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第八节 正、余弦定理的应用


第八节

正、余弦定理的应用

一、填空题 1. 两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站北偏东 40° ,灯塔 B 在观察站的南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的________方向.

2. 如图,D、C、B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点测得 A 点的仰角分别

是 β、α(α<β),则点 A 离地面的高 AB=________. 3. 在△ABC 中,AB=3,BC= 13,AC=4,则边 AC 上的高为________.

4. 如图所示,在点 B 处测得某建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 θ,沿 BE 方向前进 30 m 至 点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2θ,再继续前进 10 3 m 至 D 点,测得顶端 A 的仰角 4θ,则 θ 等于________. 5. (2011· 广东实验、华师附中、金山中学等四校联考)2010 年北京国庆阅兵式上举行升旗 仪式.如图,在坡度 15° 的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在 该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60° 和 30° , 且第一排和最后一排的距离 为 10 6 m,则旗杆的高度为________m.

6. 如图,有一长为 10 m 的斜坡,倾斜角为 75° ,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加 长坡面方法将其倾斜角改为 30° (如图),则坡底应延长________m.

7. 某人先向东走 a km,然后右转 150° ,并在新的方向上走了 3 km,结果他离出发点 3 km,则 a=________. 8. 在 300 米高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为 30° 、 60° ,则塔高为 ________米. 9.

如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A、B、C 三点进行测量.已知 AB=50 m,BC=120 m,在 A 处测得水深 AD=80 m,在 B 处测得水深 BE=200 m,在 C 处 测得水深 CF=110 m,则∠DEF 的余弦值为________.

二、解答题 10. 如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航 行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里, 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里,问乙船每小时航行多少海里?

11. 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔 的塔顶.测量船在水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° ,30° ,在水面 C 处测得 B 点 和 D 点的仰角均为 60° ,AC=0.1 km,试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然 后求 B,D 间的距离(计算结果精确到 0.01 km, 2≈1.414, 6≈2.449)

12. (2010· 陕西)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点,现 位于 A 点北偏东 45° ,B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/时,该救援 船到达 D 点需要多长时间?

参考答案
1. 北偏西 10° 解析:

由图可看出∠ACB=180° -(40° +60° )=80° ,又∵AC=BC, 1 ∴∠A=∠CBA= (180° -80° )=50° , 2 ∵CE∥BD, ∴∠CBD=∠BCE=60° , ∴∠ABD=60° -50° =10° , ∴灯塔 A 在灯塔 B 北偏西 10° 方向上. asin αsin β 2. 解析: 在△ADC 中,∠DAC=β-α,由正弦定理得 sin?β-α? AC a asin α = ,即 AC= . sin α sin?β-α? sin?β-α? 在 Rt△ABC 中, asin αsin β AB=AC· sinβ= . sin?β-α? 3 3. 3 解析:如图,BD 为 AC 边上的高. 2

32+? 13?2-42 1 方法一:cos∠ABC= = , 2×3× 13 13 2 3 ∴sin∠ABC= . 13 1 S△ABC= AB· BC· sin∠ABC 2 1 = AC· BD, 2 2 3 3 ∴3× 13× =4BD,∴BD= 3. 2 13 2 2 2 3 +4 -? 13? 1 方法二:cos A= = , 2 2×3×4 3 3 ∴sin A= ,∴BD=AB· sin A= 3. 2 2

4. 15° 解析:∵∠BAC=2θ-θ=θ=∠ABC, ∴AC=BC=30. 又∠CAD=4θ-2θ=2θ=∠ACD, ∴AD=CD=10 3. AD AC 在△ACD 中, = , sin 2θ sin?π-4θ? 10 3 30 30 即 = = . sin 2θ sin 4θ 2sin 2θcos 2θ 3 ∵sin 2θ≠0,∴cos 2θ= ,又 2θ 为锐角, 2 ∴2θ=30° ,∴θ=15° . x sin 60° 10 6 5. 30 解析:依题意,设旗杆的高度为 x m,由正弦定理,得 = ,解得 x= sin 45° sin 30° 30 m. 6. 10 2 解析:在△ABB′中,∠B′=30° , ∠BAB′=75° -30° =45° ,AB=10 m. 2 10× 2 ABsin 45° 由正弦定理,得 BB′= = =10 2(m). sin 30° 1 2 7. 3或 2 3 解析:根据题意画出示意图,如图所示,AB=a,BC=3,AC= 3,∠ ABC=180° -150° =30° ,

由余弦定理,得( 3)2=a2+32-2×3×a×cos 30° ,∴a= 3或 a=2 3. 8. 200

解析:如图所示,AP 为山高,CB 为塔高,则 Rt△APB 中,PA=300,∠APB=30° , PA 300 ∴PB= = =200 3. cos∠APB cos 30° 又∵∠BPC=30° ,∠BCP=180° -60° =120° , PB BC 则在△PBC 中, = , sin∠BCP sin ∠BPC PBsin 30° ∴BC= =200(米). sin 120° 16 9. 解析:如图,作 DM∥AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M. 65 DF= MF2+DM2= 302+1702 =10 298,

DE= DN2+EN2= 502+1202=130, EF= ?BE-FC?2+BC2 = 902+1202=150. 在△DEF 中,由余弦定理得 DE2+EF2-DF2 cos∠DEF= 2DE· EF 2 2 2 130 +150 -10 ×298 16 = = . 65 2×130×150 10. 如图,

连结 A1B2, 由已知 A2B2=10 2, 20 A1A2=30 2× =10 2, 60 ∴A1A2=A2B2, 又∠A1A2B2=180° -120° =60° , ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∴A1B2=A1A2=10 2, 由已知,A1B1=20,∠B1A1B2=105° -60° =45° , 在△A1B2B1 中,由余弦定理,得 2 2 B1B2 A1B2cos 45° 2=A1B1+A1B2-2A1B1· 2 =202+(10 2)2-2×20×10 2× =200. 2 ∴B1B2=10 2. 10 2 因此,乙船的速度的大小为 ×60=30 2(海里/小时), 20 故乙船每小时航行 30 2海里. 11. 在△ACD 中,∠DAC=30° ,∠ADC=60° -∠DAC=30° , 所以 CD=AC=0.1. 又∠BCD=180° -60° -60° =60° , 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线, 所以 BD=BA. AB AC 在△ABC 中, = , sin∠BCA sin∠ABC ACsin 60° 3 2+ 6 即 AB= = , sin 15° 20

3 2+ 6 因此,BD= ≈0.33(km). 20 故 B,D 间的距离约为 0.33 km. 12. 由题意知 AB=5(3+ 3)海里,∠DBA=90° -60° =30° ,∠DAB=90° -45° =45° , ∴∠ADB=180° -(45° +30° )=105° . 在△DAB 中,由正弦定理,得 DB AB = , sin∠DAB sin∠ADB AB· sin∠DAB 5?3+ 3?· sin 45° ∴DB= = sin 105° sin∠ADB 5?3+ 3?· sin 45° sin 45° cos 60° +cos 45° sin 60° 5 3? 3+1? = =10 3(海里). 3+1 2 = 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30° +(90° -60° )=60° ,BC=20 3(海里). 在△DBC 中,由余弦定理,得 CD2= BD2 +BC2- 2BD· BC· cos∠DBC =300 + 1 200 - 1 2×10 3×20 3× =900. 2 ∴CD=30(海里), 30 ∴需要的时间 t= =1(小时). 30 答:救援船到达 D 点需要 1 小时.

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