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2014高三数学总复习5-3平面向量的数量积 63张(人教A版) 2


第五章

平面向量

第五章
第三节 平面向量的数量积

基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

r /> 基础梳理导学

重点难点

引领方向

重点:平面向量的数量积及其几何意义,数量积的性质 及运算律,数量积的坐标表示. 难点:数量积的性质和平面向量的长度、夹角问题.

夯实基础 稳固根基 一、向量数量积的定义 1.向量 a 与 b 的夹角 → → 已知两个非零向量 a、b,过 O 点作OA=a,OB=b,则 θ =∠AOB(0≤θ≤π)叫做向量 a 与 b 的夹角. π 当 θ=2时,a 与 b 垂直,记作 a⊥b; 当 θ=0 时,a 与 b 同向; 当 θ=π 时,a 与 b 反向.

2.向量 a 与 b 的数量积 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,我们把数量
|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a· b,并规定零

向量与任一向量的数量积为 0. 3.向量的投影 → → 如图,OA=a,OB=b,过 B 作 BB1 垂直于直线 OA,垂
cosθ 足为 B1,则 OB1= |b|·

叫做向量 b 在 a 方向上的投影.

当 θ 为锐角时,如图(甲),它是正值;

当 θ 为钝角时,如图(乙),它是负值; 当 θ 为直角时,如图(丙),它是 0; 当 θ 为 0° 时,它是|b|; 当 θ 为 180° 时,它是-|b|.

4.平面向量数量积的几何意义 数量积 a· 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的投影|b|cosθ b 的乘积.

二、平面向量数量积的性质 1.a⊥b?a· b=0. 2.当 a 与 b 同向时,a· b= |a||b| ; 当 a 与 b 反向时,a· -|a||b| ; b= 特别地,a· a=|a|2 或|a|= a· a. a· b 3.cosθ=|a||b|. 4.|a· b|≤|a|· |b|.

三、向量数量积的运算律 1.a· b=b· a(交换律). 2.(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb). 3.(a+b)· c=a· c+b· c.

四、平面向量数量积的坐标表示 1.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b= x1x2+y1y2 . 2.设 a=(x,y),则|a|=
x2+y2 .

3.若向量 a 的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2, y2),则|a|=
?x1-x2?2+?y1-y2?2 ,

4.设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),且 a、b 都是非零向量, 则 a⊥b?a· b=0? x1x2+y1y2=0 .

疑难误区 点拨警示 1.若 a· b=0,a≠0 不一定有 b=0,因为当 a⊥b 时,总 有 a· b=0. 2.对于实数 a、b、c,当 b≠0 时,若 ab=bc,则 a=c. 但对于向量 a,b,c,当 b≠0 时,由 a· b=b· 却推不出 a=c. c 因为由 a· b=b· 得 b· c (a-c)=0,只要 a-c 与 b 垂直即可.

3.数量积不满足结合律,即对于向量 a、b、c,(a· c b)· =a· c)一般不成立,这是因为 a· 与 b· 都是实数.(a· c (b· b c b)· 与 c 共线,a· c)与 a 共线,而 c 与 a 却未必共线. (b·

4.若<a,b>=θ,则 a 在 b 方向上的投影为|a|· cosθ,b 在 a 方向上的投影为|b|· cosθ,应注意区分.

→ OS → → → → → 力OF在OS方向上的分力OF′=|OF|cosθ· ,是与OS共 → |OS| → 线的向量,不要和投影|O F |cosθ 相混淆. 5.a· 和 a 与 b 夹角为锐角不等价.∵当 b=a≠0 时, b>0 夹角为 0,a· b>0;同样 a· 不等价于 a 与 b 的夹角为钝角. b<0

思想方法技巧

1.平行与垂直问题常常转化为两个向量的平行与垂直. 2.求向量模时,主要利用公式|a|2=a2,将模的运算转化 为向量的数量积的运算. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数 或最值问题常用的方法.

考点典例讲练

向量的数量积

[例 1]

(2012· 广西百所重点中学阶段性检测)已知△

→ → OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形,OB= 2,OC=OA → → → 2 +(1-λ)OB,若 λ >1,则OC· 的取值范围是( AB A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,+∞) C.(-∞,0)∪( 5,+∞) D.(-∞,- 5)∪(0,+∞) )

分析:∵△OAB 是斜边 OB= 2的等腰直角三角形,∴ OA=AB=1,故可建立直角坐标系,用向量的坐标运算求解.

解析:如图,建立直角坐标系,由 OB= 2,得 A(1,0), B(1,1),

→ → → ∴OA=(1,0),OB=(1,1),∴OC=(1,0)+(1-λ)(1,1)=(2 → → -λ,1-λ),∴OC· =(2-λ,1-λ)· AB (0,1)=1-λ,又 λ2>1, → → 得 λ>1 或 λ<-1,∴1-λ∈(-∞,0)∪(2,+∞),故OC· 的 AB 取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).

答案:A

点评:(1)注意到△ABO 是斜边 OB= 2的等腰直角三角 → → → 形, 可设OA=a, =b, AB 则有OB=a+b,|a|=|b|=1,a· b=0, → → 于是OC· 可用 λ 表示,不建坐标系也可获解. AB (2)以 A 为原点,AO,AB 为坐标轴建系会更简便.

(文)(2011· 山东烟台一模)在等腰直角三角形 ABC 中, 是 D → → → 斜边 BC 的中点,如果 AB 的长为 2,则(AB+AC)· 的值为 AD ________.

1 2 2 解析:由题意可知,AD= BC= = 2, 2 2 → → → → → →2 (AB+AC)· =2AD· =2|AD| =4. AD AD

答案:4

→ → (理)在菱形 ABCD 中,若 AC=2,则CA· 等于( AB A.2 C.2 或-2 B.-2 D.与菱形的边长有关

)

→ → → →2 → → 解析:AB+CA=CB,设菱形边长为 a,由|AB| +2AB· CA →2 →2 → → 2 +|CA| =|CB| 得 a +2AB· +4=a2. CA → → ∴AB· =-2. CA

答案:B

向量的模

[例 2]

设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, ) D.1

→2 → → → → → BC =16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|=( A.8 B.4 C.2

→ → → → →2 →2 解析:由|AB +AC |=|AB -AC |两边平方得AB +AC + → → →2 →2 → → → → 2AB· =AB +AC -2AB· ,即AB· =0, AC AC AC → → →2 → → 所以AB⊥AC,又由BC =16 得|BC|=4,所以|AM|=2.

答案:C

(文)设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为抛物线上 → → → → → → 三点.若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|等于( A.9 B.6 C.4 D.3 )

→ 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F(1,0),则由FA → → +FB+FC=0 得 x1-1+x2-1+x3-1=0,即 x1+x2+x3=3. → → → → 而|FA|+|FB|+|FC|可转化为 A、 C 三点到准线的距离, B、 即|FA → → |+|FB|+|FC|=d1+d2+d3=x1+1+x2+1+x3+1=3+3=6.

答案:B

(理)已知在平面直角坐标系中,A(-2,0)、B(1,3),O 为原 → → → → 点,且OM=α· +β· (α+β=1),若 N(1,0),则|MN|的最小 OA OB 值是( ) 1 B. 2 2 3 D.2

3 A. 2 2 9 C.2

→ → → 解析:由OM=α· +β· (α+β=1)知 M,A,B 三点共 OA OB → 线,可以求得 AB 所在直线方程为 y=x+2,所以|MN|的最小 3 3 2 值就是点 N 到直线 AB 的距离 d= = . 2 2

答案:A

→ 点评:将条件 α+β=1 转化为 M、A、B 共线,及将|MN| 转化为点 N 到直线 AB 的距离是解题的关键.

向量的夹角

[例 3] +b)=61.

(2011· 太原模拟)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a

(1)求 a 与 b 的夹角; (2)求|a+b|; → → (3)若AB=a,AC=b,求△ABC 的面积.

解析:(1)∵(2a-3b)· (2a+b)=61, ∴4a2-4a· b-3b2=61. 又|a|=4,|b|=3,∴a· b=-6. a· b 1 ∴cosθ=|a||b|=-2.∴θ=120° . (2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a· b+|b|2 =42+2×(-6)+32=13, ∴|a+b|= 13.

(3)由(1)知∠BAC=θ=120° , → → |AB|=|a|=4,|AC|=|b|=3, 1→ → ∴S△ABC=2|AC||AB|sin∠BAC 1 = ×3×4×sin120° =3 3. 2

a· b 点评:(1)求两非零向量夹角的依据 cos〈a,b〉= = |a||b| x1x2+y1y2 ,180° ]. 2 2 2 2.平面向量夹角的取值范围是[0° x1+y1· x2+y2 (2)求长度问题用向量的模求解.|a|2=a· a,若 A(x1,y1), → B(x2,y2),则|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2.

(文)(2011· 安徽“江南十校”联考)设向量 a,b 均为单位 向量,且|a+b|=1,则 a 与 b 夹角为( π A.3 2π C. 3 π B.2 3π D. 4 )

1 解析:∵(a+b) =1,∴a· b=- , 2
2

1 ∴cos〈a,b〉=-2, 2π ∵〈a,b〉∈(0,π),∴〈a,b〉= 3 ,故选 C.

答案:C

(理)(2011· 北京海淀期中)已知非零向量 a,b,c 满足 a+b +c=0,向量 a,b 的夹角为 120° ,且|b|=2|a|,则向量 a 与 c 的夹角为( A.60° C.120° ) B.90° D.150°

解析: 由已知得 a· b=|a|· |b|cos120° =-|a|2.又 c=-(a+b), 所以 a· c=-a· (a+b)=-|a|2-a· b=0,故选 B.

答案:B

向量的投影

[例 4]

设 a· b=4,若 a 在 b 方向上的射影的数量为 2, )

且 b 在 a 方向上的投影的数量为 1, a 与 b 的夹角等于( 则 π A.6 2π C. 3 π B.3 π 2π D. 或 3 3

a· b a· b 解析:由条件知, =2, =1,a· b=4, |b| |a| ∴|a|=4,|b|=2, a· b 4 1 ∴cos〈a,b〉= = = , |a|· 4×2 2 |b| π ∴〈a,b〉=3.

答案:B

(2012· 山西联合模拟)△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径 → → → → → → → 为 2,OA+AB+AC=0 且|OA|=|AB|,则向量CA在CB方向上 的投影为( A. 3 C.- 3 ) B.3 D.-3

→ → → → → 解析:∵OA+AB+AC=0,∴OB=CA,∴四边形 OBAC → → → 为平行四边形,又|OA|=|OB|=|AB|=2, → → ∴∠ACB=30° ∴CA在CB方向上的投影为 2cos30° 3. , =
答案:A

向量垂直的充要条件

[例 5]

(2011· 皖南八校联考)已知向量 a=(3,4),b=(2,

-1),如果向量 a+λb 与向量-b 互相垂直,则实数 λ 的值为 ( ) 23 A. 2 C.2 3 B. 23 2 D.-5

解析: a+λb=(3,4)+λ(2, -1)=(3+2λ, 4-λ), -b=(- 2,1), ∵(a+λb)⊥(-b),∴-2(3+2λ)+4-λ=0, 2 ∴λ=-5,故选 D.

答案:D

(文)(2011· 江南十校素质测试)已知向量 a=(sinx,cosx), b =(1,-2),且 a⊥b,则 tan2x=________.

解析:由 a⊥b 得 sinx-2cosx=0,即 tanx=2, 2tanx 4 4 则 tan2x= = =-3. 1-tan2x 1-4

4 答案:- 3

(理)(2012· 河北保定一模)若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且 c ⊥a,则向量 a 与 b 的夹角为( A.0° C.120° B.60° D.150° )

解析:∵c⊥a,∴c· a=|a|2+a· b=1+a· b=0, ∴a· b=-1,即|a|· |b|cos〈a,b〉=-1, 1 ∴cos〈a,b〉=- , 2 ∵〈a,b〉∈[0° ,180° ],∴〈a,b〉=120° .

答案:C

课堂巩固训练

一、选择题 → → 1.(文)在△ABC 中,“AB· <0”是“△ABC 为钝角三 AC 角形”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

[答案] A

[解析]

→ → 当AB· <0 时, 为钝角, AC A △ABC 一定是钝角三

→ → 角形,而当△ABC 是钝角三角形时,不一定有AB· <0.因此 AC → → “AB · <0”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条 AC 件.故选 A.

→ → → (理)△ABC 的三个内角 A、 C 成等差数列, +AC)· B、 (AB BC =0,则△ABC 一定是( A.等腰直角三角形 C.等边三角形 ) B.直角三角形 D.钝角三角形

[答案] C

[解析]

→ → → 因为(AB+AC)· =0, BC

→ → → → 所以(AB+AC)· -AB)=0, (AC →2 →2 → → 即AC -AB =0,|AC|=|AB|, 又 2B=A+C,B=60° ,因此△ABC 是等边三角形,故 选 C.

π 2.(2011· 郑州二测)已知向量 a 与 b 的夹角为 ,|a|= 2, 3 则 a 在 b 方向上的射影的数量为( A. 3 2 C. 2 B. 2 3 D. 2 )

[答案] C

[解析]

π ∵a 在 b 方向上的射影为|a|cos〈a,b〉= 2cos 3

2 = 2 ,故选 C.

3.(2011· 浙江金华十校联考)已知 a,b 满足 a· b=0,|a| =1,|b|=2,则|2a+b|等于( A.0 C.4 B.2 2 D.8 )

[答案] B

[解析]

|2a+b|2=4a2+4a· 2=4×1+0+22=8, b+b

所以|2a+b|=2 2,故选 B.

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