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北京市朝阳区2015届高三上期末考试数学【理】试题及答案


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北京市朝阳区 2014-2015 学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷(理工类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)

2015.1

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.设 i 为虚数单位,则复数 z ? A.第一象限

1? i 在复平面内对应的点所在的象限是 i
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

2. 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点. 若 AB 中点 M 到抛物线准线的距离为 6,则线段 AB 的长为 A. 6 B. 9 C. 12 D.无法确定

3.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的图象为 C ,下面结论中正确的是 A.函数 f ( x) 的最小正周期是 ?? B.图象 C 关于点 ( ,0) 对称 C.图象 C 可由函数 g ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 D.函数 f ( x) 在区间 (?

? 3

? 6

? 个单位得到 3

? ? , ) 上是增函数 ?? 2

4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的全面积是 A. 4 ? 2 6 C. B. 8 D. 4 3

4?2 3

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5. ?,? 表示不重合的两个平面, m , l 表示不重合的两条直线.若 ? 则“ l ∥ m ”是“ l ∥ ? 且 l ∥ ? ”的 A.充分且不必要条件 C.充要条件 6.在 ?ABC 中, B ? B.必要且不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ? m ,l ? ? ,l ? ? ,

π ,则 sin A ? sin C 的最大值是 4
B.

A.

1? 2 4

3 4

C.

2 2

D.

2? 2 4

7.点 O 在 ?ABC 的内部,且满足 OA ? 2OB ? 4OC ? 0 ,则 ?ABC 的面积与 ?AOC 的面积之比是 A.

7 2

B. 3

C.

5 2

D.2

8.设连续正整数的集合 I ? ?1,2,3,...,238? ,若 T 是 I 的子集且满足条件:当 x ? T 时, 7 x ? T ,则 集合 T 中元素的个数最多是( A. 204 B. 207 ) C. 208 D. 209

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P(1, 2) ,则 sin(π ? ? ) 的值 是 . ;渐近线方程是 .

2 2 10.双曲线 C : x ? y ? ? ( ? ? 0 )的离心率是

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 11.设不等式组 ? x ? 0, 表示平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一点 P ,则点 P 落在圆 ?y ? 0 ?
x2 ? y 2 ? 1内的概率为


12.有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时,1 点响 1 声,2 点响 2 声,3 点响 3 声,……, 12 点响 12 声(12 时制) ,且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为 1 秒.在一次大钟报时时, 某人从第一声铃响开始计时,如果此次是 12 点的报时,则此人至少需等待 秒才能确定时

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间;如果此次是 11 点的报时,则此人至少需等待

秒才能确定时间.

13.在锐角 AOB 的边 OA 上有异于顶点 O 的 6 个点,边 OB 上有异于顶点 O 的 4 个点,加上点 O , 以这 11 个点为顶点共可以组成 14.已知函数 f ( x) ? 个三角形(用数字作答) .

sin πx ( x ? R ) .下列命题: π x ? π1? x

①函数 f ( x ) 既有最大值又有最小值; ②函数 f ( x ) 的图象是轴对称图形; ③函数 f ( x ) 在区间 [? π, π] 上共有 7 个零点; ④函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增. 其中真命题是 . (填写出所有真命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势 .某机构为了解某城市市民 的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段在 20~80 岁(含 20 岁和 80 岁)之间的 600 人进行调 查,并按年龄层次[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]绘制频率分布直方图,如图所 示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人” ,[40,60)为“中年人” , [60,80]为“老年人”.

频率 组距
0.03 0.02 0.01
O

20

30

40

50

60

70

80

年龄

(Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的 600 人的平均年龄; (Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在 20-80 年龄段的人口分布的概率.从该城市 20-80 年龄
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段市民中随机抽取 3 人,记抽到“老年人”的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期 望.

1 6. (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧面 PAB ? 底面 ABCD , PA ? AB , 点 E 是 PB 的中点,点 F 在边 BC 上移动. (Ⅰ)若 F 为 BC 中点,求证: EF //平面 PAC ; (Ⅱ)求证: AE ? PF ; (Ⅲ)若 PB ? 说明理由. P E A F D C

2 AB ,二面角 E ? AF ? B 的余弦值等于

11 ,试判断点 F 在边 BC 上的位置,并 11

B

17. (本小题满分 13 分) 若有穷数列 a1 , a2 , a3 ,

, am ( m 是正整数)满足条件: ai ? am?i ?1 (i ? 1, 2,3,

, m) ,则称

其为“对称数列” .例如, 1,2,3,2,1 和 1,2,3,3,2,1 都是“对称数列” . (Ⅰ)若 {bn } 是 25 项的“对称数列” ,且 b13 , b14 , b15 , ,b25 是首项为 1,公比为 2 的等比数列.求

{bn } 的所有项和 S ;
(Ⅱ)若 {cn } 是 50 项的“对称数列” ,且 c 26 , c 27 , c28 , ,c50 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.求

{cn } 的前 n 项和 S n , 1 ? n ? 50, n ? N? .
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18. (本小题满分 13 分)

eax ,a?R . 设函数 f ( x) ? 2 x ?1
3 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; 5 1 (Ⅱ)设 g ( x) 为 f ( x ) 的导函数,当 x ? [ , 2e] 时,函数 f ( x ) 的图象总在 g ( x) 的图象的上方,求 a e
(Ⅰ)当 a ? 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : 积为 ?

x2 y 2 3 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,离心率为 .过椭圆右顶点 A 的两条斜率乘 2 a b 2 2

1 的直线分别交椭圆 C 于 M , N 两点. 4

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 MN 是否过定点 D ?若过定点 D ,求出点 D 的坐标;若不过,请说明理由.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ) , x1 , x2 , x3 ? R ,且 x1 ? x2 ? x3 . (Ⅰ)当 x1 ? 0 , x2 ? 1 , x3 ? 2 时,若方程 f ( x) ? mx 恰存在两个相等的实数根,求实数 m 的值;
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(Ⅱ)求证:方程 f ?( x) ? 0 有两个不相等的实数根; (Ⅲ)若方程 f ?( x) ? 0 的两个实数根是 ? , ?

?? ? ? ? ,试比较

x1 ? x2 与 ? , ? 的大小并说明理由. 2

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