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2014年北京高考word版数学文答案


绝密★考试结束前

2014 年普通高等学校招生全国统一考试

数 学(理) (北京卷)参考答案
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.C 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.2
15 8
2 2 10. x ? y ? 1

7.B

8.B

11. 2 2

12. 2

13.1

14.42

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) 15. (共 13 分) 【解析】⑴ 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由题意得 d ? 所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? 3n ? n ? 1, 2,

a4 ? a1 12 ? 3 ? ?3 3 3

?.

设等比数列 bn ? a n 的公比为 q ,由题意得
q3 ? b4 ? a4 20 ? 12 ? ? 8 ,解得 q ? 2 . b1 ? a1 4?3

?

?

所以 bn ? an ? ?b1 ? a1 ? qn?1 ? 2n?1 . 从而 bn ? 3n ? 2n?1 ? n ? 1, 2,

? ?.

⑵ 由⑴知 bn ? 3n ? 2n?1 ? n ? 1, 2,

1 ? 2n 3 数列 ?3n? 的前 n 项和为 n ? n ? 1? ,数列 2n ?1 的前 n 项和为 1× ? 2n ? 1 . 2 1? 2 3 所以,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 n ? n ? 1? ? 2n ? 1 . 2 16. (共 13 分)

? ?

【解析】⑴ f ? x ? 的最小正周期为 π

x0 ?

7π . 6

y0 ? 3
π? π ? 5π ? π ? ⑵ 因为 x ? ? ? ,? ? ,所以 2 x ? ? ? ? ,0 ? . 12 ? 6 ? 6 ? 2 ?

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于是当 2 x ? 当 2x ?

π π ? 0 ,即 x ? ? 时, f ? x ? 取得最大值 0; 6 12

π π π ? ? ,即 x ? ? 时, f ? x ? 取得最小值 ?3 . 6 2 3

17. (共 14 分) 解: (Ⅰ)在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BB1 ? 底面 ABC . 所以 BB1 ? AB . 又因为 AB ? BC . 所以 AB ? 平面 B1 BCC1 . 所以平面 ABE ? 平面 B1 BCC1 . (Ⅱ)取 AB 中点 G ,连结 EG , FG . 因为 E , F 分别是 A1C1 , BC 的中点, 1 所以 FG ∥ AC ,且 FG ? AC . 2 因为 AC ∥ A1C1 ,且 AC ? AC 1 1, 所以 FG ∥ EC1 ,且 FG ? EC1 . 所以四边形 FGEC1 为平行四边形. 所以 C1 F ∥ EG . 又因为 EG ? 平面 ABE , C1 F ? 平面 ABE , 所以 C1 F ∥ 平面 ABE . (Ⅲ)因为 AA1 ? AC ? 2 , BC ? 1 , AB ? BC , 所以 AB ? AC 2 ? BC 2 ? 3 . 所以三棱锥 E ? ABC 的体积 1 1 1 3 V ? S△ ABC ? AA1 ? ? ? 3 ? 1 ? 2 ? . 3 3 2 3
A1

E B1

C1

A

G

B

F

C

18. (共 13 分) 解: (Ⅰ)根据频数分布表,100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有 6 ? 2 ? 2 ? 10 名,所以 样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 10 1? ? 0.9 . 100 从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9 .
6) 的有 17 人,频率为 0.17 ,所以 (Ⅱ)课外阅读时间落在组 [4 ,

频率 0.17 ? ? 0.085 . 组距 2 10) 的有 25 人,频率为 0.25 , 课外阅读时间落在组 [8 , a?
所以 b ?

频率 0.25 ? ? 0.125 . 组距 2

(Ⅲ)样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数在第 4 组.

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19. (共 14 分) 解:

x2 y 2 ? ?1. 4 2 所以 a 2 ? 4 , b 2 ? 2 ,从而 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2 .
(Ⅰ)由题意,椭圆 C 的标准方程为 因此 a ? 2 , c ? 2 .
c 2 ? . a 2 (Ⅱ)设点 A , B 的坐标分别为 ? t , 2? , ? x0 ,y0 ? ,其中 x0 ≠ 0 .

故椭圆 C 的离心率 e ? 因为 OA ? OB , 所以 OA ? OB ? 0 ,

即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ?
2 2 又 x0 ? 2 y0 ? 4 ,所以

2 y0 . x0

AB ? ? x0 ? t ? ? ? y0 ? 2?
2 2

2

? 2y ? 2 ? ? x0 ? 0 ? ? ? y0 ? 2 ? x 0 ? ? 4 y2 2 2 ? x0 ? y0 ? 20 ? 4 x0
2 2 ? x0 ?

2

2 2 ? 4 ? x0 ? 4 ? x0 ? ?4 2 2 x0

?

2 x0 8 2 ? 2 ? 4 ? 0 ? x0 ≤ 4? . 2 x0 2 x0 8 2 2 2 ? 2 ≥ 4 ? 0 ? x0 ≤ 4 ? ,且当 x0 ? 4 时等号成立,所以 AB ≥ 8 . 2 x0

因为

故线段 AB 长度的最小值为 2 2 .

20.(共 13 分) 解: (Ⅰ)由 f ? x ? ? 2 x3 ? 3x 得 f ? ? x ? ? 6x2 ? 3 . 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?
2 2 或x? . 2 2

? 2? 因为 f ? ?2? ? ?10 , f ? ?? 2, ?? 2 ? ? ?

? 2? f? ? ? ? 2 ,f ?1? ? ?1 ? 2 ? ? ?

? 2? 1? 上的最大值为 f ? 所以 f ? x ? 在区间 ? ?2 , ?? 2 ? ?? 2 . ? ?
t ? 的直线与曲线 y ? f ? x ? 相切于点 ? x0 ,y0 ? , (Ⅱ)设过点 P ?1,
3 2 ? 3x0 , 且切线斜率为 k ? 6 x0 ? 3, 则 y0 ? 2x0

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2 所以切线方程为 y ? y0 ? 6x0 ?3 2 因此 t ? y0 ? 6x0 ? 3 ?1 ? x0 ? .

?

? ?x ? x ?,
0

?

?

3 2 整理得 4 x0 ? 6 x0 ? t ? 3 ? 0.

设 g ? x ? ? 4 x3 ? 6 x 2 ? t ? 3 , 则“过点 P ?1, t ? 存在 3 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切”等价于“ g ? x ? 有 3 个不同零点”.

g ? ? x ? ? 12x2 ? 12x ? 12x ? x ? 1? .
g ? x ? 与 g ? ? x ? 的情况如下:

x
g ?( x) g ( x)

(?? , 0)

0 0
t ?3

(0 , 1)

1 0
t ?1

(1,? ?)

?


?

?

↘ 所以, g (0) ? t ? 3 是 g ( x) 的极大值, g (1) ? t ? 1 是 g ( x) 的极小值.



当 g (0) ? t ? 3 ≤ 0 , 即 t ≤ ?3 时, 此时 g ( x) 在区间 ? ?? , 所以 g ( x) 1? 和 (1,? ?) 上分别至多有 1 个零点, 至多有 2 个零点.
0) 和 ?0 , ? ? ? 上分别至多有 1 个零点, 当 g (1) ? t ? 1≥ 0 , 即 t ≥ ?1 时, 此时 g ( x) 在区间 (?? , 所以 g ( x)

至多有 2 个零点. 当 g ? 0? ? 0 且 g ?1? ? 0 ,即 ?3 ? t ? ?1 时,因为 g ? ?1? ? t ? 7 ? 0 ,g ? 2? ? t ? 11 ? 0 ,所以 g ? x ? 分别在
1? 和 ?1, 2? 上恰有 1 个零点.由于 g ? x ? 在区间 ? ?? , 0? 和 ?1, ? ? ? 上单调,所以 g ? x ? 分 区间 ? ?1,0 ? , ?0 , 0? 和 ?1, ? ? ? 上恰有 1 个零点. 别在区间 ? ?? , t ? 存在 3 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切时, t 的取值范围是 ? ?3 ,? 1? . 综上可知,当过点 P ?1,

(Ⅲ)过点 A ? ?1,2 ? 存在 3 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切;
10 ? 存在 2 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切; 过点 B ? 2 , 2? 存在 1 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切.: 过点 C ? 0 ,

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