1) 的最小值为 f '(0) 5 3 A. 3 B. C. 2 D. 2 2 3 2 11 . 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的 图 象 与 x 轴 有 三 个 不 同 交 点 (0,0), ( x1 ,0) ,
f ( x ) ? 0 ,则

( x2 ,0) ,且 f ( x) 在 x ? 1, x ? 2 时取得极值,则 x1 ? x 2 的值为(
A.4 B.5 C.6 D.不确定



12. 在 R 上的可导函数 f ( x) ? 取得极小值,则

1 3 1 2 当 x ? (0,1) 取得极大值, 当 x ? (1,2) x ? ax ? 2bx ? c , 3 2
) .

b?2 的取值范围是( a ?1

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分。请将答案填在答题卷相应空格上。 ) 13.若 f′(x0)=2,则 lim f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) =__ _______.
k ?0

2k

14.一点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移是 S ? 为零的时刻是_______________。 15.设 f(x)=x(x+1)(x+2)?(x+n), 则 f′(0)=_________. 16.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 0 ,
2

1 4 3 3 t ? t ? 2t 2 ,那么速度 4 5

不等式 x f ( x) ? 0 的解集是 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.求下列函数的导数: (1) f ( x) ? 1 ? 2 x ; (2) y ? ln
2

xf ?( x) ? f ( x) (x ?0 x2

? 0) ,则

1? x , 1? x

2

班级 姓名 学号 一、选择题答题卡: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题答题卡: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) (13) 、 (14) 、
3

(15) 、

(16) 、

18. 已知函数 f ( x) ? x ? 3x . (Ⅰ)求 f ?(2) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间.

(18) (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ( x , x ? 1), b ? (1 ? x, t ) ,若函数 f ( x) ? a ? b 在区间 (?1,1) 上是增函数,
2

求 t 的取值范围。

20. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 3.
3 2

(1)求函数 y ? f ( x) 的极值; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? 0 有三个不同的实根,求实数 m 的取值范围.

3

21. 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? bx.
2

(I)当 a ? ?1 时,若函数 f ( x) 在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (II) 若 f ( x) 的图象与 x 轴交于 A( x1 , 0), B( x2 , 0)( x1 ? x2 ) 两点, 且 AB 的中点 为 C ( x0 , 0) , 求证: f '( x0 ) ? 0. .

22.已知函数 f ? x ? ? x ?

a2 , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x (1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值;
实数 a 的取值范围.

,e? ( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,求 (2)若对任意的 x1 , x2 ? ?1

4

新课改高二数学选修 2-2 第一章导数及其应用测试题参考答案
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 ) 1 B 2 B 3 4 A 5 A 6 B 7 A 8 B 9 A 10 C 11 B 12 C

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) (13) 、 -1 (14) 、 t ?0 (15) 、 1·2·?n (16) 、

(?1,0) ? (1,??)

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(1)

?2 x
2

1 ? 2x 18. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ,所以 f ?(2) ? 9 .
(Ⅱ) f ?( x) ? 3x ? 3 ,
2



(2)

2 1 ? x2

解 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? ?1 . 解 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? 1 . 所以 (??, ?1) , (1, ??) 为函数 f ( x) 的单调增区间, (?1,1) 为函数 f ( x) 的单调减区间 (19) (本小题满分 10 分) 解:由题意知: f ( x) ? x (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x ? x ? tx ? t ,则
2 3 2

f ' ( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? t

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(3 分)

∵ f ( x) 在区间 (?1,1) 上是增函数,∴ f ' ( x) ? 0 即 t ? 3x ? 2 x 在区间 (?1,1) 上是恒成立, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
2

(5 分)

2 设 g ( x) ? 3x ? 2 x ,则 g ( x) ? 3( x ? ) ?
2

1 3

1 ,于是有 3

t ? g ( x) max ? g (?1) ? 5
∴当 t ? 5 时, f ( x) 在区间 (?1,1) 上是增函数 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8 分) 又当 t ? 5 时, f ' ( x) ? ?3x ? 2 x ? 5 ? ?3( x ? ) ?
2 2

1 3

14 , 3

在 (?1,1) 上,有 f ' ( x) ? 0 ,即 t ? 5 时, f ( x) 在区间 (?1,1) 上是增函数 当 t ? 5 时,显然 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不是增函数 ∴t ? 5 (20) (本小题满分 12 分)
2 解:解(1) f ?( x) ? 6 x ? 6 x, f ?(2) ? 12, f (2) ? 7,

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(10 分)

?????????2 分

∴曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 7 ? 12( x ? 2) ,即 12 x ? y ? 17 ? 0 ;??4 分 (2)记 g ( x) ? 2 x ? 3x ? m ? 3, g ?( x) ? 6 x ? 6 x ? 6 x( x ?1)
3 2 2

5

令 g ?( x) ? 0, x ? 0 或 1.

??????????????????????6 分

则 x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表

x (??,0) 0 (0,1) (1, ??) 1 ? g ?( x) ? ? 0 0 g ( x) 极大 极小 ? ? ? 当 x ? 0, g ( x) 有极大值 m ? 3; x ? 1, g ( x) 有极小值 m ? 2 . ?????????10 分 ? g (0) ? 0 , 由 g ( x) 的简图知,当且仅当 ? ? g (1) ? 0 ?m ? 3 ? 0 , ? 3 ? m ? ?2 时, 即? ?m ? 2 ? 0 函数 g ( x) 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切线, m 的范围是 (?3, ?2) .????14 分 1 2 21 (1) 由题意:f ( x) ? ln x ? x ? bx , ? f ( x) 在 (0,??) 上递增, ? f ?( x) ? ? 2 x ? b ? 0 x
对 x ? (0,??) 恒成立,即 b ?

1 1 ? 2 x 对 x ? (0,??) 恒成立,?只需 b ? ( ? 2 x) min , x x

? x ? 0 ,?
为 (??,2 2 )

2 1 时取“=”,? b ? 2 2 ,? b 的取值范围 ? 2 x ? 2 2 ,当且仅当 x ? 2 x

(2)由已知得, ?

? f ( x1 ) ? ln x1 ? ax12 ? bx1 ? 0

? ln x1 ? ax12 ? bx1 ,两式相减,得: ? ? 2 2 f ( x ) ? ln x ? ax ? bx ? 0 ln x ? ax ? bx 2 2 2 2 2 2 ? ? 2

ln

x1 x ? a( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? b( x1 ? x 2 ) ? ln 1 ? ( x1 ? x 2 )[ a( x1 ? x 2 ) ? b] , x2 x2

由 f ?( x) ?

1 ? 2ax ? b 及 2 x0 ? x1 ? x2 ,得: x

f ?( x0 ) ?

x 1 2 2 1 ? ln 1 ? 2ax0 ? b ? ? [a( x1 ? x 2 ) ? b] ? x1 ? x 2 x1 ? x 2 x 2 x0 x1 ? x 2

x1 ? 1) 2( x1 ? x 2 ) x1 x x2 x 1 1 ? [ ? ln ] ? [ ? ln 1 ] ,令 t ? 1 ? (0,1) , x x1 ? x 2 x1 ? x 2 x2 x2 x1 ? x 2 x2 ( 1 ? 1) x2 2(
且 ? (t ) ?

(t ? 1) 2 2t ? 2 ? 0 ,? ? (t ) 在 (0,1) 上为减函数, ? ln t (0 ? t ? 1) ,? ? ?(t ) ? ? t (t ? 1) 2 t ?1

? ? (t ) ? ? (1) ? 0 ,又 x1 ? x2 ,? f ?( x0 ) ? 0
(22) (本小题满分 14 分)

6

解:20. (1)解法1:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0,? ? ? , x

a2 1 ? . x2 x 2 ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 .
∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . 经检验当 a ? 3 时, x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点, ∴a ? 3.

a2 ? ?? , 解法2:∵ h ? x ? ? 2 x ? ? ln x ,其定义域为 ? 0, x a2 1 ∴ h? ? x ? ? 2 ? 2 ? . x x a2 1 2 2 令 h? ? x ? ? 0 ,即 2 ? 2 ? ? 0 ,整理,得 2 x ? x ? a ? 0 . x x 2 ∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 ,
∴ h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ?

当 x 变化时, h ? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:

?1 ? 1 ? 8a 2 ?1 ? 1 ? 8a 2 (舍去) , x2 ? , 4 4

x
h? ? x ? h ? x?
依题意,

? 0, x2 ?


x2
0 极小值

? x2 , ?? ?


?

?

?1 ? 1 ? 8 a 2 ? 1 ,即 a 2 ? 3 , 4 ∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . ,e? 都 有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成 立 等 价 于 对 任 意 的 ( 2 ) 解 : 对 任 意 的 x1 , x2 ? ?1
x1 , x2 ? ?1,e? 都有 ? ? f ? x ?? ? min ≥ ? ? g ? x ?? ? max . 1 当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ? ? 0 . x ∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1,e ? 上是增函数.
∴? ? g ? x ?? ?

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ? ,且 x ? ?1, e ? , a ? 0 . x2 x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ①当 0 ? a ? 1且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? x2 2 a ∴函数 f ? x ? ? x ? 在[1, e ]上是增函数, x
∵ f ?? x? ? 1? ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ?1? ? 1 ? a .
2

max

? g ?e? ? e ?1 .

7

由 1 ? a 2 ≥ e ? 1,得 a ≥ e , 又 0 ? a ? 1,∴ a 不合题意. ②当1≤ a ≤ e 时, 若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2 ? x ? a ?? x ? a ? x2 ?0.

若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ? ∴? ? f ? x ?? ? min

a2 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e ? 上是增函数. x ? f ? a ? ? 2a .

由 2a ≥ e ? 1,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

e ?1 ≤a≤e. 2

e ?1 , 2

③当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ? ∴? ? f ? x ?? ? min 由e?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

a2 在 ?1,e ? 上是减函数. x a2 ? f ?e? ? e ? . e

a2 ≥ e ? 1,得 a ≥ e , e 又 a ? e ,∴ a ? e . ? e ?1 ? 综上所述, a 的取值范围为 ? , ?? ? . ? 2 ?

8


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