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2017届苏教版 二次函数与幂函数 课后限时自测


课后限时自测(七)
[A 级 基础达标练] 一、填空题
?x2-2x,x≥0, ? 1.(2015· 南京模拟)若函数 f(x)=? 2 是奇函数, ? ?-x +ax,x<0,

则满足 f(x)>a 的 x 的取值范围是________. [解析] 由 f(x)是奇函数,得 a=-2.若 x≥0,则由 f(x)=x2-2x> -2,得 x≥0;若 x<0,则由 f(x)=-x2-2x>-2,得-1- 3<x<0. 综上得 x>-1- 3. [答案] (-1- 3,+∞) 1 2.已知 a>2,且函数 f(x)=x2-2ax+1 在区间[-1,2]上的最大值 为 4,则实数 a 的值是________. [解析] 二次函数 f(x)的图象开口向上,且对称轴 x=a 位于区间 1 [-1,2]的中点2的右侧, 所以 f(x)在[-1,2]上的最大值为 f(-1)=1+2a +1=4,即 a=1. [答案] 1 1? ? 3.若幂函数的图象过点?2,4?,则它的解析式为________.
? ?

1? ? 1 [解析] 设 y=xa 将?2,4?代入得 a=-2 即 y=x2
? ?

1 [答案] y=x2 4.已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表:

x f (x )

1 1

1 2 2 2

则不等式 f(|x|)≤2 的解集是________. 2 ?1? 1 [解析] 由图表知, 2 =?2?α,∴α=2, ? ? ∴f(x)=x ,由|x| ≤2,得-4≤x≤4. [答案] [-4,4] 5.已知函数 f(x)=x2-4ax+2a+6(x∈R)的值域为[0,+∞),则 实数 a=________. [解析] 由于函数的值域为[0, +∞), 故 Δ=16a2-4(2a+6)=0, 则 2a2-a-3=0. 3 [答案] -1 或2 6.已知 P=2 ________. [解析 ] 2 1 2 2 >2>5, 得?
? 2?3 ?1?3 ?2?3 ? >? ? >? ? ,即 P>R>Q. ? 2 ? ?2? ?5? ?2? ?1? ,Q=?5?3,R=?2?3,则 P、Q、R 的大小关系是 ? ? ? ?

P= 2

=?

? 2? 3 ? ,根据函数 y= x3 是 R 上的增函数且 2 ? ?

[答案] P>R>Q 7.已知函数 y=x2-2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小 值 2.则 m 的取值范围是________. [解析] y=(x-1)2+2,

由 x2-2x+3=3 得 x=0 或 x=2, ∴1≤m≤2. [答案] [1,2] 8.(2014· 泰州模拟)当 a=________时,函数 f(x)=x2-2ax+a 的 定义域为[-1,1],值域为[-2,2]. [解析] f(x)=(x-a)2+a-a2. 当 a<-1 时,f(x)在[-1,1]上为增函数,
? ?f?-1?=1+3a=-2, ∴? 解得 a=-1(舍去); ?f?1?=1-a=2, ?
2 ? ?f?a?=a-a =-2, 当-1≤a≤0 时,? 解得 a=-1; ? ?f?1?=1-a=2, 2 ? ?f?a?=a-a =-2, 当 0<a≤1 时,? ∴a 不存在; ?f?-1?=1+3a=2, ?

当 a>1 时,f(x)在[-1,1]上为减函数,
? ?f?-1?=1+3a=2, ∴? ∴a 不存在. ?f?1?=1-a=-2, ?

综上可得 a=-1. [答案] -1 二、解答题 9.函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在区间[0,1]上有最大值 2,求实 数 a 的值. [解] ①当 a<0 时,f(x)max=f(0)令 1-a=2,∴a=-1. ②当 0≤a≤1 时,f(x)max=f(a),令 f(a)=2,无解. ③当 a>1 时,f(x)max=f(1),即 a=2. 综上可得 a=-1 或 a=2.

10.已知幂函数 f(x)=

(m∈Z)在(0,+∞)上是减函数,

1 f ( x ) y g ( x ) 2 x 且 的图象关于 轴对称,试求函数 = +f?x?的最小值. [解] 由 f(x)在(0,+∞)上是减函数, ∴m2+m-2<0, 解之得-2<m<1, 又 m∈Z,∴m=-1,0. 此时,均有 f(x)=x-2,图象关于 y 轴对称. 因此 f(x)=x-2(x≠0), ∴g(x)=2x+x2=(x+1)2-1(x≠0), 故函数 g(x)的最小值为-1. [B 级 能力提升练] 一、填空题
?1? f?4? 1.若 f(x)是幂函数,且满足 =3,则 f?2?=__________. ? ? f?2?

f?4? 4n [解析] 设 f(x)=x ,则 =2n=2n=3, f?2?
n

?1? ?1? 1 1 ∴f?2?=?2?n=2n=3. ? ? ? ?

1 [答案] 3 2.(2014· 泰州质检)若 x≥0,y≥0,且 x+2y=1,则 2x+3y2 的 最小值为________. [解析] 由 x+2y=1,得 x=1-2y, 2? 2 ? ∴2x+3y2=2-4y+3y2=3?y-3?2+3.
? ?

1 由 x≥0,y≥0,得 0≤y≤2. 1 3 ∴当 y=2时,2x+3y2 取最小值4. 3 [答案] 4 二、解答题 3.已知函数 f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且 f(0)· f(1)>0. b (1)求证:-2<a<-1; (2)若 x1、x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,求|x1-x2|的取值范围. [解] (1)证明:当 a=0 时,f(0)=c,f(1)=2b+c, 又 b+c=0, 则 f(0)· f(1)=c(2b+c)=-c2<0,与已知矛盾,故 a≠0. ∵f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=-(a+b)(2a+b)>0.
?b ??b ? b 即?a+1??a+2?<0,从而-2<a<-1. ? ?? ?

(2)x1、x2 是方程 f(x)=0 的两个实根, a+b 2b 则 x1+x2=-3a,x1x2=- 3a , 那么 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 a+b ? 2b? =?-3a?2+4× 3a ? ? 4 ?b?2 4b 4 4?b 3?2 1 ? ?+ + = ? + ?+ . =9· a 3a 3 9 a 2 3
? ? ? ?

b 1 4 ∵-2<a<-1,∴3≤(x1-x2)2<9, 3 2 ∴ 3 ≤|x1-x2|<3,

即|x1-x2|的取值范围是?

? 3 2? ,3?. ? 3 ?


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