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市三模数学试卷讲评建议


南通市 2016 届高三第三次调研测试 讲评复习建议
第 10 题 本题的背景实际是学生熟知三角形外心问题,利用基底法求解. 当点 P 在直线 PQ 上任意一点时时,解法相同. ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ( AP ? AQ) ? ( AB ? AC)

? (2 AQ ? PQ) ? CB ? 2 AQ ? CB ? ( AB ? AC) ? ( AB ? AC) ? ?16 . 本题也可利用解析法完成,作为填空题,还可特殊化,取三边长为 3,4,5 求解. 第 11 题 本题解题的关键是根据递推关系求出通项,然后裂项相消求和.给出两个变式如下: 变式 1:在数列 {an } 中,若 a1 ? 2 , (n ? 2)an ?1 ? nan ? 2 ,则 {an } 的通项公式 ▲ . 变式 2:在数列 {an } 中,若 a1 ? 5 , an?1 ? an 2 ? 2 ,则 a n = ▲ . 2 第 12 题 本题考查了分类讨论和数形结合的思想,换元法等.
? x 2 ? ax ,x≥0 , 由 f ( x) ? x2 ? ax ,得 g ( x) ? ? ?2 x ? a ,x ? 0.

令 t ? f ( x) ,则 g (t ) ? 0 . 当 a ? 0 时,显然不合题意,舍去; 当 a ? 0 时,则 t1 ? 0 ,或 t ? ? a ,即 f ( x) ? 0 ,或 f ( x) ? ? a , 2 2 由 ? ? a 2 ? 4a ? 0 ,得 a ? 2 ; 当 a ? 0 时,则 t1 ? 0 ,或 t2 ? ?a ,即 f ( x) ? 0 ,或 f ( x) ? ?a , 由 ? ? a 2 ? 4a ? 0 ,得 a ? 0 . 综上所述, a ? 0 或 a ? 2 . 第 13 题 本题考查函数图象,函数的最值问题研究等.综合运用基本不等式或导数等方法, 考查运算能力,推理论证能力及灵活运用数学知识能力. 方法一:设 A( x1 ,0),B( x2 ,0) ( x2 ? x1 ) , 令 x ? 1 ? n ,所以 x 2 ? nx ? 1 ? 0 , x 所以 m ? x2 ? x1 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? n2 ? 4 ( n ? 2 ) ,
2 ? n 2? 4 ? ? 44 ? 12 ? ?4( 12 ? 1 )2 ? 1 . 所以 m 2 8 16 n n n n n

所以,当 n ? 2 2 时, m 取最大值为 1 . 2 4 n 方法二:设 A( x0 , 0) ,则 B( 1 , 0) ,且 0 ? x0 ? 1 . x0
1

所以 C ( 1 ,x0 ? 1 ) , AB ? m ? 1 ? x0 , BC ? n ? x0 ? 1 . x0 x0 x0 x0
1 ?x 0 x0 m 所以 2 ? .设 1 ? x0 ? t (t ? 0) , 2 x0 1 n ( x0 ? ) x0

则m ? t ? 1 ≤ 1 ?1, 4 n2 t 2 ? 4 t ? 4 2 t?4 t t 所以,当 t ? 2 时, m 取最大值为 1 . 4 n2 说明:本题可以推广为函数 y ? x ? a (a ? 0) ,则有 m 的最大值为 a . x 4a n2 第 14 题 本题考查圆的知识,圆和圆的位置关系,综合考查学生转化、运算的能力. 方法一:设 P( x,y) ,设 PA,PB 的夹角为 2? .
1 2 PA ? ? 1. △ABP 的面积 S= PA2 sin 2? ? PA2 ? 2 PC1 PC1

由 2PA3 ? PC12 ? PA2 ? 2 ,解得 PA ? 2 , 所以 PC1 ? 2 ,所以点 P 在圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上. 所以 m ? 2 ≤ (m ? 1)2 ? (?m)2 ≤ m ? 2 , 解得 1 ≤ m ≤ 3 ? 2 3 . 方法二:设∠APC1= ? ,则 PA= 2 , tan ?
2? ? 2 S△ABP ? 1 PA2 ? sin 2? ? sin 2 ? 1. 3 2 tan ? tan ? ? tan ?
5 4

2

B C1 P C2
5 10

2

A

4

6

所以当 tan ? ? 1 ,即 ? ? π ,所以 PC1=2. 4 第 17 题

8

本题考查圆的方程,椭圆的标准方程及几何性质,直线与椭圆的交点,直线斜率等知识. 综合考查学生运算能力.给出一个变题如下:
12

10

2 y2 ? 1 和圆 x2 ? y 2 ? 4 ,过椭圆 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 x ? 4 2 y C 左顶点 A 的两条直线分别交椭圆与圆于点 B,E 和

点 C,F.若 AC ? AF ,直线 BE 和 CF 在 x 轴上 的截距分别为 s,t ,求证: s ? t 为定值. 【答案】 2 3 A E

B

O

x

F
2

第 18 题

本题考查学生数学应用和建模的能力,考查学生的抽象概括能力、运算求解能力. 审题要抓住关键字、词、句,结合所给图形,建立适当的数学模型求解. 另解一:设 AB 所在木条长为 a m, BD 所在木条长为 b m. 由条件, 2a ? 2b ? 6 ,即 a ? b ? 3 .
2) ,从而 a,b ? (1, 2) ,所以 b ? 3 ? a ? (0, 2) . 因为 a,b ? (0,

由于 AB ? 2 1 ? b , BD ? 2 1 ? a , 4 4

2

2

S矩形ABCD ? 4 1 ? b ? 1 ? a ? 4 ? b2 ? 4 ? a2 4 4

2

2

? 16 ? 4(a ? b)2 ? 8ab ? a2b2 ? a2b2 ? 8ab ? 20
? (ab ? 4)2 ? 36 ,
因为 ab ? a(3 ? a) ? 2, 9 ? ,所以 S矩形ABCD ≤ 4? ?

?

? 4 ? ? 36 ? 7 . ?9 4 4
2

另解二:设 OE ? x , OF ? y ,所以 l ? 4 1 ? x2 ? 4 1 ? y2 =6, 即 1 ? x 2 ? 1 ? y 2 ? 3 , S矩形ABCD ? 4xy , 2 由于 2 1 ? x2 ? ?1 , 2? ,所以 0 ? x ? 因为 3 ? 4
3 . 2

1 ? x2 ? 1 ? y 2 2 ? ( x2 ? y 2 ) ≤ ≤ 1 ? xy , 2 2

所以 xy≤ 7 ,当且仅当 x ? y 时等号成立,所以 S矩形ABCD 最大值为 7 . 4 16 第 19 题 本题考查数列的概念、等差数列、等比数列的定义,通项公式与求和公式等.考查学生 创新意识. (3)另解:由(2)得,当 n≥2 时, an?1bn ? an (1 ? bn?1 ) , ① 若d ?

1 时,不妨设 bn ? 1 n ? A , 2 2

所以

n ?1 ? A an ?1 1 ? bn ?1 , ? ? 2 an bn 1n? A 2 n ?1 ? A 2 , 1n? A 2

3 4 a3 a4 an ?1 2 ? A 2 ? A 所以 ? ? ? ? ? ? ??? a2 a3 an 1? A 3 ? A 2

n ?1 ? A 所以 an ?1 ? a2 ? 2 ( a 2 ,A 为常数) . 1? A
② 若 a2,a3,…,an,…成等差数列,设 {an } 公差为 d 1 . 由 an?1bn ? an (1 ? bn?1 ) ,得 ? an ? d1 ? bn ? an (1 ? bn?1 ) , an d ? d1bn ? an ,
3

所以 bn ?

an ?1 ? d ? , d1 d1 ?1 ? d ? ,所以 d ? 1 ? d ,所以 d ? 1 . d1 2

所以 bn ? bn ?1 ? d ? 第 20 题

本题考查函数的基本性质、导数的应用等基础知识,考查综合运用数学思想方法分析
3

与解决问题的能力.可以结合下图帮助理解:
2.5

8

7

当 0 ? a ≤1 时

2

当a ?1时

6

5

1.5
4

1

3

2

0.5
1

4

3

2

1

A
0.5

1

12

2

10

3

8

6

4

4

2

2

4

A

6

8

10

1

2

1

3

还可以让学生尝试解答如下问题: 对于给定的正数 a ,是否存在 x0 ? R ,使得当 x ? x0 时, f ( x) ? ax3 ?并说明理由. 【解】先证明 x ? 0 时, e x ? 1 x3 . 3
3 ? x2 ( x ? ) 3 设 g ( x ) ? xx ( x ? 0 ) , g ?( x) ? x e e



令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 3 . 当 x ? ? 0, 3? 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 3, ? ? ? 时, g ?( x) ? 0 , 所以函数 g ( x) 在 x ? 3 处取得极大值,也是最大值. 所以 g ( x) ≤ g (3) ? 27 ? 3 ,所以 e x ? 1 x3 成立. 3 e3 对于给定的 a ? 0 ,存在 x0 ? 1 ? 6a , 当 x ? x0 时, f ( x) ≥ xe x ? a ? 6a ? 1 x3 ? a ? a(2 x3 ? 1) ? a( x3 ? x3 ? 1) ? ax3 . 3 第 23 题 本题考查排列组合,组合数公式.考查学生探究能力和推理论证能力.
n 另解:两人下棋,平局有 C2 n 种,所以每人赢得比赛的概率各一半,若学生直接给出

C2n ) 也可. 答案 P ( n) ? 1 (1 ? 2 2 2n

n

4


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