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2014高考数学必考点解题方法秘籍 不等式放缩 理


2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:数不等式 放缩
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑 战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞 赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构, 深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种

: 一 利用重要不等式放缩 均值不等式法

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? S ? . n S ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) . 求证 2 2 例1 设 n
解析 此数列的通项为

a k ? k (k ? 1) , k ? 1,2,? , n.
n n

1 k ? k ?1 1 ? k?S ? (k ? ) ? k ? k (k ? 1) ? ?k? ? ? n 2 , k ?1 2 2 , k ?1
n(n ? 1) n(n ? 1) n (n ? 1) 2 ? Sn ? ? ? . 2 2 2 即 2

注: ①应注意把握放缩的 “度” : 上述不等式右边放缩用的是均值不等式

ab ?

a?b 2 ,

若放成

k (k ? 1) ? k ? 1 则得

S n ? ? (k ? 1) ?
k ?1

n

(n ? 1)(n ? 3) (n ? 1) 2 ? 2 2 ,就放过“度”了!

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
n 1 1 ??? a1 an ? n a1 ? a n ? a1 ? ? ? a n ? n
2 a12 ? ? ? a n n

其中, n ? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。

f ( x) ?
例2 已知函数

1 1 4 f (1) ? bx f ( x ) 1? a ? 2 , 5, 若 且 在[0, 1]上的最小值为 2 ,
1 2
n ?1

求证:

f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ?

1 ? . 2 (02 年全国联赛山东预赛题)

简析

f ( x) ?

4x 1 1 1 ?1? ?1? ( x ? 0) ? f (1) ? ? ? f (n) ? (1 ? ) x x x 2?2 1? 4 1? 4 2?2

? (1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ) ? ? ? (1 ? ) ? n ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) ? n ? n ?1 ? . 2 n 4 2 2 2? 2 2? 2 2 2

-1-

1 1 ? ?1 ? 例 3 已 知 a, b 为 正 数 , 且 a b , 试 证 : 对 每 一 个 n? N ,

(a ? b) n ? a n ? b n ? 2 2 n ? 2 n ?1 .(88 年全国联赛题)
1 1 1 1 a b ? ?1 (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 4 a b b a 简析 由 a b 得 ab ? a ? b ,又 ,故 ab ? a ? b ? 4 ,而
0 n 1 n ?1 r n?r r n n ( a ? b) n ? C n a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ,

C a 令 f ( n) ? ( a ? b) ? a ? b , 则 f ( n) = n
n n n
i n ?i Cn ? Cn

1

n ?1

r n?r r n ?1 b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn ab n ?1 , 因 为













1 r n ?1 (a n ?1b ? ab n ?1 ) ? ? ? C n (a n ?r b r ? a r b n ?r ) ? ? ? C n (ab n ?1 ? a n ?1b) , 2 f ( n) = C n
n



a n ?1b ? ab n ?1 ? ? ? a n ? r b r ? a r b n ? r ? ? ? ab n ?1 ? a n ?1b ? 2 a n b n ? 2 ? 4 2 ? 2 n ?1





1 r n ?1 ? ? ? Cn ? ? ? Cn )(a r b n ? r ? a n ? r b r ) ? (2 n ? 2)(a r b n ? r ? a n ? r b r ) ? (2 n ? 2) ? 2 f (n) = (C n

n n n n 2n n ?1 ? 2 n ?1 ,所以 f (n) ? (2 ? 2) ? 2 n ,即对每一个 n ? N , (a ? b) ? a ? b ? 2 ? 2 .

例 4 求证

C ? C ? C ??? C ? n?2
1 n 2 n 3 n n n

n ?1 2

(n ? 1, n ? N ) .

简析 不等式左边
? n ? 1 ? 2 ? 2 ?? ? 2
n 2

1 2 3 n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 n ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1

n ?1

=n?2

n ?1 2

,原结论成立.

2.利用有用结论
1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? )? (1 ? ) ? 2n ? 1. 3 5 2n ? 1 例 5 求证 简析 本题可以利用的有用结论主要有:
b b?m ? (b ? a ? 0, m ? 0) 法 1 利用假分数的一个性质 a a ? m 可得

2 4 6 2n 3 5 7 2n ? 1 1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) 1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n 2 4 6 2n 1 1 1 2 4 6 2n 2 ) ? 2n ? 1. ( ? ? ? ) ? 2n ? 1 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? )? (1 ? ? 1 3 5 2n ? 1 3 5 2 n ?1 即
n ? 法 2 利用贝努利不等式 (1 ? x) ? 1 ? nx(n ? N , n ? 2, x ? ?1, x ? 0) 的一个特例

(1 ?

1 1 2 1 n ? 2, x ? ) ? 1? 2? 2k ? 1 )得 2k ? 1 2k ? 1 (此处

1?

1 ? 2k ? 1

n n 2k ? 1 1 2k ? 1 ? ? (1 ? )?? ? 2n ? 1. k ?1 2k ? 1 2k ? 1 k ?1 2k ? 1

-2-

注:例 5 是 1985 年上海高考试题,以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成 1998 年 全国高考文科试题;进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是: 1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1. 4 7 3n ? 2 证明 (可考虑用贝努利不等式 n ? 3 的特例)

例 6 已知函数

f ( x) ? lg

1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? a ? n x ,0 ? a ? 1, 给定n ? N ? , n ? 2. n

? 求证: f (2 x) ? 2 f ( x)( x ? 0) 对任意 n ? N 且 n ? 2 恒成立。 (90 年全国卷压轴题)

简析 本题可用数学归纳法证明,详参高考评分标准;这里给出运用柯西( Cauchy )不

等式

[? (ai bi )] 2 ? ? ai2 ? bi2
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

的简捷证法:

f (2 x) ? 2 f ( x) ?

lg

1 ? 2 2 x ? 32 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a ? n 2 x 1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? a ? n x ? 2 lg n n

? [1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? a ? n x ] 2 ? n ? [1 ? 2 2 x ? 3 2 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a ? n 2 x ]
而由 Cauchy 不等式得 (1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? ? ? 1 ? ( n ? 1) ? a ? n )
x x x x 2

? (12 ? ? ? 12 ) ? [1 ? 2 2 x ? 3 2 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a 2 ? n 2 x ] ( x ? 0 时取等号)

? n ? [1 ? 2
例 7 已知

2x

? 3 2 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a ? n 2 x ] (? 0 ? a ? 1 ) ,得证!
1 1 )an ? n . n ?n 2 ( I ) 用 数 学 归 纳 法 证 明 an ? 2(n ? 2) ; ( II ) 对
2

a1 ? 1, an ?1 ? (1 ?

2 ln(1 ? x) ? x 对 x ? 0 都成立,证明 an ? e (无理数 e ? 2.71828? ) (05 年辽宁卷第 22 题)

解析

( II ) 结合第 ( I ) 问结论及所给题设条件 ln(1 ? x) ? x ( x ? 0 )的结构特征,可得放缩思
a n ?1 ? (1 ? 1 1 1 1 ? n )a n ? ln a n ?1 ? ln(1 ? 2 ? n ) ? ln a n ? n ?n 2 n ?n 2
2

路:

? ln a n ?

1 1 1 1 ? n ln a n ?1 ? ln a n ? 2 ? n n ? n 2 。于是 n ?n 2 ,
2
n ?1 i ?1

?
i ?1

n ?1

(ln ai ?1 ? ln ai ) ? ?

1 1 1 ( 2 ? i ) ? ln a n ? ln a1 ? 1 ? ? n i ?i 2

1 1 ? ( ) n ?1 1 1 2 ? 2 ? ? n ? 2. 1 n 2 1? 2



ln a n ? ln a1 ? 2 ? a n ? e 2 .
注:题目所给条件 ln(1 ? x) ? x ( x ? 0 )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的

-3-

n 作用;当然,本题还可用结论 2 ? n(n ? 1)(n ? 2) 来放缩:

1 1 1 )a n ? ? a n ?1 ? 1 ? (1 ? )(a n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) 1 1 ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ? )? . n(n ? 1) n(n ? 1) a n ?1 ? (1 ?
? ? [ ln(a i ?1 ? 1) ? ln(a i ? 1)] ? ?
i ?2 i ?2 n ?1 n ?1

1 1 ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 i (i ? 1) n ,



ln(a n ? 1) ? 1 ? ln 3 ? a n ? 3e ? 1 ? e 2 .

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n], n ? N ? , n ? 2.[log 2 n] n 2 例 8 已知不等式 2 3 表示不超过 log 2 n 的最
a1 ? b(b ? 0), a n ? na n ?1 , n ? 2. n ? a n ?1

大整数。设正数数列

{a n } 满足:

an ?
求证

2b , n ? 3. 2 ? b[log 2 n] (05 年湖北卷第(22)题)

简析 当 n ? 2 时

an ?

na n ?1 1 n ? a n ?1 1 1 ? ? ? ? n ? a n ?1 an a n ?1 a n ?1 n ,即

n n 1 1 1 1 1 1 )?? . ? ? ?? ( ? a k a k ?1 a n a n ?1 n k ?2 k ?2 k

1 1 1 2b ? ? [log 2 n] ? a n ? . 2 ? b[log 2 n] 于是当 n ? 3 时有 a n a1 2
1 1 1 ? ??? n 为调和级数,是发散的,不能求和;但是可以 注:①本题涉及的和式 2 3

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n] n 2 利用所给题设结论 2 3 来进行有效地放缩;
②引入有用结论在解题中即时应用,是近年来高考创新型试题的一个显著特点,有 利于培养学生的学习能力与创新意识。

1 a n ? (1 ? ) n n ,求证:数列 {a n } 单调递增且 a n ? 4. 例9 设
解析 引入一个结论:若 b ? a ? 0 则 b 整理上式得 a
n ?1 n ?1

? a n ?1 ? (n ? 1)b n (b ? a ) (证略)

? b n [(n ? 1)a ? nb]. ( ? )



a ? 1?

1 n ?1 1 1 1 (1 ? ) ? (1 ? ) n . ,b ? 1? n ?1 n ?1 n 代入( ? )式得 n
-4-



{a n } 单调递增。
a ? 1, b ? 1 ?



1 1 1 1 1 ? (1 ? ) n ? ? (1 ? ) 2 n ? 4. 2n 2 2n 2n 代入( ? )式得
1 (1 ? ) n ? 4 {a } n ,又因为数列 n 单调递增,所以

此式对一切正整数 n 都成立,即对一切偶数有
1 (1 ? ) n ? 4 n 对一切正整数 n 有 。

1 2 ? (1 ? ) n ? 3. n 注:①上述不等式可加强为 简证如下:
1 1 1 1 2 n 1 a n ? (1 ? ) n ? 1 ? C n ? ? Cn ? 2 ? ? ? Cn . n n n nn 利用二项展开式进行部分放缩:
1 an ? 1 ? Cn ?

只取前两项有

1 ? 2. n 对通项作如下放缩:

C nk

1 1 n n ?1 n ? k ?1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? k ?1 . k k! n n n k! 1 ? 2 ? 2 2 n
故有

an ? 1 ? 1 ?

1 1 1 1 1 ? (1 / 2) n ?1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? 2 ? ? ? 3. 2 2 2 1 ? 1/ 2 2

②上述数列 已知

{a n } 的极限存在,为无理数 e ;同时是下述试题的背景:

i i n i Am ? m i An (1 ? m) n ? (1 ? n) m . i, m, n 是正整数, 且 1 ? i ? m ? n.(1) 证明 ; (2) 证明

(01 年全国卷理科第 20 题)
1

简析 对第(2)问:用 1 / n 代替 n 得数列
1

{bn } : bn ? (1 ? n) n

是递减数列;借鉴此结论
1 1

{(1 ? n) n } 递 减 , 且 1 ? i ? m ? n, 故 (1 ? m) m ? (1 ? n) n , 即 可有如下简捷证法:数列
(1 ? m) n ? (1 ? n) m 。
当然, 本题每小题的证明方法都有 10 多种,如使用上述例 5 所提供的假分数性质、 贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决! 详见文[1]。 二 部分放缩

例 10 设

an ? 1 ?

1 1 1 ? a ? ? ? a , a ? 2. a a ? 2. 3 n 2 求证: n

-5-

解析

an ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? a ??? a ? 1? 2 ? 2 ??? 2 . a 3 n 2 3 n 2

2 又 k ? k ? k ? k (k ? 1), k ? 2 ( 只 将 其 中 一 个 k 变 成 k ? 1 , 进 行 部 分 放 缩 ) ,

?

1 1 1 1 ? ? ? 2 k (k ? 1) k ? 1 k , k
an ? 1 ?

于是

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2 ? ? 2. 2 n 2 2 3 n ?1 n 2 3 n

例 11 设 数 列

?a n ? 满 足 a n?1 ? a n2 ? na n ? 1?n ? N ? ? , 当 a1 ? 3 时 证 明 对 所 有 n ? 1,
(ii ) 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? a n 2 (02 年全国高考题)



(i )a n ? n ? 2 ;

a ? k ? 2 ,则当 解析 (i ) 用数学归纳法:当 n ? 1 时显然成立,假设当 n ? k 时成立即 k

n ? k ? 1 时 a k ?1 ? a k (a k ? k ) ? 1 ? a k (k ? 2 ? k ) ? 1 ? (k ? 2) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。
(ii ) 利 用 上 述 部 分 放 缩 的 结 论 a k ?1 ? 2a k ? 1 来 放 缩 通 项 , 可 得

a k ?1 ? 1 ? 2(a k ? 1) ?
n

a k ? 1 ? ? ? 2 k ?1 (a1 ? 1) ? 2 k ?1 ? 4 ? 2 k ?1 ?
1 1? ( ) n 2 ? 1. 1 2 1? 2

1 1 ? k ?1 . ak ? 1 2

?
i ?1

n 1 1 1 ? ? i ?1 ? ? 1 ? a i i ?1 2 4

注 : 上 述 证 明 (i ) 用 到 部 分 放 缩 , 当 然 根 据 不 等 式 的 性 质 也 可 以 整 体 放 缩 :
a k ?1 ? (k ? 2)(k ? 2 ? k ) ? 1 ? k ? 3

;证明 (ii ) 就直接使用了部分放缩的结论

a k ?1 ? 2a k ? 1



三 添减项放缩 上述例 5 之法 2 就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。 例 12 设 n ? 1, n ? N ,求证 3

2 ( )n ?

8 (n ? 1)(n ? 2) .

2 3 1 ( )n ( ) n ? (1 ? ) n 2 ,展开得 简析 观察 3 的结构,注意到 2
1 1 1 n n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? 6 1 1 2 3 (1 ? ) n ? 1 ? C n ? ? Cn ? 2 ? Cn ? 3 ?? ? 1? ? ? 2 2 2 8 8 2 2 ,
1 (n ? 1)(n ? 2) (1 ? ) n ? 2 8 即 ,得证.

-6-

例 13 设数列 {an } 满足
bn ?

a1 ? 2, an ?1 ? an ?

1 (n ? 1,2,?). an

(Ⅰ)证明

an ? 2 n ? 1

对一切正整

an n

(n ? 1,2,?)

数 n 成立; (Ⅱ)令

,判定 bn 与 bn ?1 的大小,并说明理由(04 年重庆卷理科

第(22)题) 简析 本题有多种放缩证明方法,这里我们对(Ⅰ)进行减项放缩,有
2 a 2 k ?1 ? ak ?2?

法 1 用数学归纳法(只考虑第二步)
2 a 2 n ?1 ? a n ?2?

1 ? 2k ? 1 ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 2 ak ;

法2 则

1 2 ? an ?2 2 2 2 ? ak an ?1 ? a k ? 2, k ? 1,2,? , n ? 1.

2 2 an ? a12 ? 2(n ? 1) ? a n ? 2 n ? 2 ? 2 n ? 1 ? an ? 2 n ? 1

四 利用单调性放缩 构造数列
Tn ? S n ?

如对上述例 1,令

2n ? 3 (n ? 1) 2 Tn ?1 ? Tn ? (n ? 1)(n ? 2) ? ?0 2 2 则 ,
Sn ? (n ? 1) 2 . 2
2n ? 2 2n ? 1 2n ? 3

? Tn ? Tn ?1 ,?{Tn } 递减,有 Tn ? T1 ? 2 ? 2 ? 0 ,故

1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) Tn ?1 3 5 2n ? 1 ?? ? Tn ? 2n ? 1 再如例 5,令 则 Tn

?1

,即

Tn ? Tn ?1 ,?{Tn } 递增,有

Tn ? T1 ?

2 3

?1
,得证!

1 1 1 2 3 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? )? 2n ? 1. 3 5 2n ? 1 3 注:由此可得例 5 的加强命题 并可改造成为探

索性问题: 求对任意 n ? 1 使

1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? k 2n ? 1 3 5 2n ? 1 恒成立的正整数 k 的最大

值;同理可得理科姊妹题的加强命题及其探索性结论,读者不妨一试! 2.构造函数

f ( x) ? ax ?
例 14 已知函数
0 ? a1 ?

3 2 1 1 1 x x ?[ , ] 2 的最大值不大于 6 ,又当 4 2 时

1 f ( x) ? . 8 (Ⅰ) 求 a 的值;

(Ⅱ)设

1 1 an ? . , an ?1 ? f (an ), n ? N ? n ? 1 (04 年辽宁卷第 21 题) 2 ,证明

-7-

a =1 ; 解析 (Ⅰ) (Ⅱ) 由

an ?1 ? f (an ),

3 2 3 1 1 1 an?1 ? an ? an ? ? (an ? ) 2 ? ? 2 2 3 6 6 且 an ? 0. 得
1

a ? f (ak ) 在 a k ? (0, k ? 1) 是 增 函 数 , 则 得 用 数 学 归 纳 法 ( 只 看 第 二 步 ): k ?1 1 1 3 1 2 1 ak ?1 ? f (ak ) ? f ( )? ? ( ) ? . k ?1 k ?1 2 k ?1 k?2

1? a? x n ?1 ? ? xn ? ? , ? 2? xn ? ? ? x x ? a ? 0 ? n? N . n 1 例 15 数列 由下列条件确定: , (I) 证明: 对n ? 2
总有 x n ? a ;(II)证明:对 n ? 2 总有 x n ? x n ?1 (02 年北京卷第(19)题)

f ( x) ?
解析 构造函数

1? a? ? x ? ?, 2? x ? 易知 f ( x) 在 [ a ,??) 是增函数。

1? a ? x k ?1 ? ? xk ? ? ? 2? xk ? ? 在 [ a ,??) 递增故 x k ?1 ? f ( a ) ? a . 当 n ? k ? 1时

对(II)有

x n ? x n ?1

1? a ? 1? a? ? xn ? ? f ( x) ? ? x ? ?, ? xn ? ? 2? 2? x ? 它在 [ a ,??) 上是增函数, ? ,构造函数

故有

x n ? x n ?1

1? a ? ? xn ? ? ? ? xn ? ? 2? ? f ( a ) ? 0 ,得证。

注:①本题有着深厚的科学背景:是计算机开平方设计迭代程序的根据;同时有着高等数学 背景—数列

?xn ? 单调递减有下界因而有极限: a n ?
1? ?x ? 2?

a (n ? ??).

f ( x) ?


1? a ? a? x n ?1 ? ? xn ? ? ? ? 2? xn ? x ? 是递推数列 ? 的母函数,研究其单调性对此数列本

质属性的揭示往往具有重要的指导作用。 五 换元放缩

1 ? n n ? 1?
例 16 求证 简析 令

2 (n ? N ? , n ? 2). n ?1

a n ? n n ? 1 ? hn ,这里 hn ? 0(n ? 1), 则有
n(n ? 1) 2 hn ? 0 ? hn ? 2 2 2 (n ? 1) 1 ? a n ? 1 ? hn ? 1 ? . n ?1 n ?1 ,从而有

n ? (1 ? hn ) n ?

注:通过换元化为幂的形式,为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。 例 17 设 a ? 1 , n ? 2, n ? N ,求证

an ?

n 2 (a ? 1) 2 4 .

-8-

简析 令 a ? b ? 1 ,则 b ? 0 , a ? 1 ? b ,应用二项式定理进行部分放缩有
0 n 1 n ?1 2 n?2 n 2 n?2 a n ? (b ? 1) n ? C n b ? Cn b ? Cn b ? ? ? Cn ? Cn b ?

n(n ? 1) 2 b 2 , 注意到 n ? 2, n ? N ,

n(n ? 1) 2 n 2 b 2 n 2 (a ? 1) 2 b ? an ? 4 (证明从略) 4 则 2 ,因此 六 递推放缩

递推放缩的典型例子,可参考上述例 11 中利用 (i ) 部分放缩所得结论

a k ?1 ? 2a k ? 1 进行递推

放 缩 来 证 明 (ii ) , 同 理 例

7 ( II ) 中 所 得

ln a n ?1 ? ln a n ?

1 1 ? n n ?n 2 和
2

ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ?

1 1 1 1 ? ? n(n ? 1) 、 例 8 中 a n a n ?1 n 、 例 13 ( Ⅰ ) 之 法 2 所 得

2 2 ak ?1 ? a k ? 2 都是进行递推放缩的关键式。

七 转化为加强命题放缩 如上述例 11 第 (ii ) 问所证不等式右边为常数,难以直接使用数学归纳法,我们可以通过从特 值入手进行归纳探索、或运用逆向思维探索转化为证明其加强命题:

1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? n ?1 . 1 ? a1 1 ? a 2 1? an 2 2 再用数学归纳法证明此加强命题,就容易多了(略) 。
a1 ? 1 ? a, a n ?1 ? 1 ?a a ? 1. an ,求证:对一切正整数 n 有 n

例 18 设 0 ? a ? 1 ,定义

a ? 1 ,仅用归纳假设 a k ? 1 及递推式 解析 用数学归纳法推 n ? k ? 1 时的结论 n ?1
a k ?1 ? 1 ?a a ak 是难以证出的,因为 k 出现在分母上!可以逆向考虑:
1 1 ? a ? 1 ? ak ? . ak 1 ? a 故将原问题转化为证明其加强命题:

a k ?1 ?

对一切正整数 n 有

1 ? an ?

1 . 1 ? a (证明从略)

例 19 数列 试题)

?xn ? 满足

x1 ?

x2 1 , x n ?1 ? x n ? n . 2 n 2 证明 x 2001 ? 1001. (01 年中国西部数学奥林匹克

简析 将问题一般化:先证明其加强命题

xn ?

n . 2 用数学归纳法,只考虑第二步:
-9-

x k ?1 ? x k ?
八 分项讨论

2 n xk k 1 k k 1 k ?1 xn ? . ? ? 2 ? ( )2 ? ? ? . ? 2 2 2 k 2 2 4 2 因此对一切 x ? N 有 k

例 20 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 (Ⅰ)写出数列 {an } 的前 3 项

S n ? 2an ? (?1) n , n ? 1.

a1 , a2 , a3

; (Ⅱ)求数列

{an }

的通项公式; (Ⅲ)证明:对任

1 1 1 7 ? ?? ? ? a m 8 (04 年全国卷Ⅲ) 意的整数 m ? 4 ,有 a 4 a5

简析 (Ⅰ)略, (Ⅱ)

an ?
n

2 n?2 2 ? (?1) n ?1 . 3 ;

?

?

(Ⅲ)由于通项中含有 (?1) ,很难直接放缩,考虑分项讨论:

1 1 3 1 1 3 2 n ? 2 ? 2 n ?1 ? ? ( n?2 ? n ?1 ) ? ? 2 n ?3 ? 2 n ?1 ? 2 n ? 2 ? 1 当 n ? 3 且 n 为奇数时 a n a n ?1 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2

?

3 2 n ? 2 ? 2 n ?1 3 1 1 ? ? ? ( n ? 2 ? n ?1 ) 2 n ?3 2 2 2 2 2 (减项放缩) ,于是
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ??? ( ? ) ? ?? ? ? a a a a a a a a 4 且 m 为偶数时 4 5 4 5 6 m ?1 m m

①当 m ?

?

1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 7 ? ( 3 ? 4 ? ? ? m ? 2 ) ? ? ? ? (1 ? m ? 4 ) ? ? ? . 2 2 2 2 2 4 2 8 8 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ??? ? am a 4 a5 a m a m ?1 (添项放缩)由①知 ②当 m ? 4 且 m 为奇数时 a 4 a 5 1 1 1 1 7 ? ??? ? ? . a 4 a5 a m a m ?1 8 由①②得证。
参考文献 [1]李锦旭等《例说高考题的科学背景》 。华东师大《数学教学》2004 年第 11 期。

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