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(01特殊函数提高专题:对数函数提高复习专题)教学备课讲义完美编辑版


中小学 1 对 1 课外辅导专家 精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号 sh24sx012-20111213-20 学员编号: 学员姓名: 课 题 1、 理解对数函数的概念 2、 掌握对数函数的图像 3、掌握对数函数的基本性质 教学内容 年 级: 高一 课时数: 3

辅导科目: 数学 对数函数

学科教师:王建华

教学

目的

一、知识梳理
1、对数(1)对数的定义: b 如果 a =N(a>0,a≠1) ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logaN=b. b (2)指数式与对数式的关系:a =N ? logaN=b(a>0,a≠1,N>0). 两个式子表示的 a、b、N 三个数之间的关系是一样的,并且可以互化. (3)对数运算性质: ①loga(MN)=logaM+logaN.②loga ④对数换底公式:logbN=
log log N b

M N

=logaM-logaN.③logaM =nlogaM.(M>0,N>0,a>0,a≠1)

n

a a

(a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0).

2、对数函数 (1)对数函数的定义 函数 y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). (2)对数函数的图象

y

y

y= l og a x a> 1) ( 1 O 1 x O x y= l og a x(0< a< 1)
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 x 轴对称. (3)对数函数的性质: ①定义域: (0,+∞)②值域:R.③过点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0 ④当 a>1 时,在(0,+∞)上是增函数;当 0<a<1 时,在(0,+∞)上是减函数

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二、典型例题
例 1、求不等式 lo g a ( 2 x
? 7 ) ? lo g a ( 4 x ? 1) ( a ? 0 , 且 a ? 1)

中 x 的取值范围.

例 2、已知函数

f ( x ) ? lo g a ( x ? 3)

的区间 [ ? 2 , ? 1] 上总有 |

f ( x ) |? 2

,求实数 a 的取值范围.

变式练习: 1、比较 log 0.7 与 log 0.8 两值大小

王新敞
奎屯

新疆

2

1 3

2、求下列函数的定义域、值域: (1) y ? log 2 ( x ? 2 x ? 5 )
2

(2) y ? log

1 3

(? x

2

? 4 x ? 5)

(3) y ?

log

a

(? x

2

? x)

( 0 ? a ? 1)
王新敞
奎屯 新疆

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 例 3、证明函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? 1 ) 在 ( 0 , ?? ) 上是增函数
2
王新敞
奎屯 新疆

例 4、若 0 ? a ? 1 ,则函数 y ? lo g a ( x ? 5 ) 的图像不经过 A 第一象限 变式练习:
B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

2 设 a ? 1 ,且 m ? lo g a ( a ? 1) , n ? lo g a ( a ? 1) , p ? lo g a ( 2 a ) ,则 m, n, p 的大小关系为

A. n ? m ? p

B. m ? p ? n

C. m ? n ? p

D. p ? m ? n

例 5、已知 f(x)的定义域为[0,1] ,则函数 y=f[log 1 (3-x) ]的定义域是__________
2

变式练习、已知 y=loga(3-ax)在[0,2]上是 x 的减函数,求 a 的取值范围

例 6、若函数 f ( x ) ? lo g a ? x ? 1 ? ( a ? 0 , a ? 1 )的定义域和值域都是 ? 0 ,1 ? ,则 a ?

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三、课堂练习
1、求函数 y=2lg(x-2)-lg(x-3)的最小值.

2、若 f(x)=x -x+b,且 f(log2a)=b,log2[f(a) ]=2(a≠1). (1)求 f(log2x)的最小值及对应的 x 值 (2)x 取何值时,f(log2x)>f(1)且 log2[f(x) ]<f(1)?

2

3、已知函数 f ( x ) ? lo g a ? a ? a x ? ( a ? 0 且 a ? 1 )

? 1 ? 求 f ? x ? 的定义域,值域; ? 2 ? 求证该函数的图象关于直线 y

? x 对称;

4、函数 f(x)=log2|x|,g(x)=-x +2,则 f(x) ·g(x)的图像只可能是(
y y

2



O

x

O

x

A
y

B
y

O

x

O

x

C
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D

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四、课后作业
1、函数 y ? lo g 1 ( x 2 ? 6 x ? 1 7 ) 的值域是
2

A. R

B . ? 8, ? ? ?

C . ? ?? , ?3?

D . [3, ? ? )

2、若定义在区间 ? ? 1, 0 ? 内的函数 f ( x ) ? lo g 2 a ( x ? 1) 满足 f ( x ) ? 0 ,则 a 的取值范围是
1 2
1? ? B. ? 0, ? 2? ? ?1 ? C. ? , ?? ? ? 2 ?

A. ( 0 ,

)

D . ( 0 , ?? )

3、 y ? lg( ? x ? x ) 的递增区间为
2

,值域为

4、函数 f ( x ) ? lo g a x ( 2 ≤ x ≤ ? ) 的最大值比最小值大 1 ,则 a ?

2 5、若 log a ( a ? 1 ) ? log a 2 a ? 0 ,则 a 的取值范围是





A . ( 0 ,1 )

B. (0,

1 2

)

C. (

1 2

,1 )

D . (1, ?? )

6、若函数 y ? lo g 1 ? 2 ? lo g 2 x ? 的定义域是
2


D . ? 0 ,1 ?



A. ? 0 , 2 ?

B. ? 2, 4 ?

C . ? 0, 4 ?

7、已知函数 f ( x ) ? 2 ? 1 的反函数为 f
x

?1

(x) ,

g ( x ) ? log

4

( 3 x ? 1)

?1 ? 若

f

?1

( x ) ≤ g ( x ) ,求 x 的取值范围 D ;

?2? 设H

(x) ? g (x) ?

1 2

f

?1

( x ) ,当 x ? D 时,求函数 H ( x ) 的值域

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 参考答案 一、选择题: BCDDA ACADC 二、填空题:13.
19 6

AB

,14.2,15. (0,1) ,16. { x | ? 2 ? x ? 1} .

三、解答题: 17.解析: 由已知 f(1)=3,即 a+b=3 ①? -1 又反函数 f (x)的图象过(2,0)点即 f(x)的图象过(0,2)点.? 即 f(0)=2 ∴1+b=2 ? ∴b=1 代入①可得 a=2 x 因此 f(x)=2 +1
1

18.解析:由 ( x
1

2

? x
3

?

1 2

)

2

? 9 , 可得 x+x =7

-1

∵(x 2 ? x
3

?

1 2

)

? 27
1 2 1

∴ x 2 ? 3x ? x
3

?

? 3x 2 x

?1

? x

?

3 2

=27

∴x2 ? x

?

3 2

=18,

故原式=2 19.解析:(1)定义域显然为(-∞,+∞). (2)? u ? f ( x ) ? 3 ? 2 x ? x
2

? 4 ? ( x ? 1)
2

2

? 4 . ? y ? 3 是 u 的增函数,
u

当 x=1 时,ymax=f(1)=81,而 y= 3 ∴ 0 ? 3 ? 3 , 即值域为
u 4

? x ?2 x?3

>0.

( 0 , 81 ] .

u (3) 当 x≤1 时,u=f(x)为增函数, y ? 3 是 u 的增函数,

由 x↑→u↑→y↑ ∴即原函数单调增区间为(-∞,1] ;
u 当 x>1 时,u=f(x)为减函数, y ? 3 是 u 的增函数,

由 x↑→u↓→y↓ ∴即原函数单调减区间为[1,+∞ ) . 20.解析:∵x=- ∴y=a ∴-
2x+b

b 2

时,y=a +1=2
b 2

0

+1 的图象恒过定点(-

,2)

b 2

=1,即 b=-2
x

21.解析:设 2 =t,∵0≤x≤2,∴1≤t≤4

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 原式化为:y=
1 2

(t-a) +1
a
2

2

当 a≤1 时,ymin=

? a ?

3 2

2

, y m ax ?

a

2

? 4a ? 9 ;

2 3 2 a
2

当 1<a≤

5 2

时,ymin=1,ymax=

a

2

? a ?



2 a
2

当 a≥4 时,ymin=

2

? 4 a ? 9 , y m ax ?

? a ?

3 2



2

22.证明:设 x 1 , x 2 ? R , x 1 ? x 2 ,则
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ( a ?
2 2
x1

?1

) ? (a ? 2

2
x2

?1

) ?

2 2
x2

?1

? 2

2
x1

?1

? (2

2(2
x1

x1

?2

x2

) ? 1)



? 1)( 2

x2

x x x x x 由于指数函数 y ? 2 在 R 上是增函数,且 x 1 ? x 2 ,所以 2 ? 2 即 2 ? 2 ? 0 ,
1 2
1 2

又由 2 ? 0 ,得 2
x

x1 ? 1

? 0 ,2

x2 ?1

? 0 ,∴ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ,

所以,对于任意 a , f ( x ) 在 R 上为增函数.

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